Мощность в цепях переменного синусоидального тока

Переменный ток получил широкое распространение в промышленности. Почти вся электрическая энергия вырабатывается генераторами переменного тока. Он легко преобразуется с помощью трансформаторов, его легко передавать по линии передачи на значительные расстояния, а распространенные двигатели переменного тока более просты в изготовлении и эксплуатации. Техника связи и радиотехника также используют переменные токи высокой частоты.

При расчете цепей синусоидального тока требуется выполнять математические действия с синусоидальными функциями, что сопровождается громоздкими и трудоемкими вычислениями.

Известно, что любая синусоидальная функция времени может быть условно изображена соответствующим ей вращающимся радиусом-вектором, длина которого равна амплитудному значению синусоиды, а начальное положение относительно оси абсцисс определяется начальной фазой синусоиды.

Изображение синусоидальных функций времени вращающимися векторами

Мощность в резисторе

В цепи с резистором ток и напряжение, как уже было показано ранее, совпадают по фазе. Если начальная фаза тока равна нулю, то и начальная фаза напряжения на резисторе также будет равна нулю.

Мгновенное значение мощности в электрической цепи определяется как произведение мгновенного значения напряжения на мгновенное значение тока. В качестве примера на рисунке ниже приведены выражения для тока, напряжения и мощности в цепи с резистором.

Напряжение, ток и мощность в резисторе

Из рисунка видно, что мгновенная мощность пульсирует с двойной частотой. Амплитуда мощности равна 4 Вт (произведение амплитуды напряжения на амплитуду тока), а минимальное значение мгновенной мощности равно нулю.

Среднее значение мощности за период равно 2 Вт. Среднее значение мощности за период называется активной мощностью и измеряется в ваттах.

Активная мощность представляет среднюю за период скорость потребления электрической энергии в цепи. Кроме активной мощности необходимо знать и амплитуду колебаний мощности около ее среднего значения.

Амплитудное значение мощности равно 2 ВА. Это значение мощности называется полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА). Оно равно произведению действующего напряжения на действующий ток S = UI.

Мощность в идеальной индуктивной катушке

Если в цепи, содержащей индуктивную катушку, протекает синусоидальный ток, то напряжение на катушке будет также синусоидальным и опережать ток на 90°.

Максимальное (или действующее) значение напряжения на индуктивной катушке связано с максимальным (или действующим) значением тока законом Ома. В качестве сопротивления берут индуктивное сопротивление катушки X_L = w_L, измеряемое в омах.

На рис унке ниже приведены расчетные значения тока, напряжения и мгновенной мощности для действующего значения тока I = 1 А и X_L = 2 Ом при той же угловой частоте.

Напряжение, ток и мощность в идеальной индуктивной катушке

Из рис унка видно, что мгновенная мощность также пульсирует с двойной частотой, но среднее значение ее за период равно нулю, т.е. активная мощность Р = 0. Это значит, что электрическая энергия в катушке не преобразуется в тепловую энергию.

Максимальное значение мощности в катушке называется реактивной (индуктивной) мощностью, она обозначается и измеряется в варах. Это наибольшая скорость поступления электрической энергии в магнитное поле катушки, она характеризует непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником питания и магнитным полем катушки.

Мощность в конденсаторе

Если в цепи содержится конденсатор и по цепи протекает переменный синусоидальный ток, то напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90°. Максимальное (или действующее) значение напряжения на конденсаторе связано с максимальным (или действующим) значением тока законом Ома для цепей переменного тока.

На рисунке ниже приведены расчетные значения тока, напряжения и мгновенной мощности для действующего значения тока I = 1 А и Х_С = 2 Ом.

Напряжение, ток и мощность в конденсаторе

Из рисунка видно, что мгновенная мощность также пульсирует с двойной частотой и ее среднее значение Р за период также равно нулю. Максимальное значение мощности также называется реактивной (емкостной) мощностью. Она обозначается Q_C и измеряется в варах.

Амплитудное значение реактивной мощности равно произведению действующего напряжения на действующее значение тока. Полная мощность равна реактивной мощности.

Знаки индуктивной и емкостной мощностей. Новые выражения для мощностей в цепях синусоидального тока

Обратим внимание на то, что индуктивная мощность в первой полуволне положительная, а емкостная мощность отрицательная. В связи с этим реактивные мощности берут с разными знаками: мощность Q_L берут в расчетах со знаком плюс, а мощность Q_С со знаком минус.

Напряжение, ток и мощность в цепи с активно-индуктивной нагрузкой

Напряжение, ток и мощность в цепи с активно- емкостной нагрузкой

Мощность в трехфазных цепях синусоидального тока

Рассмотрим мощность в трехфазных цепях синусоидального тока. В симметричных цепях трехфазного тока напряжения и токи в фазах сдвинуты на 120°. Мгновенное значение суммарной мощности в такой трехфазной цепи в любой момент времени постоянное.

Такая трехфазная система называется уравновешенной. Если же система токов не будет симметричной, то и значение мощности не будет постоянным, а будет пульсировать.

Вывод о постоянстве мгновенной мощности в симметричной трехфазной системе имеет важное значение для практики. Наиболее распространенными источниками электрической энергии являются синхронные генераторы, вырабатывающие синусоидальную ЭДС.

Синхронные генераторы большой мощности приводятся во вращение паровыми, газовыми или гидравлическими турбинами. Синхронные генераторы малой мощности приводятся во вращение двигателями внутреннего сгорания. От этих двигателей, называемых первичными двигателями, и получают мощность синхронные генераторы.

Мощность в уравновешенной (симметричной) трехфазной цепи

Мощность в неуравновешенной (несимметричной) трехфазной цепи

Как ранее мы видели, в однофазных цепях переменного тока мгновенная мощность, отдаваемая генератором приемнику, пульсирует с двойной частотой, причем амплитуда мгновенной мощности превосходит ее среднее значение до двух раз.

Точно так же пульсируют момент и мощность на валу первичного двигателя. Только при большой инерционности ротора и вала приводного двигателя эти пульсации момента гасятся системой ротор-вал и скорость вращения остается постоянной.

Мощность в уравновешенной (симметричной) двухфазной цепи

В симметричной трехфазной же системе мгновенная мощность, отдаваемая генератором в нагрузку, постоянна, она не зависит от времени. Постоянным оказывается и момент на валу первичного двигателя, соединенного с ротором синхронного генератора.

Отметим, что и в двухфазной симметричной системе мгновенное значение мощности также не зависит от времени и система является уравновешенной.

Использованы материалы книги » MATHCAD и решение задач электротехники».

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Что такое реактивная мощность и как её рассчитать?

Многие потребители электроэнергии не подозревают того, что часть учтённого электричества расходуется бесполезно. В зависимости от вида нагрузки уровень потерь электроэнергии может достигать от 12 до 50%. При этом счетчики электроэнергии засчитывают эти потери, относя их к полезной работе, за что приходится платить. Виной завышения оплаты за потребление электроэнергии, не выполняющей полезной работы, является реактивная мощность, присутствующая в сетях переменных токов.

Чтобы понять, за что мы переплачиваем и как компенсировать влияние реактивных мощностей на работу электрических установок, рассмотрим причину появления реактивной составляющей при передаче электроэнергии. Для этого придётся разобраться в физике процесса, связанного с переменным напряжением.

Что такое реактивная мощность?

Для начала рассмотрим понятие электрической мощности. В широком смысле слова, этот термин означает работу, выполненную за единицу времени. По отношению к электрической энергии, понятие мощности немного откорректируем: под электрической мощностью будем понимать физическую величину, реально характеризующую скорость генерации тока или количество переданной либо потреблённой электроэнергии в единицу времени.

Понятно, что работа электричества в единицу времени определяется электрической мощностью, измеряемой в ваттах. Мгновенную мощность на участке цепи находят по формуле: P = U×I, где U и I – мгновенные значения показателей параметров напряжения и силы тока на данном участке.

Строго говоря, приведённая выше формула справедлива только для постоянного тока. Однако, в цепях синусоидального тока формула работает лишь тогда, когда нагрузка потребителей чисто активная. При резистивной нагрузке вся электрическая энергия расходуется на выполнение полезной работы. Примерами активных нагрузок являются резистивные приборы, такие как кипятильник или лампа накаливания.

При наличии в электрической цепи ёмкостных или индуктивных нагрузок, появляются паразитные токи, не участвующие в выполнении полезной работы. Мощность этих токов называют реактивной.

На индуктивных и ёмкостных нагрузках часть электроэнергии рассеивается в виде тепла, а часть препятствует выполнению полезной работы.

К устройствам с индуктивными нагрузками относятся:

Ёмкостными сопротивлениями обладают конденсаторы.

Физика процесса

Когда мы имеем дело с цепями постоянного тока, то говорить о реактивной мощности не приходится. В таких цепях значения мгновенной и полной мощности совпадают. Исключением являются моменты включения и отключения ёмкостных и индуктивных нагрузок.

Похожая ситуация происходит при наличии чисто активных сопротивлений в синусоидальных цепях. Однако если в такую электрическую цепь включены устройства с индуктивными или ёмкостными сопротивлениями, происходит сдвиг фаз по току и напряжению (см. рис.1).

При этом на индуктивностях наблюдается отставание тока по фазе, а на ёмкостных элементах фаза тока сдвигается так, что ток опережает напряжение. В связи с нарушением гармоники тока, полная мощность разлагается на две составляющие. Ёмкостные и индуктивные составляющие называют реактивными, бесполезными. Вторая составляющая состоит из активных мощностей.

Рис. 1. Сдвиг фаз индуктивной нагрузкой

Угол сдвига фаз используется при вычислениях значений активных и реактивных ёмкостных либо индуктивных мощностей. Если угол φ = 0, что имеет место при резистивных нагрузках, то реактивная составляющая отсутствует.

Важно запомнить:

Треугольник мощностей и cos φ

Для наглядности изобразим полную мощность и её составляющие в виде векторов (см. рис. 2). Обозначим вектор полной мощности символом S, а векторам активной и реактивной составляющей присвоим символы P и Q, соответственно. Поскольку вектор S является суммой составляющих тока, то, по правилу сложения векторов, образуется треугольник мощностей.

Рис. 2. коэффициент мощности

Применяя теорему Пифагора, вычислим модуль вектора S:

Отсюда можно найти реактивную составляющую:

Выше мы уже упоминали, что реактивная мощность зависит от сдвига фаз, а значит и от угла этого сдвига. Эту зависимость удобно выражать через cos φ. По определению cos φ = P/S. Данную величину называют коэффициентом мощности и обозначают P_f. Таким образом, P_f = cos φ = P/S.

Коэффициент мощности, то есть cos φ, является очень важной характеристикой, позволяющей оценить эффективность работы тока. Данная величина находится в промежутке от 0 до 1.

Формулы

Поскольку реактивная мощность зависит от угла φ, то для её вычисления применяется формула: Q = UI×sin φ. Единицей измерения реактивной составляющей является вар или кратная ей величина – квар.

Активную составляющую находят по формуле: P = U*I×cosφ. Тогда

Зная коэффициент P_f (cos φ), мы можем рассчитать номинальную мощность потребителя тока по его номинальному напряжению, умноженному на значение силы потребляемого тока.

Способы компенсации

Мы уже выяснили, как влияют реактивные токи на работу устройств и оборудования с индуктивными или ёмкостными нагрузками. Для уменьшения потерь в электрических сетях с синусоидальным током их оборудуют дополнительными устройствами компенсации.

Принцип действия установок компенсации основан на свойствах индуктивностей и ёмкостей по сдвигу фаз в противоположные стороны. Например, если обмотка электромотора сдвигает фазу на угол φ, то этот сдвиг можно компенсировать конденсатором соответствующей ёмкости, который сдвигает фазу на величину – φ. Тогда результирующий сдвиг будет равняться нулю.

На практике компенсирующие устройства подключают параллельно нагрузкам. Чаще всего они состоят из блоков конденсаторов большой ёмкости, расположенных в отдельных шкафах. Одна из таких конденсаторных установок изображена на рисунке 3. На картинке видно группы конденсаторов, используемых для компенсации сдвигов напряжений в различных устройствах с индуктивными обмотками.

Компенсацию реактивной мощности ёмкостными нагрузками хорошо иллюстрируют графики на рисунке 4. Обратите внимание на то, как эффективность компенсации зависит от напряжения сети. Чем выше сетевое напряжение, тем сложнее компенсировать паразитные токи (график 3).

Рис. 4. Компенсация реактивной мощности с помощью конденсаторов

Устройства компенсации часто устанавливаются в производственных цехах, где работает много устройств на электроприводах. Потери электричества при этом довольно ощутимы, а качество тока сильно ухудшается. Конденсаторные установки успешно решают подобные проблемы.

Нужны ли устройства компенсации в быту?

На первый взгляд в домашней сети не должно быть больших реактивных токов. В стандартном наборе бытовых потребителей преобладают электрическая техника с резистивными нагрузками:

Коэффициенты мощности современной бытовой техники, такой как телевизор, компьютер и т.п. близки к 1. Ими можно пренебречь.

Но если речь идёт о холодильнике (P_f = 0,65), стиральной машине и микроволновой печи, то уже стоит задуматься об установке синхронных компенсаторов. Если вы часто пользуетесь электроинструментом, сварочным аппаратом или у вас дома работает электронасос, тогда установка устройства компенсации более чем желательна.

Экономический эффект от установки таких устройств ощутимо скажется на вашем семейном бюджете. Вы сможете экономить около 15% средств ежемесячно. Согласитесь, это не так уж мало, учитывая тарифы не электроэнергию.

Попутно вы решите следующие вопросы:

Для того чтобы ток и напряжение работали синфазно, устройства компенсации следует размещать как можно ближе к потребителям тока. Тогда реальная отдача индуктивных электроприёмников будет принимать максимальные значения.

Источник

Реактивную мощность q цепи синусоидального тока можно определить по формуле

Основные характеристики синусоидальных электрических величин. Мощность в цепи синусоидального тока.

Из всех возможных форм периодических токов и напряжений наибольшее распространение получили синусоидальные. По сравнению с другими синусоидальные токи и напряжения имеют то преимущество, что позволяют наиболее экономично осуществлять производство, передачу на расстояние и использование электрической энергии. Только при помощи синусоидальных токов удается сохранить неизменными формы кривых токов и напряжений на всех участках линейной ЭЦ.

В настоящее время производство и передача электрической энергии в во всех европейских странах (включая Россию) осуществляется при помощи трехфазного синусоидального тока с частотой 50 Герц, В СЩА и Японии- с частотой 60 Гц.

Различные области техники используют весьма широкий диапазон частот в зависимости от технических потребностей. В авиации, например, успешно применяется синусоидальный ток с частотой 400 Гц, т.к. при такой частоте снижаются габаритные размеры и вес авиационного оборудования. В электротехнологических установках используют диапазон от 500 Гц до 50 мГц. Частоты от нескольких сотен мегагерц до миллиарда Гц применяют в радиотехнике.

Мгновенные, средние и действующие значения синусоидальных напряжений и токов.

Синусоидальные напряжения и токи представляют собой величины, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону (см. рис.2.1), т.е.

i (t)= I m Sin ( w t+ y i ), А,

Время, за которое совершается одно полное коленбание, называется периодом Т.

Число периодов в секуду называется частотой (f) и измеряется в Герцах, т.е.

Аргумент синусоидальной функции

измеряемый в угловых единицах (радианах или градусах) называется фазой синусоиды. Фаза линейно растет во времени со скоростью

которая называется угловой частотой.

При совместном рассмотрении двух синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты вводится понятие фазового сдвига между ними.

Так фазовый сдвиг j между напряжением и током равен разности начальных фаз напряжения и тока, т.е.

Если j >0, то напряжение опережает по фазе ток; если j j =0, то напряжение совпадает по фазе с током.

Для оценки эффективности действия периодического тока используют его тепловое или электродинамическое действие и сравнивают с анало-гичным действием постоянного тока за один и тот же интервал времени, равный периоду тока Т.

Энергия, преобразуемая в тепло в резистивном элементе с сопротивлением R за время “Т” при протекании через него постоянного тока I определяется выражением

За то же время в том же элементе при протекании периодического тока i (t) в виде тепла выделится энергия

Из равенства энергий найдем действующее значение периодического тока как

I=Im/=0.707 Im,

Аналогично находится действующее значение синусодального напряжения.

U=Um/=0.707 Um.

Для измерения действующих значений напряжений и токов применяется тепловая, электромагнитная, электродинамическая и другие системы приборов. Шкалы этих приборов проградуированы в в действующих значениях и для определения амплитуды синусоидального напряжения или токм надо показания прибора умножить на .

Для синусоидальной функции времени среднее за период значение равно 0, т.к. площадь отрицательной полуволные компенсируется площадью положительной полуволны. Поэтому для характеристики синусоидальной во времени величины используется понятие среднего полупериодного значения, соответствующего положительной полуволне синусоиды. Таким образом среднее значение синусоидального тока равно

Аналогично, среднее значение синусоидального напряжения определяется как

Мощность в цепях синусоидального тока.

Для характеристики мощности в цепи синусоидального тока используются понятия мгновенной, активной, реактивной и полной мощности.

Мгновенная мощность, характеризующая скорость изменения энергии в цепи в любой момент времени определяется выражением

Как видно, выражение для мгновенной мощности содержит постоянную составляющую p = и переменную составляющую p

, меняющуюся с удвоенной частотой относительно частоты изменения напряжения и тока.

Среднее за период “Т” значение мощности, определяемое интегралом

называется активной мощностью. Эта мощность, характеризует энергию, рассеиваемую за период питающего напряжения в виде тепла в резистивных элементах цепи и измеряется в ваттах. Видно, что средняя или активная мощность всегда положительна и равна постоянной составляющей мгновенной мощности.

При расчетах электрических цепей и на практике используется понятие реактивной мощности Q, которая вычисляется по формуле

Величина S, равная произведению действующих значений тока и напряжения на зажимах ЭЦ, называется полной или кажущейся мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА).

Полная мощность равна амплитуде переменной составляющей мгновенной мощности (см.рис.2.1).

При расчетах мощностей в цепях переменного тока пользуются понятием коэффициента мощности

который характеризует долю средней или активной мощности P в полной мощности S. Чем меньше Cos j при одинаковой активной мощности Р, тем больше ток и потери в устройствах передачи энергии. Повышение коэффициента мощности промышленных установок представляет собой важную народно-хозяйственную задачу.

На щитке любого источника переменного тока (генератора или трансформатора) указывается значение полной мощности S, представляющей предельную мощность установки. Только при Cos j =1, т.е. при совпадении начальных фаз тока и напряжения, активная мощность становится равной полной мощности и, следовательно, мощность источника используется полностью.

Источник

№28 Энергия и мощность в цепи синусоидального тока.

Пусть на некотором участке цепи, напряжение на зажимах которого равно u, током i за время dt переносится электрический заряд dq = idt. Затрачиваемая источником энергия равна при этом dw = udq = uidt, а развиваемая мощность p = dw/dt = ui. Эта величина называется мгновенной мощностью и определяет скорость и направление движения энергии на рассматриваемом участке. Если энергия поступает в цепь и накапливается в ней, функция w(t) возрастает, и мгновенная мощность положительна как производная возрастающей функции. Напряжение u и ток i в эти моменты времени имеют одинаковые знаки. Процесс накопления энергии в цепи наблюдается, например, при заряде конденсатора. В те моменты времени, когда u и i имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна, функция w(t), определяющая энергию, поступающую в цепь, убывает, так как только убывающая функция имеет отрицательную производную. Убыль энергии в электрической цепи означает возврат ее источнику. Такая ситуация возникает при разряде конденсатора.

Энергия, поступающая в цепь, может не возвращаться к источнику, а необратимо преобразовываться в тепло или механическую работу. Количество этой энергии определяется законом Джоуля–Ленца и за время, равное периоду синусоидального тока, равно:

Эта величина, отнесенная ко времени Т, определяет среднее значение мгновенной мощности за период и называется активной мощностью:

Физически активная мощность представляет собой энергию, выделяющуюся в виде тепла или механической работы в единицу времени.

Пусть ток и напряжение на входе произвольного пассивного двухполюсника описываются выражениями:

Подставляя их в формулу ранее и интегрируя, получаем:

Используя соотношения между сторонами в треугольниках напряжений и токов, сопротивлений и проводимостей, можно написать цепочку формул для вычисления активной мощности:

Рассмотрим теперь энергетические процессы, происходящие в отдельно взятых элементах.

В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе (φ = 0); в любой момент времени их знаки одинаковы, мгновенная мощность положительна, т.е. в него постоянно поступает энергия электрического тока, преобразуясь в тепловую или механическую. Активная мощность равна:

В реактивных элементах угол сдвига фаз по величине равен 90°. В индуктивности, при отстающем токе, он положителен, в емкости, при опережающем токе, – отрицателен. Подставляя φ = +- 90° в выражение напряжения на входе цепи, получим u = Um sin (ωt+-90°) = +-Um cos(ωt). При таком напряжении мгновенная мощность колеблется с двойной частотой, изменяясь по синусоидальному закону:

т.е. дважды за полпериода меняет знак. Подстановка этого выражения приводит к результату: P = 0. Равенство нулю активной мощности означает, что в реактивных элементах не происходит необратимого преобразования электромагнитной энергии в тепловую и механическую.

Можно показать, что в индуктивности в течение первой четверти периода, при возрастании тока от нуля до Im, в магнитном поле индуктивности накапливается энергия WM=(LI2m)/2. В течение следующей четверти периода, когда ток уменьшается до нуля, эта энергия из магнитного поля возвращается во внешнюю цепь.

В емкости – аналогично: в течение одной четверти периода, когда напряжение на обкладках конденсатора возрастает от нуля до Um, конденсатор заряжается, в его электрическом поле накапливается энергия: Wэ=(СU2m)/2. В следующую четверть периода конденсатор разряжается, его напряжение уменьшается до нуля, и накопленная в электрическом поле энергия возвращается в цепь. Энергию, которой электрическое поле конденсатора и магнитное поле катушки обмениваются с цепью, будем называть энергией обмена.

Для энергии магнитного поля WM и электрического поля WЭ можно записать следующие формулы:

Величины QL=I2XL и QC=I2XC имеющие размерность мощности, называются соответственно реактивной мощностью индуктивности и реактивной мощностью емкости. К работе, совершаемой переменным током, они отношения не имеют, а являются величинами, пропорциональными энергии магнитного и электрического полей: QL=ωWM, QC=ωWЭ.

В цепи, содержащей одновременно и индуктивность и емкость, колебания энергии происходят таким образом, что в те моменты времени, когда магнитное поле индуктивности накапливает энергию, электрическое поле емкости энергию отдает, и наоборот. Т.е., когда энергия магнитного поля положительна, энергия электрического поля отрицательна. Суммарная энергия электрического и магнитного полей за четверть периода равна:

где Q – реактивная мощность цепи, она пропорциональна суммарной энергии электрического и магнитного полей и может быть определена через реактивные сопротивления:

Для вычисления реактивной мощности можно написать цепочку формул:

При анализе электрических цепей часто используется треугольник мощностей, который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока (рис. 28.1). Для него справедливы следующие соотношения:

Буквой S, стоящей рядом с гипотенузой треугольника, обозначается полная мощность. Ее можно вычислить по одной из следующих формул:

Полная мощность определяется той электрической энергией, которая вырабатывается генератором и отдается в цепь. Она характеризует габариты электрических машин и аппаратов. Величина напряжения определяет уровень изоляции – ее толщину и расстояние между токоведущими частотами, а ток – поперечное сечение проводника, условия охлаждения машины.

При cosφ = 1 полная мощность равна наибольшему значению активной мощности, которую можно получить при заданных напряжении и токе.

Единицы измерения мощности, имея одну и ту же размерность, называются по-разному. Единица активной мощности – ватт (Вт), реактивной – вольт-ампер реактивный (вар), полной – вольт-ампер (ВА).

Комплексная мощность определяется произведением комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока:

Источник