сколькими способами можно разделить 5 одинаковых ручек между машей и гришей

Практическое занятие на тему «Основные комбинаторные конфигурации»

Практическое занятие (2ч.)

Тема: Основные комбинаторные конфигурации .

научить применять комбинаторные конфигурации при решении задач;

сформировать умение находить нужную комбинаторную формулу при решении задачи;

формирование самостоятельности студента на занятии.

Математика / приложение к газете «Первое сентября», №15, 2004 г.

Стойлова Л.П. Математика.-М.: Изд. Центр Академия, 1997.

Прикладная комбинаторная математика.

Вариативная самостоятельная работа.

Повторение основных формул необходимых при решении комбинаторных задач.

Размещения с повторениями.

Задача 1. Сколько различных четырехзначных чи­ сел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?

Решение. Здесь порядок цифр существенен (2678 или 6278 — это разные числа). Поэтому имеем дело с кортежем длины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать пятью способами (цифр дано пять). Поэтому число различных комби­ наций равно 4 5 = 1024.

Задача 2. На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?

Решение. Получаем кортеж длины 4 (столько во­ просов в бюллетене), каждый элемент может быть вы­ бран двумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно 2 4 =16.

Задача 3 . Неудовлетворенные решением Париса Гера, Афина и Афродита обратились к трем мудре­ цам с просьбой назвать прекраснейшую из них. Каж­ дый из мудрецов высказал свое мнение. Сколько мог­ ло возникнуть вариантов ответа на поставленный во­ прос у этой тройки?

Решение. Здесь вновь кортеж длиной 3 (три муд­ реца), каждый элемент которого может быть выбран шестью способами. Поэтому число различных возмож­ ностей равно 6 3 = 216.

Задача 5. На железнодорожной станции имеется я семафоров. Сколько может быть дано различных сигналов при помощи этих семафоров, если каждый семафор имеет три состояния: горит либо зеленый, либо желтый, либо красный свет.

Задачи для домашней работы

Сколько букв русского алфавита можно зако дировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака?

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Задача 1. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из четырех чело­ век для участия в эстафете на 100 + 200 + 400 + 800 (м). Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Имеем кортежи длиной 4. Ни один эле­мент не может входить дважды (один бегун на один отрезок дистанции). Значит,

А 4 ₃₀ = =27·28·29·30 = 657 720.

Решение. Имеем кортежи длиной 3 (у треугольни­ка три вершины). Ни один элемент не может входить дважды. Значит,

А 3 ₅₌

Задачи для домашней работы

Сколько всего различных пятизначных чисел, не содержащих нуля?

В классе изучают девять предметов. Скольки ми способами можно составить расписание на поне­ дельник, если в этот день должно быть шесть разных уроков?

Перестановка без повторений.

Задача 1. Сколькими способами можно перестав­ лять друг с другом цифры 1, 2, 3 и 4?

Задача 2. За столом пять мест. Сколькими спосо­ бами можно рассадить пятерых гостей?

Задача 3. У Лены есть восемь разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква должна быть раскрашена одним цветом и все восемь букв должны быть разными по цвету?

Перестановка с повторениями.

Задача 1. У мамы два яблока и три груши. Каж­ дый день в течение пяти дней она дает сыну по одно­ му фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение. Р(2, 3) = 10.

Задача 2. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в четыре одинаковых кон­ верта так, чтобы в каждом конверте было по семь открыток?

Решение. Пометим конверты цифрами 1, 2, 3 и 4. Тогда число различных раскладок равно

Р(7, 7, 7,7)=.

Сотрем пометки. Теперь конверты можно произволь­ но переставлять друг с другом, не меняя результата раскладки (теперь они неотличимы друг от друга). Так как число различных перестановок четырех кон­ вертов равно

Р ₄ = 4!, то число различных раскладок уменьшается в

Р ₄ = 4! раз и поэтому оно равно

Ответ:

Задачи для домашней работы

Сколько различных слов можно получить, пе реставляя буквы слова «ингредиент»?

Сколькими способами можно посадить за круг­ лый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Автомобильные номера состоят из четырех цифр и трех букв. Найдите число таких номеров, если ис­пользуются 32 буквы русского алфавита.

Сочетание с повторениями.

Задача 1. В кондитерском отделе продаются пи­ рожные четырех сортов: наполеоны, эклеры, песоч­ные и слоеные. Сколькими способами можно купить семь пирожных?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с по­ вторениями из 4 (четыре вида пирожных) по 7 (столько пирожных покупают). Значит,

Ответ: 120 способов.

Задача 2. В почтовом отделении продают открыт­ ки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с по­ вторениями из 10 по 12. Имеем

Сочетания без повторений.

Задача 1. Сколькими способами в игре «Спортло­ то» можно выбрать шесть номеров из 49?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания без повторения (одно число может быть по правилам игры выбрано не более одного раза) из 49 по 6.

Решение. Здесь рассматриваются сочетания без повторений.

Задача 3. Дама сдавала в багаж семь предметов, Все они оказались украденными, но два каких-либо (по ее выбору) ей согласились поискать. Сколько у нее есть возможностей выбрать два любимых предме­ та?

Задача 4. В прошлые века процветала генуэзская лотерея, сохранившаяся в некоторых странах и по­ныне. Участники этой лотереи покупали билеты, на которых стояло число от 1 до 90. Можно было ку­ пить и билеты, на которых было сразу 2, 3, 4 и 5 чисел. В день розыгрыша лотереи из мешка, содер­жащего жетоны с числами от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у которых все номера на билетах были среди вынутых. Если участник лотереи покупал билет с одним из чисел, то он получал при выигрыше в 15 раз больше стоимости билета; если с двумя числами (амбо), то в 270 раз больше, если с тремя числами (терн) – в 5500 раз больше, если в четырьмя числами (катерн) – 75000 раз больше, а если с пятью числами (квин) – в 1000 000 раз больше, чем стоит билет. Каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник купил билет с одним числом?

Решение. Общее число исходов находится из формулы сочетаний без повторений:

С 5 ₉₀ =

Если участник купил билет с одним номером, то для выигрыша необходимо, чтобы один из вынутых номеров совпал с номером на билете. Остальные 4 номера могут быть благоприятными. Но эти 4 номера выбираются из оставшихся 89 номеров. Поэтому число благоприятных комбинаций к общему числу комбинаций равно

Ответ:

Задачи для домашней работы

Сочетайте, каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник купил билет с двумя числами.

Сколькими способами можно составить набор из восьми пирожных, если имеется четыре сорта пирожных?

В классе имеется шесть сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду из четырех человек?

Источник

Сколькими способами можно распределить 8 различных ручек между 4 учениками

Здравствуйте, проверьте пожалуйста решение задачи:

Сколькими способами можно распределить 8 различных ручек между 4 учениками, если каждый из них может остаться и без ручки.

Я думаю так: = = 4096 (способов)
Это правильно?

Сколькими способами можно разделить 8 различных ручек между 4 учениками, если каждый из них может остаться и без ручки
1.Сколькими способами можно разделить 8 различных ручек между 4 учениками, если каждый из них может.

Сколькими способами можно распределить 6 различных открыток в 4 различных конверта, если допускаются пустые
Сколькими способами можно распределить 6 различных открыток в 4 различных конверта, если.

Сколькими способами можно распределить 3n различных книг?
Сколькими способами можно распределить 3n различных книг между тремя людьми, так, чтобы каждый.

Наверное, всё-таки каждый из них, но не все сразу.

Добавлено через 6 минут
Прошу извинить за неверную оценку ответа. Я думаю, что Вы правильно решили задачу.

Решение

Ручек всего 8, а в этой формуле учитывается случай, когда все одновременно получат по 8 ручек (что не может быть)!

Добавлено через 1 час 41 минуту
s2020mple,

Сколькими способами можно распределить 6 заданий между 3 работниками
Требуется выполнить 6 заданий. Задания могут выполняться независимо одно от другого. Имеется 3.

Сколькими способами можно распределить 40 заказов между 5 курьерами?
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить такую задачу по комбинаторике: сколькими способами можно.

Сколькими способами можно распределить 3 путёвки между 5 студентами?
Помогите решить вот такую задачу) Сколькими способами можно распределить 3 путёвки между 5.

Сколькими способами можно распределить экзаменационные вопросы между студентами поровну?
Подскажите пожалуйста, сколькими способами можно распределить 18 экзаменационных вопросов между 6.

Сколькими способами можно распределить между ними имеющиеся рабочие места?
В центр занятости обратилось 7 человек, имеющих одинаковые потенциальные возможности. Для них есть.

Источник

Пушкин сделал!

Разбор домашних заданий 1-4 класс

Home » Петерсон Математика » Задачи 91-109. Повторение. Петерсон Математика 2 класс Ответы

Задачи 91-109. Повторение. Петерсон Математика 2 класс Ответы

91. Вычисли:

92. Начерти незамкнутую ломаную линию, состоящую из 4 звеньев, так, чтобы звенья ломаной образовывали один острый, один прямой и один тупой угол.

93. Найди на рисунке и назови прямые, лучи и отрезки. Какие из них пересекаются? Какие из них параллельны, перпендикулярны?

DC и MK – перпендикулярные прямые.

Прямые m и k – параллельны, не пересекаются.

Прямая m пересекает отрезок АВ, прямая МК пересекает отрезки АВ и EF, прямые m и k.

94. Проведи циркулем окружность с центром в точке А и радиусом 3 см. Затем отметь на окружности точку В и проведи вторую окружность того же радиуса с центром в точке В. Отметь:

а) точки С и D, которые находятся на первой и на второй окружностях одновременно;

б) точку Е, которая находится внутри обоих кругов одновременно;

в) точку К, которая находится внутри первого круга, но снаружи второго круга;

г) точку М, которая находится снаружи обоих кругов одновременно.

95. Назови многоугольники, которые ты видишь на чертеже. Установи в каждом случае, какая фигура является их пересечением.

а) Пересечением треугольника и четырёхугольника является квадрат.

б) Пересечением двух четырёхугольников является пятиугольник.

в) Пересечением треугольника и пятиугольника является отрезок.

г) Пересечением треугольника и четырёхугольника является точка.

д) Пересечением треугольника и шестиугольника является треугольник.

96. Начерти два треугольника так, чтобы их пересечением были: а) треугольник; б) прямоугольник; в) отрезок; г) точка.

97. Отгадай загадку:

Р 45 : 5 ∙ 6 = 54 Н 50 ∙ 3 = 150 Я 22 ∙ 4 = 88

У 49 : 7 ∙ 5 = 35 Е 7 ∙ 40 = 280 Д 35 ∙ 2 = 70

К 36 : 6 ∙ 8 = 48 Л 180 : 2 = 90 Й 17 ∙ 3 = 51

И 3 ∙ 8 : 4 = 6 В 90 : 30 = 3 Ч 16 ∙ 6 = 96

С 64 : 8 ∙ 7 = 56 О 200 : 5 = 40 А 34 : 2 = 17

Э 42 : 6 ∙ 9 = 63 Ц 6 ∙ 100 = 600 З 72 : 6 = 12

Б 81 : 9 ∙ 3 = 27 Т 400 : 5 = 80 Ь 46 : 23 = 2

Кулик невелик целой сотне велит: то сядь да учись, то встань разойдись.

98. Сколькими способами можно разделить 10 одинаковых грибов между двумя ребятами?

Ответ: девятью способами.

99. Перечисли все пары чисел, в которые первое число пары меньше второго, а сумма обоих чисел равна 10.

1 и 9; 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6; 0 и 10. Ответ: 5 пар.

100. У Тани 2 вида ручек и 4 вида карандашей. Сколько различных комплектов из одной ручки и карандаша можно из них составить?

Ответ: 8 различных комплектов.

101. Составь все однозначные, двузначные и трёхзначные числа, которые можно записать с помощью цифр 5 и 0 (цифры в числе могут повторяться).

500, 505, 550, 555. Ответ: 8 чисел

102. У мамы 2 груши и 3 банана. В течение 5 дней она выдаёт сыну по одному фрукту в день. Сколькими способами она может это сделать? Составь «дерево» и отметь на нём путь «банан – груша – банан – груша».

10 способов: ггббб, гбббг, гббгб, гбгбб, бббгг, ббггб, ббгбг, бггбб, бгбгб, бгббг.

103* Записаны подряд семь цифр: 4 9 2 1 5 0 8

Зачеркни 4 цифры так, чтобы оставшееся трёхзначное число было: а) наибольшим; б) наименьшим.

104* Найди недостающую фигуру.

105*. Вычисли и расположи в порядке убывания. Расшифруй название маленьких смешных обезьян. Их размер примерно 12 см. Где они живут и что едят?

0 ∙7 = 0 > 30? Нет 0 + 11 = 11

1 ∙7 = 7 > 30? Нет 7 + 11 = 18

2 ∙7 = 14 > 30? Нет 14 + 11 = 25

3 ∙7 = 21 > 30? Нет 21 + 11 = 32

4 ∙7 = 28 > 30? Нет 28 + 11 = 39

5 ∙7 = 35 > 30? Да 35 – 9 = 26

6 ∙7 = 42 > 30? Да 42 – 9 = 33

7 ∙7 = 49 > 30? Да 49 – 9 = 40

8 ∙7 = 56 > 30? Да 56 – 9 = 47

9 ∙7 = 63 > 30? Да 63 – 9 = 54

106*. Ломаной линией, состоящей из четырёх звеньев, перечеркни, не отрывая карандаша от бумаги, 9 точек, расположенных на рисунке.

107*. У меня две монеты. В сумме они составляют 15 копеек. Одна из моих монет не 5 копеек. Какие это монеты?

Значит, первая монета — 10 копеек, а вторая — 5 копеек.

108*. Длина изгороди вокруг прямоугольного участка земли равна 46 м. Ширина участка 4 м. Чему равны его длина и площадь?

Периметр прямоугольника – сумма длин всех сторон.

1) 46 : 2 = 23 (м) – сумма длины и ширины участка.

2) 23 – 4 = 19(м) – длина участка.

3) 19 ∙ 4 = 76 (м²) – площадь участка.

109*. На острове «Зе-зе»

Устроили турнир

Пять шустрых шимпанзе:

Аз, Ти, Ви, Би и Кир.

На сколько мест отстал

От Би упрямец Ти,

На сколько выше Аз

Стоит над Ви. Учти,

Что Ви идёт за Ти,

А наш знакомый Ти

В таблице не второй.

Да, я забыл, прости,

Сказать ещё, что Кир

Не первый и не третий…

Возьми-ка карандаш! Хватает данных этих,

Чтоб ты распределил, как следует места.

Задача не сложна, хотя и не проста!

Ответ: 1 м. — Би, 2 м. — Аз, 3 м. — Ти, 4 м. — Ви, 5 м. — Кир.

Источник

Как найти число перестановок с повторениями

Число перестановок c повторениями обозначают

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

Пример 1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

Калькулятор длч вычисления числа перестановок с повторениями

Пример 2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

Источник