сколько всевозможных двузначных чисел можно составить используя цифры 2 и 9
Решение задач по комбинаторике
Муниципальный координатор по работе с детьми с повышенной учебной мотивацией в области математики.
МБОУ «Лицей №6 имени М.А. Булатова»
Решение задач по комбинаторике.
МБОУ «СОШ№10 им. Е.И. Зеленко» г. Курска
Так что же такое комбинаторика? И какими задачами она занимается? Комбинаторика и слово комбинация очень похожи и имеют прямое отношение друг к другу. В комбинаторике изучают различные комбинации элементов множества и отношения на этих множествах. Впервые термин «комбинаторика» ввел Лейбниц, который в 1666 году опубликовал большой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Комбинаторика – раздел математики, который занимается решением комбинаторных задач.
Комбинаторные задачи – это задачи, в которых необходимо составить комбинации каких-либо элементов из заданного набора по определённым условиям и (или) подсчитать количество получившихся комбинаций.
В комбинаторике существует несколько способов решения комбинаторных задач. Сейчас мы их подробно рассмотрим.
Рассмотрим сущность способа 1 на конкретном примере.
Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
Решение. 1. Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.
2. Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.
3. Составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.
4. Делаем вывод, что других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.
5. Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.
Примечание. В данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов,
Рассмотрим пример задачи, где порядок выбора пары важен.
Пример 2. Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?
Решение. 1. Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Антон, 2-е – Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор.
2. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.
Рассмотрим пример на применение этого же способа на примере задачи с цифрами.
Пример 3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?
Решение. Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3. Таких комбинаций получим 27. При переборе легко было упустить какую-нибудь из них.
Эффективным приемом, организующим подсчет, является построение графов. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).
Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
Решение. 1. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77.
2. Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Рассмотрим два вида графов:
Граф-дерево (называют за внешнее сходство с деревом).
С помощью дерева проиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1. 
Графы, позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторных объектов. Для подведения учащихся к следующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которой количество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс их подсчета затруднителен.
На первом месте в двузначном числе может стоять одна из цифр 1, 4 или 7; на втором – (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр. Таким образом из рисунка видно, что из трех цифр 1, 4, 7 можно составить 9 различных чисел.
Таким образом, с помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.
Полный граф. Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.
Пример 5. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?
Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают рукопожатия каждой пары друзей.
Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.
Способ 3. Перебор с помощью таблицы вариантов .
Ее можно использовать, когда составляемые комбинации состоят из двух элементов. Рассмотрим сущность способа на конкретной задаче.
Решение. Для подсчета образующих чисел составим таблицу 1:
Таблица 1 Таблица 2
Решением задачи будет таблица 2. всего вариантов чисел будет N =3·4=12
Способ 4. Использование правил суммы и произведения
Сущность способа рассмотрим на примере задачи 7.
Задача про «Суеверного председателя».
Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):
Задача 7. Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?
Решение. 1) Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. 2) Найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных, т. е. всего получится 9·9 = 9 2 двузначных номеров.
3) Итак, существует 9 2 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. 4) При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 9 2 ·9 = 9 3 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.
Примечание. Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 8 3 = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.
Пример 8. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение: 1) По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. 2) Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5+4=9 способами.
Пример 9. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?
Решение: 1) В данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую.
2)Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3∙3∙3=27.
Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал): n!=1 ∗ 2 ∗ … ∗ (n−1) ∗ n, n факториал – состоящий из n множителей.
Способ 5. Решение комбинаторных задач с использованием формул
Кроме основных правил, способов перебора и графов пользуются основными понятиями комбинаторики, которые сопровождаются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, встречающиеся наиболее часто. При решении задач на комбинаторные соединения помогает таблица «Общая модель комбинаторной задачи и ее модификации», которая представлена ниже.
Ответ или решение 2
Составим все возможные двузначные числа
Мы составим все возможные двузначные числа из цифр 6; 7; 8 и 9 и посмотрим, в каких из них цифры расположены в порядке убывания. Обратите внимание, что в условии задачи не сказано, что цифры не должны повторяться.
Составим двузначные числа с первой цифрой 6. Получатся четыре числа: 66; 67; 68; 69.
Ни в одном из этих чисел цифры не расположены в порядке убывания. Значит, ни одно из этих чисел нам не подходит.
Составим двузначные числа с первой цифрой 7. Получатся четыре числа: 76; 77; 78; 79.
Только в числе 76 цифры расположены в порядке убывания. Значит, нам подходит только одно число.
Составим двузначные числа с первой цифрой 8. Получатся четыре числа: 86; 87; 88; 89.
Только в числах 86 и 87 цифры расположены в порядке убывания. Значит, нам подходят только два числа.
Составим двузначные числа с первой цифрой 9. Получатся четыре числа: 96; 97; 98; 99.
Только в числах 96; 97 и 98 цифры расположены в порядке убывания. Значит, нам подходят только три числа.
Посчитаем общее количество подходящих двузначных чисел
Посчитаем, сколько всего получилось двузначных чисел, у которых цифры расположены в порядке убывания:
Итак, всего получилось шесть двузначных чисел.
Вспомним, что цифры — это специальные математические знаки, при помощи которых записываются числа. В записи двузначных чисел используется 2 цифры.
Запишем всевозможные двузначные числа, соответствующие условию задания:
Следовательно, можно записать 6 чисел.