распределенную нагрузку можно заменить
Распределенная нагрузка на балку — формулы, условия и примеры расчета
Равномерно и неравномерно распределенная нагрузка на балку
Распределение сил, которые лежат в одной плоскости, задается равномерно распределенной тяжестью. Основным обозначением является интенсивность q — предельная тяга, несущая равнодействующую на единицу длины нагруженного участка АВ длиной а.
Единицы измерения распределённой нагрузки [Н/м].
Её также можно заменить на величину Q, которая приложена в середину AB.
Составим формулу: Q = q∗a
Неравномерно распределённую нагрузку чаще всего упрощают, приводя её к эквивалентной равномерно распределенной, чтобы упростить расчеты.
При построении также следует учитывать максимальный прогиб балки, её прочность, расчетную опорную реакцию и моментальную опору.
Методика выполнения расчета на прогиб
Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.
Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.
В нашем случае балка:
Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ, где Е – справочная величина, R— усилие, Δ— величина деформации тела.
Вычисляем моменты инерции и сил
Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е). Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е).
Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.
Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е).
Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину b·h2/6 называют моментом инерции и обозначают W. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.
Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L2/8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.
Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h3/12, где b и h – размеры сечения балки.
Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.
Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.
Формулы для практического использования
На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.
Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.
Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.
Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:
Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L2/(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.
Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.
Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.
Проверка сечения балки по касательным напряжениям
Так как Qmax = 68 кН, то
Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:
Построение эпюры нормальных напряжений
Построение эпюры касательных напряжений
В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:
Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1
Результаты расчета в примере
Изобретение относится к области неразрушающего контроля и мониторинга прогиба балок. Объект изобретения предназначен для строительных конструкций, находящихся в стадии эксплуатации.
Причины возрастания прогиба балки
1) деградация материалов;
2) дефекты и образование неисправностей (трещины, коррозия, гниение в древесине и т.д.);
3) увеличение нагрузки.
Прогибы балок зданий и сооружений можно измерить различными способами.
Известен [1, с.52] способ измерения прогиба балок в различное время их эксплуатации, заключающийся в том, что с помощью двух планок с делениями, одна из которых закреплена неподвижно в бетонном или железобетонном основании, а другая планка закреплена на балке, и по их взаимному смещению судят о прогибе балки. Полный прогиб складывается из прогиба от собственного веса балки и существующей на ней нагрузки. Полный прогиб измеряют с помощью высокоточной рейки и нивелира.
Данный способ обладает рядом недостатков:
— малая точность измерений прогиба балки;
— необходимость устройства опорного железобетонного основания;
— заполняется пространство под балкой, что нарушает технологический процесс;
— нет дистанционного управления; затруднен мониторинг прогиба балки.
Известен [1, с.54] способ измерения прогибов балки прогибомерами систем Максимова и ЦНИИСК, заключающийся в том, что к испытываемой конструкции в месте, где требуется измерить прогиб, прикрепляют стальную проволоку диаметром 0,25 мм так, чтобы она дважды обматывала барабан прогибомера со шкалой, и к концу ее подвешивают груз весом 1,5 кг. При прогибе конструкции проволока вращает барабан, соединенный со стрелкой, которая движется по циферблату. На циферблате имеется также счетчик оборотов с ценой деления 0,1 см. Прибор крепится к неподвижному предмету специальной металлической струбциной.
Недостатками этого способа являются потребность неподвижной опоры (предмета) для крепления прибора, который вместе с проволокой закрывает пространство под балкой на время измерения прогиба балки; отсутствие дистанционного управления измерениями прогиба; требуется присутствие работника на этапе измерений; затруднен мониторинг прогиба; на результаты измерений оказывает влияние температура и другие природные явления (ветер, дождь, снег и т.д.); неточность измерений, вызванная изменением места наибольшего прогиба балки, вызванного изменением свойств материала балки с течением времени, положением нагрузки и т.д.
Наиболее близким к заявленному способу измерений прогибов балок и плит является известный [1, с.59] способ измерения прогибов (перемещений) электромеханическим прибором со штоком, упругим элементом и тензорезисторами, наклеенными на упругие элементы, заключающийся в том, что прибор устанавливают на неподвижную опору под балкой в месте наибольшего прогиба, шток упирают в балку непосредственно или через дополнительную связь, балка прогибается под нагрузкой в результате деградации материала и других причин в течение времени, прогибы регистрируют косвенно через электрические сопротивления тензорезисторов ΔR, по которым через переводной коэффициент определяется прогиб балки.
Недостатками этого способа является низкая точность измерения прогиба балки, вызванная тем, что измерение производится без учета возможного изменения места наибольшего прогиба по длине балки, которое вызвано различными непредвиденными причинами; необходимость опорного устройства для крепления прибора и связи с балкой прибора, что приводит к ограничению использования пространства под балкой или над балкой на время измерений; необходимость устройства защиты прибора от различных природных воздействий и его охраны, особенно в зимнее время при непрерывном измерении, что затрудняет мониторинг прогиба балки.
Целью предлагаемого способа определения прогиба балок является повышение точности измерений наибольших прогибов балок; проведение мониторинга прогиба балки; измерение прогибов с дистанционным управлением без нарушения технологических процессов над балкой и под балкой в период измерения прогибов в любых условиях окружающей среды.
Способ заключается в следующем.
Существующими средствами измерения, например, с помощью высокоточной геодезической рейки и нивелира, устанавливают значение наибольшего начального прогиба балки Δ0 в любой момент времени эксплуатации балки и тем самым устанавливают места наибольшего прогиба балки.
Определяют значение постоянного коэффициента r, значение которого определяют по формулам в зависимости от расчетной схемы балки методами строительной механики из [2], который входит в расчетную формулу прогиба балки.
На фиг.1 показана условная схема подключения тензорезисторов на балке, где 1 — провода, 2 — рабочие тензорезисторы, 3 — компенсационные тензорезисторы, 4 — балка, 5 — тензостанция. Проводами 1 соединятся рабочие 2 и компенсационные 3 тензорезисторы, размещенные на обоих поясах балки 4 на участке в месте наибольшего прогиба на подготовленную поверхность, при этом рабочие крепятся вдоль главных напряжений σ, а компенсационные — перпендикулярно им в промежутках между рабочими тензорезисторами. Все провода 1 соединены с измерительным прибором электрического (омического) сопротивления в виде многоканальной тензостанции 5.
Подготовка к работе включает в себя следующие действия. Изолируют тензорезисторы эпоксидной смолой, монтируют известные из работы [2] мостовые схемы для каждой пары рабочих 2 и компенсационных тензорезисторов 3 в одном сечении балки R1 и R2, подключают провода 1 с тензостанцией 5 и определяют R0 — начальное электрическое (омическое) сопротивление всех рабочих тензорезисторов. Тензорезисторы наклеивают на участках поясов балки длиной 15-20 см по одному тензорезистору на каждые 5 см длины пояса, как показано на фиг.1, при базе тензорезисторов 10-30 мм, так как на этой длине может попадать сечение балки с наибольшим прогибом. Число рабочих тензорезисторов принимают от 3 до 5 в том и другом поясе балки исходя из вероятности смещения наибольшего прогиба балки от тех или иных причин в процессе эксплуатации балки в пределах 15-20 см длины балки, так как на длине 15-20 см можно разместить от 3 до 5 рабочих и компенсационных тензорезисторов с базой (длиной) 10-30 мм и шириной (компенсационных) 10 мм.
Весь процесс измерения происходит следующим образом:
1) при увеличении прогиба изменяется омическое сопротивление тензорезисторов, и по соединительным проводам вся информация об этом поступает на тензостанцию;
2) полный прогиб определяют по формуле
где Δ0 — начальный прогиб в момент начала наблюдений при t=0, измеренный нивелиром и высокоточной геодезической рейкой;
r — постоянный коэффициент, зависящий от расчетной схемы балки.
где k — коэффициент тензочувствительности тензорезисторов, тогда имеем эпюру ΔR подобной эпюре ε, как показано на фиг.2 и фиг.3, на которых изображены однопролетные балки с сосредоточенной нагрузкой в середине и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине пролета, где ε1 и ε2 — деформации, ΔR1 и ΔR2 — омические (электрические) сопротивления, Δ — наибольший прогиб, L — длина пролета, F — сосредоточенная сила, h — высота сечения, b — ширина сечения.
— для однопролетной балки с шарнирными опорами и сосредоточенной силой в середине пролета балки по фиг.2 имеем
— для однопролетной балки с шарнирными опорами и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине пролета по фиг.3 и имеем
3) проводят предварительный контроль достоверной работы мостовой схемы из тензорезисторов путем сравнения средних значений измерений от контрольной нагрузки F0, полученных прямыми механическими измерениями прогиба Δ1=Δ(F0), например геодезической высокоточной рейкой и нивелиром и по результатам измерений омических сопротивлений (ΔR1 и ΔR2) по формуле
должно соблюдаться равенство Δ1=Δ2, с отличием не более 5%;
4) дальнейшие измерения прогиба балки в любой момент времени t осуществляют только по показаниям измерения сопротивления тензорезисторов по расчетной формуле
для значений r, зависящих от расчетных схем балок.
На основании результатов измерений f и Δ, приведенных в сводной таблице, построены графики зависимости прогибов f и Δ от нагрузки, представленные на фиг.4, где показаны результаты лабораторных испытаний балки с измерением прогибов индикатором часового типа и измерением сопротивлений ΔR1 и ΔR2.
1. Землянский А.А. Обследование и испытание зданий и сооружений: учебное пособие. — М: Изд-во АСВ, 2001. — 240 с., с ил.
Пример расчета прогиба балки
Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.
Подготовительный этап
Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:
В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:
Распределенную нагрузку можно заменить
Замена распределенных сил эквивалентными сосредоточенными
Для того чтобы использовать существующий банк предельных нагрузок, необходимо привести в точное соответствие характер сравниваемых нагрузок рабочего и предельного состояний. Для конструкций, которые контактируют со средой по явно выраженной поверхности, предельной является поверхностная нагрузка (измеряется в Н/м 2). Например, в плите покрытия (табл. 2.11) и стеновой панели (табл. 2.16) явно выделяются поверхности, к которым прикладывается нагрузка: к плитам покрытия — вес самого покрытия и снеговая, к панелям стен — ветровая. Рабочая нагрузка при оценке прочности таких конструкций должна быть также поверхностной.
Предельная нагрузка на конструкции, которые несут плиты и панели (например, балки, ригели, фермы и другие), в банке данных отнесена к единице длины элемента, то есть является линейной (Н/м). Поэтому и нагрузка рабочего состояния должна быть приведена к линейной и измеряться в тех же единицах (Н/м).
Балки, ригели, фермы передают нагрузку на колонны в виде сил, сосредоточенных на малом участке (нагрузка относится к точке). Поэтому предельной в банке данных для таких конструкций является сила (Н) и нагрузка рабочего состояния должна быть приведена к силе (Н).
Ранее мы подробно разобрали поверхностную нагрузку. Процедура по приведению поверхностной нагрузки к линейной или сосредоточенной называется сбором нагрузки на элемент сооружения
.2.6.2. Сбор нагрузки
Процедура сбора нагрузки требует умения решать две задачи. Во- первых, определять, как нагрузка передается от одного элемента сооружения к другому, то есть устанавливать так называемую «иерархическую схему» — схему подчиненности . Во-вторых, находить величину нагрузки, которая прикладывается к изучаемому элементу.
Один из простейших способов решения первой задачи связан с представлением о последовательности монтажа элементов сооружения. Монтаж широко распространенных плитно-балочных сооружений, например, обычно начинается с устройства фундаментов. Затем на них устанавливаются вертикальные несущие элементы (колонны, стены), на которые укладываются горизонтальные элементы (ригели, балки, фермы), а на них — плиты перекрытий или покрытий. Передача нагрузки происходит по схеме разборки , т. е. плиты передают нагрузку на балки, ригели, фермы, которые в свою очередь загружают колонны (стены), а те — фундамент. Горизонтальные элементы (ригели, балки, фермы), например, собирают нагрузку с плит. Таким образом, на них передается нагрузка, приложенная к поверхности этих плит. Ригели, балки, фермы и другие горизонтальные элементы опираются на колонны и передают на каждую из них соответствующую часть нагрузки от плит.
Часть поверхности, с которой нагрузка передается на элемент сооружения, называют грузовой площадью . От ее размеров и формы зависит величина распределения линейной нагрузки или значение сосредоточенной силы.
Таким образом, передача нагрузки происходит по схеме разборки, а ее величина определяется грузовой площадью и интенсивностью поверхностной нагрузки. Для того чтобы определить эту площадь, воспользуемся принципом равной ответственности, который заключается в том, что всякая нагрузка распределяется поровну между несущими элементами одного уровня иерархии.
Приведение поверхностной нагрузки к линейной.
Если, например, на плиту, опирающуюся на два параллельных ригеля (рис.2.23), действует равномерно распределенная нагрузка q (Н/м 2), то на каждый ригель нагрузка будет собираться с части плиты, прилегающей к нему. Принцип равной ответственности говорит о том, что вся нагрузка должна делиться поровну (пополам) , то есть половина плиты, прилегающая к ригелю, передает на него всю поверхностную нагрузку. Линия, проходящая по середине ширины плиты в направлении расположения ригелей, называется линией раздела нагрузки. Она разбивает загруженную поверхность на две части, каждая из которых составляет грузовую площадь соответствующего (ближайшего) ригеля. Значение линейной нагрузки, отнесенной к одному ригелю, можно подсчитать как произведение
Рис. 2.23.Сбор нагрузки на линейные элементы: а, б — при параллельном расположении ригелей; в, г — при пересечении ригелей под углом; б, г — нагрузка на ригели 1 — грузовая площадь; 2, 4 — ригели; 3 — плита; 5 — линия раздела
Если же ригели не параллельны, то линия раздела проходит по биссектрисе угла между ними, так как расстояния от точки, лежащей на биссектрисе, до осей ригеля одинаковы. Ввиду того, что грузовая площадь вдоль ригеля меняет свою ширину, а нагрузка равномерно распределена по площади, согласно (2.14) линейная нагрузка вдоль ригеля не постоянна, а меняется по закону изменения расстояния от ригеля до линии раздела.
Р е ш е н и е. Линия раздела между соседними ригелями проходит по середине их шага, то есть на каждый ригель в середине блока с двух сторон передается нагрузка
Крайние ригели загружены только с одной стороны, поэтому нагрузка на них в два раза меньше
П р и м е р 2.18 (для самостоятельного решения). Определить нагрузку на средний и крайний ригели неразрезной плиты (рис.2.25) от полезной нагрузки 2 кН/м с учетом и без учета собственного веса плиты и ригеля. (На рис. 2.25 приведены ответы без учета собственного веса конструкции).
Рис. 2.25. Балочное перекрытие а — разрез, б — общий вид, 1 — грузовая площадь для крайней балки, 2 — то же для средней (размеры в см)
П р и м е р 2.19. Найти нагрузку на подошву фундамента вдоль брандмауэрной стенки (рис.2.26). Толщина кирпичной стены равна 38 см. Высота фундаментных подушек 30 см, ширина 0.6 м. Карнизная плита высотой 8 см имеет ширину 0.5 м.
Р е ш е н и е. Нагрузка вдоль подошвы фундамента не одинакова, так как высота стены изменяется в соответствии с уклоном кровли прилегающего здания.
Рис 2.26 Брандмауэрная стена а — разрез стены, б — фасад, в — давление в середине стены (кПа), г — эпюра давления на подошву фундамента по длине стены (кПа); 1 — подошва фундамента, 2 — железобетонная карнизная плита
Рис. 2.27. Пятиэтажное здание а — разрез здания, б — фундамент под наружную стену, в — фундамент под внутреннюю стену
Кирпичная стена (γ = 18 кН/м) переменной высоты передает на подошву фундамента нагрузку, пропорциональную толщине и высоте стены:
максимальное давление
0.38·8.2·18 = 56.4 кН/м,
минимальное давление
0.38·5.7·18 = 39.0 кН/м.
Эпюра давления показана на рисунке 2.25.
П р и м е р 2.20 (для самостоятельного решения). Определить давление на подошву фундамента жилого дома, разрез которого приведен на рисунке 2.27. Состав перекрытия и покрытия принять по своему усмотрению. Учесть полезную нагрузку. Проемы во внешних стенах составляют 35% их площади, во внутренних — 10%.
П р и м е р 2.21. Определить грузовые площади и найти распределение нагрузки для четырех ригелей, которые окаймляют четырехугольную плиту (a = 2.5 м, b = 3 м) с равномерно распределенной поверхностной нагрузкой q = 4 кН/м 2 (рис.2.28).
Распределение нагрузки вдоль ригелей показано на рисунке 2.28.
Рис. 2.28. Плита перекрытия а — схема плиты, б — грузовые площади, в — нагрузка на ригель 1,
П р и м е р 2.22. Радиальная вантовая система на круговом контуре радиусом 50 м содержит 18 радиальных вант, на которых находятся плиты покрытия, передающие поверхностную нагрузку интенсивностью 4.
Рис. 2.29. Радиальное вантовое покрытие а – разрез, б – план, в – нагрузка вдоль ванты
Величина максимальной нагрузки определяется шагом вант по опорному контуру: a = α·R = (2·π /18) ·50 = 17.45 м,
q = 17.45·4.1 = 71.56 кН/м.
Эпюра нагрузки показана на рисунке 2.29.
П р и м е р 2.23 (для самостоятельного решения). Определить нагрузку на ванту шатрового покрытия (рис.2.30).
Рис. 2.30. Шатровое покрытие а — разрез, б — план
П р и м е р 2.24 (для самостоятельного решения).
Определить грузовые площади и распределение нагрузки для ригелей в неразрезной окаймленной плите (рис.2.31).
Рис. 2.31. Ребристая плита покрытия 13,5 х 3 м
Приведение поверхностной нагрузки к сосредоточенной.
Следуя тому же принципу равной ответственности конструкций, сосредоточенная сила на колонну, передаваемая через ригели, собирается с площади, полученной путем деления расстояний между элементами одного иерархического уровня (колонн, например) пополам (рис.2.32). Приведение к сосредоточенной силе необходимо при расчете не только колонн, но и ферм, подстропильных балок и других конструкций.
П р и м е р 2.25. Определить нагрузку на колонны промышленного здания, показанного на рисунке 2.24. Исходную информацию взять из примера 2.17.
Р е ш е н и е. Разделим расстояния по шагу рам и по пролету пополам. Таким образом, площадь грузовой поверхности
Рис. 2.32. Ребристое перекрытие многоэтажного здания. а — разрез по А-А, б — план этажа (заштрихована грузовая площадь колонны)
Р е ш е н и е. Коэффициенты надежности по нагрузке в соответствии со СНиП 2.01.07.85. Для деревянных конструкций и равномерно распределенных временных нагрузок при нормативном значении большем 2 кПа γ f = 1.2. Для железобетонных конструкций с удельным весом большим 16 кН/м 3 γ f = 1.1. Для изоляционных и выравнивающих слоев, выполняемых на строительной площадке, γ f = 1.3.
Для того чтобы от удельного веса материалов и конструкций перейти к нормативной равномерно распределенной нагрузке по площади, необходимо удельный вес материалов умножить на толщину слоя. Расчетные значения нагрузки получаем умножением значений нормативных нагрузок на коэффициенты надежности по нагрузке γ f . Определение нагрузки на плиту сводим в таблице 2.18.
Особое место при решении ряда практически интересных задач занимает случай плоской распределённой нагрузки, приложенной по нормали к некоторой балке.
Плоская фигура, ограниченная балкой и графиком интенсивности нагрузки, называется эпюрой распределённой нагрузки (Рис. 1.28). Если по характеру решаемой задачи можно не учитывать деформации, т.е. можно считать тело абсолютно твёрдым, то распределённую нагрузку можно (и нужно) заменить равнодействующей.
если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра (любой оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно этого центра (этой оси)
Очевидно, модуль равнодействующей численно равен площади эпюры распределённой нагрузки, а точка её приложения совпадает с центром тяжести однородной пластины, имеющей форму эпюры распределённой нагрузки.
Отметим два часто встречающихся случая.
В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.
(Рис. 1.31). В этом случае:
В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.
В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.
Найдём равнодействующую распределённой нагрузки. Модуль равнодействующей равен
В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.
Определить реакцию заделки консольной балки, находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределённой нагрузки (Рис. 1.34).
Заменим распределённую нагрузку тремя сосредоточенными силами. Для этого разобъём эпюру распределённой нагрузки на два треугольника и прямоугольник. Находим
Силовая схема представлена на Рис. 1.35.
Условия равновесия в рассматриваемом случае имеют вид:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1. Что называется интенсивностью распределённой нагрузки?
2. Как вычислить модуль равнодействующей распределённой нагрузки?
3. Как вычислить координату точки приложения равнодействующей распределённой
4. Чему равен модуль и какова координата точки приложения равномерно распределённой нагрузки?
5. Чему равен модуль и какова координата точки приложения линейно распределённой нагрузки?
Из сборника задач И.В.Мещерского: 4.28; 4.29; 4.30; 4.33; 4.34.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА — теория и практика»: комплекты СР-2; СР-3.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 4-5
В задачах встречаются системы параллельных сил, распределенных по некоторому закону вдоль прямолинейного стержня (рис.1.33).
Интенсивность измеряется в системе единиц СИ в ньютонах, деленных на метры (Н/м).
Рассмотрим систему параллельных сил, распределенных по произвольному закону q (x ) вдоль прямолинейного отрезка длиной a и направленных
перпендикулярно этому отрезку (рис.1.33).
Величина главного вектора и главный алгебраический момент M O относительно центра (т. О) определяются суммированием (интегрированием) элементарных бесконечно малых сил q(x)·dx моментов x·q(x)·dx по всей длине нагруженного участка:
Итак, формулы для оценки эквивалентной сосредоточенной силы и точки её приложения:
Воспользуемся полученными формулами для двух часто встречающихся случаев: равномерно и линейно распределенные нагрузки.
Силы, распределенные по линейному закону (рис.1.36).
Для такой системы сил интенсивность q меняется от нуля до максимального значения q max по линейному закону.
Эквивалентная сосредоточенная сила этой системы приложена в точке, делящей нагруженный участок в соотношении 2: 1 (рис.1.36) и равна:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Определите величину и точку приложения равномерно распределенной нагрузки.
2. Определите величину и точку приложения линейно распределенной нагрузки.
3. Какую размерность имеет погонный вес?
Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему.
В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса.
Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет.
Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки.
Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.
Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии.
При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при переменной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной.
Таким образом, интенсивность является мерой нагрузки, распределенной по поверхности сооружения; ее размерность — кгс/см, гс/м2 и т. д.
Сплошная нагрузка, распределенная по линии, изображается обычно в виде графика, показывающего (в определенном масштабе), как изменяется ее интенсивность по длине оси бруса. Такой график называется эпюрой нагрузки. При равномерной нагрузке эпюра ограничена прямой, параллельной оси бруса (рис. 3.1, б), а при неравномерной — прямой, наклонной к оси бруса, или кривой линией (в зависимости от закона изменения интенсивности).
Нагрузки, распределенные по объему тела (например, вес сооружения, силы инерции), называются объемными силами; их интенсивность имеет размерность и т. д.
К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок — активных сил, относятся также реакции связей — реактивные силы.
Нагрузки, распределенные по линии и сосредоточенные в точках, реально не существуют. Их можно получить лишь в результате схематизации реальных нагрузок, распределенных по объему (объемных сил) и по поверхности.
При составлении расчетной схемы в ряде случаев реальные нагрузки нельзя заменить одними лишь сосредоточенными и распределенными силовыми нагрузками. В этих случаях, кроме силовых, появляются и моментные нагрузки (см. рис. 2.1, б) в виде сосредоточенных моментов (пар сил) и моментов, распределенных по линии (длине) или по поверхности. Сосредоточенные моменты имеют размерности кгс см, гс м и т. д.; моменты, распределенные по линии, — кгс см/см (или кгс), и т. д., а моменты, распределенные по поверхности, — (или ), и т. д.
Нагрузки (силовые и моментные) различаются не только по способу их приложения (распределенные и сосредоточенные), но также по длительности действия (постоянные и временные) и характеру воздействия на конструкцию (статические и динамические).
Постоянные нагрузки (например, собственный вес конструкции) действуют на протяжении всего периода эксплуатации конструкции. Временные нагрузки (например, вес поезда) действуют в течение ограниченного промежутка времени. Величина статической нагрузки медленно возрастает от нуля до ее конечного значения, а потому эта нагрузка вызывает в конструкции весьма малые ускорения, в связи с чем возникающими при этом силами инерции можно в расчете пренебречь. Динамическая нагрузка (например, ударная) вызывает в конструкции или отдельных ее элементах большие ускорения, которыми при расчете пренебречь нельзя. Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки времени.
Временная нагрузка может сохранять более или менее постоянную величину в течение всего периода ее действия, а может непрерывно изменяться по некоторому закону; в последнем случае она называется переменной нагрузкой.
Если переменная нагрузка изменяется по циклическому (повторяющемуся) закону, то она называется циклической.