Укажите что является структурной средней выберите 2 варианта

03.01.202411.12.2022 admin 0 Comments

Структурные средние

Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы.

1. Мода – наиболее часто повторяющееся значение признака в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой будет то значение признака, у которого наибольший удельный вес. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

Мо = ,

где — начальное значение интервала, содержащего моду;

i – величина модального интервала;

— частота модального интервала (в абсолютном или относительном выражении);

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

Мода широко применяется в коммерческой деятельности.

2. Медиана – величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на 2 равные по численности части.

Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число значений, то медианой будет значение признака, находящееся в середине упорядоченного ряда. Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8 и 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана – 7 лет.

Если упорядоченный ряд состоит из четного числа значений, то медианой будет средняя арифметическая из 2 значений признака, расположенных в середине ряда. Пусть в бригаде не 5 человек, а 6, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В центре ряда стоят 6 и 7, т. е. средняя арифметическая этих значений и будет медианой ряда: Ме = (6+7)/2=6,5 лет.

В интервальном вариационном ряду медиана определяется по формуле:

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Нахождение медианы в интервальных вариационных рядах требует предварительного определения интервала, в котором находится медиана, т.е. медианного интервала – этот интервал характеризуется тем, что его кумулятивная частота равна полусумме или превышает полусумму всех частот ряда.

Медиана используется при контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях, а также при изучении распределения домохозяйств по величине дохода.

Мода и медиана являются дополнительными к средней величине характеристиками совокупности и используются в статистике для анализа формы рядов распределения.

Если значение средней величины совпадает с модой и медианой, то ряд является симметричным. На практике строго симметричные ряды встречаются довольно редко, чаще исследователю приходится иметь дело с асимметричными рядами. Простейшим показателем асимметрии может служить разность между средней арифметической величиной и модой.

Если A_S = 0, то – правосторонняя.

К структурным характеристикам исследуемой совокупности относятся также:

— квартили, делящие совокупность на 4 равные части,

— квинтили, делящие совокупность на 5 равных частей;

— децили, делящие совокупность на 10 частей,

— перцентили, делящие совокупность на 100 частей.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое статистический показатель? Какие виды статистических показателей Вы знаете?

2. Каково значение абсолютных величин в статистике? В каких единицах они измеряются? Приведите примеры.

3. Что характеризуют относительные статистические показатели? На какие виды они делятся?

4. Дайте определение средней величины.

5. Какие виды средних величин применяются в статистике?

6. В каких случаях применяются степенные средние?

7. Какие свойства средней арифметической Вы знаете?

8. Для чего используются структурные средние? На какие виды они подразделяются?

Глава 4. Вариация признака

Цель:усвоить и закрепить материал по теме, научиться проводить анализ вариационных рядов.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Структурные средние

Понятие средней величины (СВ). Способы расчета средней.

Показатели вариации.

Структурные средние.

Понятие средней величины (СВ). Способы расчета средней.

Каждая однородная статистическая совокупность состоит из массы отдельных единиц, кот. обладают индивидуальными особенностями и поэтому отличаются друг от друга по размеру кол-ного признака.

Для получения обобщающей хар-ки большого кол-тва индивид. значений варьирующего признака рассчитываются средние величины.

Следует отметить, что к средней величине обращаются не только тогда, когда речь идёт о вариации признака, но и когда необходимо дать обобщающую инф-цию по всей совокупности.

Под средней величиной понимают обобщающий показатель, хар-щий типичный уровень или размер варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Таким образом средняя величина – это величина, кот. одним значением хар-ет нечто общее для совокупности в целом.

Средняя величина в статистике:

1) хар-ет типичный уровень варьирующего признака;

2) отражает то общее, что хар-но для всех единиц совокупности;

3) взаимопогашает различия, кот. наблюдаются у отдельных единиц совокупности.

Средние величины могут быть исчислены по непосредственному перечню значений варьирующего признака у каждой единицы совокупности.

Т.е. средняя величина может быть рассчитана по первичным несгруппированным данным и по сгруппированным данным. Такие средние назыв. простыми и взвешенными.

Если средние вычисляются по варьирующему ряду сгруппированной инф-ции с учетом статистического веса каждого варианта, то их назыв. взвешенными средними.

Способы расчета средней зависят:

1) от того какой инф-цией мы обладаем для расчета средней;

2) от хар-ра осреднённой величины.

Исходной базой расчета и критерием правильности выбора формы средней величины явл. исходное соотношение средней или смысловая формула.

Смысловая формула – это словесное описание методологии расчета средней величины.

Общий вид смысловой формулы:

Для каждого среднего показателя используемого в соц.-экон. анализе можно составить только одну смысловую формулу для расчета среднего показателя.

Составим смысловую формулу для расчета средней ЗП.

Средняя цена ед. продукции:

Средний стаж 1-го работника:

Средний процент выполнения плана по выпуску про-ции:

Выбор формы и вида средней величины происходит след. образом:

1) если известен знаменатель смысловой формулы и неизвестен числитель, то используют среднюю арифметическую;

2) если известен числитель смысловой формулы и неизвестен знаменатель, то выбираем форму средней гармонической;

3) если исходная инф-ция несгруппирована, то используют простую среднюю;

4) если исходная инф-ция сгруппирована, то используют среднюю взвешенную.

В статистике применяются 2 наиболее распространённых вида средней величины: средняя арифметическая и средняя гармоническая. При этом каждый из этих видом может иметь 2 формы: простую или взвешенную.

Средняя арифметическая простая – это отношение суммы значений признака в отдельных единицах совокупности к числу единиц совокупности.

x – значение признака в каждой единицы совокупности

n – кол-тво единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная – это отношение общего размера значений признака во всех единицах сгруппированной совокупности к численности единиц во всех группах.

m – веса, т.е. число ед. совокупности в каждой отдельной группе или может быть удельный вес каждой отдельной группы.

Средняя гармоническая простая – это обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака, т.е. вариантов.

Средняя гармоническая взвешенная – это обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака во всех единицах сгруппированной совокупности.

Для наглядности нарисуем схему форм и видов средних величин:

По пр-ю, занимающемуся торговлей ценных бумаг, имеются данные о приобретении акций в 2-х акционерных обществах.

АО	Август	Сентябрь
Кол-тво приобр. акций, шт (m)	Цена 1 акции, грн (x)	Стоим-ть приобр. акций, грн (m)	Цена 1 акции, грн (x)
№1
№2
Итого	х	х

Опр-ть среднюю цену одной приобретённой акции по 2-м акционерным обществам в августе и сентябре.

Как изменилась средняя цена акции в абсолютном и относительном выражении.

Т.к. инф-ция сгруппирована и в смысловой формуле известен знаменатель и неизвестен числитель будем использовать среднюю арифметическую взвешенную.

В августе по 2-м акционерным обществам акции скупали в среднем по цене 12,80 (грн) за единицу.

Т.к. в сентябре месяце в смысловой формуле известен числитель и неизвестен знаменатель, инф-ция сгруппирована, веса неравны, то будем использовать среднюю гармоническую взвешенную.

В сентябре по 2-м АО в среднем скупали по 13,78 грн за единицу.

Абсолютное значение изменения ед. акции:

Относительное значения изменения ед. акции:

В сентябре месяце по сравнению с августом средняя цена одной акции выросла на 0,98 грн или в 1,077 раза, т.е. на 7,7%

Модой в статистике назыв. наиболее часто встречающиеся значения признака либо варианта совокупности. В дискретном вариационном ряду мода – это вариант, обладающий наибольшей частотой.

Для опр-ния моды в интервальном вариационном ряду сначала отыскивается модальный интервал (т.е. интервал, обладающий наибольшей частотой), а в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения.

Формула моды для интервальных вариационных рядов с равными интервалами:

– нижняя граница модального интервала (интервала,

– частота модального интервала

– частота предмодального интервала

– частота постмодального интервала

– ширина модального интервала.

Медиана – это значение признака у той единицы совокупности, кот. делит упорядоченный, ранжированный вариационный ряд пополам, т.е. половина совокупности имеет значение меньше медианы, а другое – больше.

В дискретном вариационном ряду медиана – это интервал, кот. находится в центре ранжированного ряда.

Нахождение медианы в интервальном вариационном ряду требует предварительного нахождения медианного интервала.

Таким интервалом будет тот, накопленная (коммулитативная) частота кот. равна или превышает полу сумму частот ряда распределения.

После опр-ния медианного интервала, медиана вычисляется путём линейной интерпретации, т.е. по формуле:

– это нижняя граница;

– частота медианного интервала;

– накопленная частота в предмедианном интервале или накопленная частота до медианы;

– ширина медианного интервала.

Имеются след. данные о распределении работников пр-я по уровню ЗП

ЗП, грн	Числ. раб., чел.	S, чел	х’, грн (середина интервала)	x’m, грн.
200-300
300-400
(Ме) 400-500	(m_ме) 4	(Sме) 10
500-600
Итого	х	х

Опр-ть моду и медиану.

На данном пр-и чаще всего встречаются работники с ЗП 380 грн.

Половина работников данного пр-я получают ЗП менее 425 грн, другая половина – больше.

Расчет средней величины в интервальном вариационном ряду распределения несколько отличается от расчета в дискретном вариационном ряду.

Для опр-ния средней величины в интервальном вариационном ряду распределения необходимо сначала найти середину ряда, таким образом перейдя от интервального вариационного ряда распределения к дискретному, потом расчет средней происходит обычным способом.

Обоснование формы и вида ср. величины.

Т.к. в смысловой формуле известен знаменатель, инф-ция сгруппирована, веса неравны, и мы осуществили переход от интервального вариационного ряда к дискретному, то будем использовать среднюю арифметическую взвешенную модифицированную.

Работники данного пр-я в среднем получают 428,57 грн.

Наряду с медианной для более полной хар-ки стр-ры изучаемой совокупности применяют и др. значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду опр-ное положение. К ним относятся квартили и децили.

Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили – на 10 частей.

Расчет этих показателей в вариационном ряду аналогичен расчету медианы и начинается с нахождения порядкового номера соотв. варианта и опр-ния по накопленной частоте того интервала, в кот. этот вариант находится. Затем с помощью линейной интерпретации, т.е. по формуле.

Квартиль находится по формуле:

Формула для децилей в интервальном вариационном ряду имеет след. вид:

Источник

Статистика

Структурные средние

Особый вид средних величин – структурные средние – применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой (Мо) называется чаще всего повторяющееся значение признака, а медианой (Ме) – величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, например, при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом.

Пусть получены следующие значения признака:

12,5 14 13 11,5 12,5 16 12

Для этого ряда значений модой будет являться число – 12,5. Медианой будет являться число 12,5 (значения предварительно следует расположить по возрастанию).

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то для определения моды достаточно подсчитать частоты отдельных значений и определить среди них наибольшую (на практике может быть несколько значений моды), а для определения медианы необходимо упорядочить ряд и найти средний по порядку элемент (при четном количестве отдельных единиц можно вычислить медиану как полусумму двух средних элементов). Если же данные о значениях признака представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения, т.е. интервальных рядов, то расчеты несколько усложняются. Для определения моды в этом случае находится так называемый модальный интервал, т.е. тот интервал, который имеет наибольшую частоту и мода вычисляется по формуле:

где X Мо – нижняя граница модального интервала; h – величина интервала; f Мо – частота, соответствующая модальному интервалу; f Мо-1 – частота предшествующего интервала; f Мо+1 – частота последующего интервала.

Для вычисления медианы в интервальных рядах сначала определяем медианный интервал по данным о накопленных частотах, а затем находим медиану по формуле:

где X Ме – нижняя граница медианного интервала, h – величина интервала; Sf/2 – половина от общего числа наблюдений; S Ме–1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; f Ме – частота, соответствующая медианному интервалу.

К структурным средним относятся также следующие величины:

Источник

Структурные средние величины

Наиболее часто применяемыми структурными средними величинами являются: мода, медиана, квартили, децили, перцентили.

Все структурные средние являются именованными величинами.

Мода ( ) – величина признака (варианту), которая наиболее часто встречается в исходной совокупности.

В дискретном вариационном ряду модой является варианта, имеющая наибольшую частоту (частость).

Пример 5.Используя распределение 25 работников по тарифному разряду (цифры условные) рассчитать моду.

Тарифный разряд,	Число работников, чел.,
Итого

Решение. В данном примере наибольшей частоте ( = 6) соответствует величина признака, равная 4. Значит, =4 тарифному разряду, т. е. наиболее часто в исходной совокупности встречаются работники, имеющие четвертый тарифный разряд.

В интервальном вариационном ряду с равными интервалами моду рассчитывают по формуле

где – нижняя граница интервала, содержащего моду;

– величина модального интервала;

– частота (частость) модального интервала;

– частота (частость) интервала, предшествующего

– частота (частость) интервала, следующего за модальным.

Пример 6. По приведенным условным данным о трудовом стаже 20 работников отдела вычислить моду (по формулам и графически).

Стаж работы работников, лет	Численность работников, чел.
до 5
5 –10
10–15
15–20
Итого

Решение. По наибольшей частоте ( = 10) определяем, что модальным является интервал по стажу работы 10–15 лет. Подставим значения в формулу и вычислим моду

= 12,9 лет,

т. е. чаще встречаются работники, имеющие трудовой стаж примерно 13 лет.

В интервальном вариационном ряду моду можно вычислить графически по гистограмме (рис. 4).

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду рассчитывают по формуле

где z – плотности распределения = .

Пример 7. По приведенным условным данным вычислить моду

Размер заработной платы, руб. / мес.	Численность работников, чел.
до 5000
5 000–7 000
7 000–10 000
10 000–15 000
Итого

Решение. В данном вариационном ряду интервалы группировки неравные, все предварительные расчеты представим в таблице:

		=	=
до 5 000	2 000	0,0065
5 000–7 000	2 000	0,0200
7 000–10 000	3 000	0,0090
10 000–15 000	5 000	0,0040
Итого

Наибольшая плотность распределения = 0,020.

Это означает, что модальным является интервал 5 000 – 7 000 руб.

= 6 102 (руб.),

т. е. большинство сотрудников получают заработную плату в размере 6 102 руб. в месяц.

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду также можно вычислить графически по гистограмме (по аналогии с ее определением в интервальном вариационном ряду с равными интервалами, только по оси ординат вместо частот (частостей) откладывают соответствующие плотности распределения).

Медиана ( ) – значение признака (варианта), которое имеет единица совокупности, делящая исходную совокупность на две равные по числу единиц части, т. е. в соотношении : .

Квартиль (Q)–значение признака, которое делит исходную совокупность на 4 равные по числу единиц части. Например, при вычислении первого квартиля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : , третьего ( ) – в соотношении : .

Дециль (D)–значение признака, который делит исходную совокупность на 10 равных частей. Например, при вычислении первого дециля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : , а при вычислении девятого дециля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : .

В дискретном вариационном ряду значениями медианы, квартилей и децилей являются варианты, соответствующие единицам совокупности, которые делят исходную совокупность в нужном соотношении.

Пример 8.По исходным данным примера 5 рассчитать медиану, третий квартиль и девятый дециль.

Решение. Вычислим накопленные частоты и определим порядковые номера соответствующих единиц совокупности.

		S
Итого	–

= 12,5 единица;

= 18,75 единица;

22,5 единица.

По накопленным частотам определяем, что 12,5-й единице совокупности соответствует значение признака, равное 4, т. е. = 4 тарифному разряду. Значит, половина работников исходной совокупности (50% работников) имеют 4 тарифный разряд и ниже, вторая половина работников (50%) имеют 4 тарифный разряд и выше.

Аналогично определяем, что Q₃ = 5 тарифный разряд, т. е. 75% работников имеют 5 тарифный разряд и ниже, а 25% работников – 5 тарифный разряд и выше.

D₉ = 6 тарифный разряд, т. е. 90% работников имеют 6 тарифный разряд и ниже, а 10% работников – 6 тарифный разряд.

В интервальном вариационном ряду медиану вычисляют по формуле

где – нижняя граница интервала, содержащего медиану;

– величина медианного интервала;

– сумма всех частот (частостей);

– накопленная частота (частость) интервала, предшествующего медианному;

– частота (частость) медианного интервала.

Расчет квартиля и дециля производится аналогично медиане. Например,

;

В интервальном вариационном ряду медиану, квартиль, дециль можно вычислить графически по кумуляте.

Пример 9. По исходным данным примера 7 вычислить , и (по формулам и графически).

Решение. Рассчитаем накопленные частоты и определим порядковые номера единиц, делящих исходную совокупность в нужном нам соотношении:

		S
до 5 000
5 000–7 000
7 000–10 000
10 000–15 000
Итого

= 15 (15-я единица).

По накопленным частотам определяем, что 15-я единица совокупности содержится в интервале 5 000–7 000 руб. Этот интервал является медианным. Подставим значения в формулу

(руб.). Половина работников отдела имеют размер заработной платы менее 6 833 руб., половина – более 6 833 руб.