приближенные методы вычисления интегралов можно разделить на 2 группы какие
Урок по алгебре «Приближенное вычисление интеграла»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема урока: Приближенное вычисление определенного интеграла
2) способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи;
3) воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.
Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников
Обеспечение урока:тестовые задания, раноуровневые карточки,лекционный материал
Вид урока: Комбинированный
III. Формирование новых знаний и способов действий
V I. Постановка домашнего задания
I. Самоопределение к деятельности (оргмомент)
Мотивация познавательной деятельности учащихся.
Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.
Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
Дайте определение первообразной.
Сформулируйте основное свойство первообразных.
В чем заключается геометрический смысл основного свойства первообразной?
Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
Объясните, что такое интеграл?
В чем заключается геометрический смысл интеграла?
Запишите формулу Ньютона- Лейбница.
Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования?
Выполнение диагностического теста:
А) 4 Б) 6 С) 0 Д) 3 Е) 2
III. Формирование новых знаний и способов действий
Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции [Рисунок1], то получим формулу:
Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла 
, нужно:
3)воспользоваться одной из приближённых формул.
Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:
х k = a + k 
х
х0 = 2 + 0 * 
= 2 х1 = 2 + 1 * = 2,5 х2 = 2 + 2 * =3
f (x 3 ) = 3,5 2 = 12,25
f (x 5 ) = 4,5 2 = 20,25
у 4 6,25 9 12,25 16 20,25
Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:
Конспект урока по математике на тему: «Приближенные методы вычисления определенных интегралов»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
ТЕМА: Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
ЦЕЛЬ: рассмотреть приближенные методы вычисления интегралов на основании геометрического смысла интеграла.
— изучение приближенных методов вычисления определенных интегралов: метода прямоугольников и метода трапеций, параболических трапеций ;
— формирование умений и навыков вычисления определенных интегралов методами прямоугольников и трапеций, параболических трапеций ;
– воспитание самостоятельности, инициативности, решительности, уверенности в себе, стремления к творческому поиску и исследовательской деятельности;
– развитие концентрации внимания, абстрактно-логического мышления,
ТИП: урок новых знаний.
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ: проблемное изложение учебного материала.
Дифференциал функции и его приложение к приближенным вычислениям.
и определенный интегралы, методы их решений.
Современные естественнонаучные знания о мире.
2.5. Вещество и поле, их взаимодействие.
2. Дисциплина «Экономическая статистика».
Отражение результатов производства.
МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ: презентация, раздаточный материал.
формулы приближенного вычисления определенного интеграла:
1. Организационный момент
Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.
Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально.
2. Сообщение темы, целей занятия
Преподаватель объявляет тему занятия, привлекает студентов к постановке целей и задач занятия.
Чтобы вдохновиться на изучение нового материала, вспомним о полезности интеграла.
Выясним, в чем состоит экономический смысл интеграла:
Экономический смысл интеграла
Z(t) — функция производительности труда от времени
V(t) — функция объема произведенной продукции от времени
Объем произведенной продукции есть первообразная производительности труда
Применение интеграла в естествознании.
Перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени:
Для нахождения работы необходимо найти определенный интеграл функции силы по перемещению:
4. Актуализация опорных знаний.
а) фронтальный опрос.
Что называют неопределенным интегралом функции 
?
Что называют определенным интегралом от a до b функции ?
В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
4) Какие два метода интегрирования вы знаете?
5) Какие вопросы можно задать об этих двух методах? (выбранный студент опрашивает группу о том, на чем основан метод непосредственного интегрирования и в каких случаях применяется метод замены переменной).
6) Что называют прямоугольником? Начертите изображение прямоугольника и запишите формулу его площади.
7) Выполните те же задания, но для трапеции.
б) тестирование по теме “Интеграл”.
Ответ : а) 27 б) 24 в) 18 г) 21
Ответ : а) 26/3 б) 28/3 в) 15/2 г) 47/6
2) Найдите интеграл: 
3) При каком значении “а” выполняется равенство 
?
4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=f(x), y=0, Y=-x 2 +x+2
Ответы : а) 13/3 б) 29/6 в) 16/3 г) 4,5
Ответы : а) 25/3 б) 28/3 в) 26/3 г) 29/3
2) Найдите интеграл. 
3) При каком значении “а” выполняется равенство 
?
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у=f(x), y=0, Y=-x 2 +4x-3
5. Формирование новых знаний и способов действий
Предполагается, проводить работу 3-мя группами.
1-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования — формулой прямоугольников
2-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой трапеций
3-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой параболических трапеций ( формула Симпсона)
Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Но вычислить интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования.
Вычислить интеграл точно по формуле Ньютона – Лейбница с целью оценки погрешности при приближенном вычислении этого же интеграла.
Все три группы одновременно вычисляют интеграл :
= 
.
Разделим интервал интегрирования 
на 
равных частей (частичных интервалов) и заменим данную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции 
в начальных или конечных точках частичных интервалов. Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла 
.
Если обозначить значения функции 
в точках деления через 
, то будем иметь следующую формулу — формулу прямоугольников :
Решает пример 1 по формуле прямоугольников : при 
Решает пример 1 по формуле трапеций : при
Решает пример 1 по формуле параболических трапеций : при 
Занесем итоги расчета в таблицу и сравним:
= 6,1 %
Вывод : гипотеза о том, что с помощью формул численного интегрирования можно вычислять определенные интегралы подтвердилась. Однако, при одном и том же значении формула Симпсона дает лучшее приближение.
6. Закрепление материала
х k = a + k 
х
х0 = 2 + 0* 
= 2 х1 = 2 + 1* = 2,5 х2 = 2 + 2* =3
х3 = 2 + 3 * = 3,5 х4 = 2 + 4* = 4 х5 = 2 + 5 * = 4,5
f (x 3 ) = 3,5 2 = 12,25
f (x 5 ) = 4,5 2 = 20,25
у 4 6,25 9 12,25 16 20,25
Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:
а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.
Решение:
а) 
По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть 
.
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: 
. Параметр 
, напоминаю, также называют шагом.
Сколько будет точек 
(узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков:
Ну а общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:
Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:
Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой.
Окончательно:
б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть 
. Увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.
Если , то формула трапеций принимает следующий вид:
Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.
При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:
В первой строке записываем «счётчик»
Как формируется вторая строка– сначала записываем нижний предел интегрирования 
, остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг 
.
В результате:
Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило 
, то для 5 отрезков 
. Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере 
.
Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков 
Решение: Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше : 
. И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:
Вычислим шаг разбиения: 
Заполним расчетную таблицу:
В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов
Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования 
, а затем последовательно приплюсовываем шаг 
.
В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если 
, то 
. Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.
В результате:
Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: 
. Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:
Вычислим шаг разбиения: 
Заполним расчетную таблицу:
Таким образом:
Найдём абсолютное значение разности между приближениями:
Правило Рунге для метода Симпсона очень вкусное. Если при использовании метода средних прямоугольников и метода трапеций нам даётся «поблажка» в одну треть, то сейчас – аж в одну пятнадцатую:
, и точность здесь уже не страдает:
Рассмотрим другое решение, где придётся сделать дополнительный шаг: так как 
больше требуемой точности: 
, то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: 
.
Формула Симпсона растёт, как на дрожжах:
Вычислим шаг: 
И снова заполним расчетную таблицу:
Таким образом:
Оцениваем погрешность:
Погрешность меньше требуемой точности: 
. Осталось взять наиболее точное приближение 
, округлить его до трёх знаков после запятой и записать:
Ответ: 
с точностью до 0,001
Приведенные правила численного интегрирования помогают решать прикладные задачи.
Ширина реки равна 20м; промеры глубины в некотором поперечном ее сечении через каждые 2м дали следующую таблицу :