при каком условии силы натяжения нити по разные стороны блока можно считать одинаковыми

Движение связанных тел

теория по физике 🧲 динамика

Иногда в системе движется не одно, а два связанных между собой тела. Тогда описание движения с применением законов Ньютона включает в себя описания движения каждого из этих тел.

Движение тел по горизонтали без трения

II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:

II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:

Проекция на ОХ для 1 тела:

Проекция на ОY для 1 тела:

Проекция на ОХ для 2 тела:

Проекция на ОY для 2 тела:

Движение по горизонтали с учетом сил трения

II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:

II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:

Проекция на ОХ для 1 тела:

Проекция на ОY для 1 тела:

Проекция на ОХ для 2 тела:

Проекция на ОY для 2 тела:

Вертикальное движение тел (m₁ > m₂)

h — расстояние между телами. l₁ и l₂ — перемещение тела 1 и тела 2 соответственно. Перемещения обоих тел равны, поэтому: l₁ = l₂ = l.

Расстояние между телами определяется формулой: h = l₁ + l₂ = 2l.

II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:

II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:

Проекция на ОY для 1 тела:

Проекция на ОY для 2 тела:

На один из грузов положили довесок

II закон Ньютона для 1 тела:

II закон Ньютона для 2 тела:

Проекция на ось ОУ для 1 тела:

Проекция на ось ОУ для 2 тела:

Вес довеска определяется по формуле:

Пример №1. На нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массами m и 2m. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их отпустить? Трением в блоке пренебречь.

Записываем второй закон Ньютона для каждого из тел. Для первого тела он будет иметь вид:

Для второго тела II закон Ньютона примет следующий вид:

Запишем проекции на ось OУ для каждого из тел:

Выразим силы натяжения нити для каждого из тел и приравняем их правые части:

Сделаем несколько преобразований:

Два груза массами соответственно М₁ = 1 кг и М₂ = 2 кг, лежащие на гладкой горизонтальной поверхности, связаны невесомой и нерастяжимой нитью. На грузы действуют силы F ₁ и F ₂, как показано на рисунке. Сила натяжения нити Т = 15 Н. Каков модуль силы F1, если F2 = 21 Н?

Источник

При каком условии силы натяжения нити по разные стороны блока можно считать одинаковыми

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами и соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила F = 4 Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Какие законы Вы используете для описания движения брусков? Обоснуйте их применение.

Обоснование. Бруски движутся поступательно. Следовательно, их можно считать материальными точками. Подвижный блок невесом. На каждый брусок действуют сила тяжести и сила натяжения нити. На гладкой поверхности и в блоках отсутствует сила трения. Поэтому для описания движения каждого бруска по горизонтальной поверхности в инерциальной системе отсчета под действием этой силы с ускорением можно применять второй закон Ньютона.

Нить невесома. Значит, силы натяжения нити, действующая на каждый брусок и на подвижный блок, имеет одинаковое по модулю значения.

Нить нерастяжима. Поэтому можно составить уравнение кинематической связи между ускорениями брусков и подвижного блока.

Перейдем к решению. Нарисуем силы Т натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок О (см. рисунок). Введём систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось X:

В силу невесомости блока О имеем или

В силу нерастяжимости нити (длиной L) и неподвижности блоков А и В (их координаты и постоянны) имеется следующая кинематическая связь между координатами и грузов и координатой блока О (здесь — радиус блоков А и В, R — радиус блока О):

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

Ответ:

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами и соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена некоторая направленная вертикально вниз сила, в результате чего ось О движется с ускорением Найдите модуль F этой силы. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Какие законы Вы используете для описания движения брусков? Обоснуйте их применение.

Обоснование. Бруски движутся поступательно. Следовательно, их можно считать материальными точками. Подвижный блок невесом. На каждый брусок действуют сила тяжести и сила натяжения нити. На гладкой поверхности и в блоках отсутствует сила трения. Поэтому для описания движения каждого бруска по горизонтальной поверхности в инерциальной системе отсчета под действием этой силы с ускорением можно применять второй закон Ньютона.

Нить невесома. Значит, силы натяжения нити, действующая на каждый брусок и на подвижный блок, имеет одинаковое по модулю значения.

Нить нерастяжима. Поэтому можно составить уравнение кинематической связи между ускорениями брусков и подвижного блока.

Перейдем к решению. Нарисуем силу и силы натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок (см. рисунок). Введем систему координат как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось

В силу невесомости блока имеем или

В силу нерастяжимости нити (длиной ) и неподвижности блоков и (их координаты и постоянны) имеется следующая кинематическая связь между координатами и грузов и координатой блока (здесь — радиус блоков и — радиус блока :

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

откуда

Ответ:

Источник

При каком условии силы натяжения нити по разные стороны блока можно считать одинаковыми

Динамика: движения системы связанных тел.

Проецирование сил нескольких объектов.

Действие второго закона Ньютона на тела, которые скреплены нитью

Если ты, дружок, позабыл, как силушку проецировать, советую мыслишки в своей головушке освежить.

А для тех, кто все помнит, поехали!

Задача 1. На гладком столе лежат два связанных невесомой и нерастяжимой ниткой бруска с массой 200 г левого и массой правого 300 г. К первому приложена сила 0,1 Н, к левому — в противоположном направлении сила 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы?

Движение происходит только на оси X.

Т.к. к правому грузу приложена большая сила, движение данной системы будет направлено вправо, поэтому направим ось так же. Ускорение у обоих брусков будет направлено в одну сторону — сторону большей силы.

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим верхнее и нижнее уравнение. Во всех задачах, если нет каких-то условий сила натяжения у разных тел одинакова T ₁ и Т ₂.

Задача 2. Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F₁ и F₂, составляющие с горизонтом углы α и β. Найти ускорение системы и силу натяжения нити. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны μ. Силы F₁ и F₂ меньше силы тяжести брусков. Система движется влево.

Cистема движется влево, однако ось можно направить в любую сторону (дело лишь в знаках, можете поэксперментировать на досуге). Для разнообразия направим вправо, против движения всей системы, мы же любим минусы! Спроецируем силы на Ох (если с этим сложности — вам сюда ).

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим уравнения и выразим ускорение:

Выразим натяжение нити. Для этого приравняем ускорение из обоих уравнений системы:

В данной задаче можно представить, что два левых груза скреплены вместе без нити, это избавит нас от проецирования взаимно равных сил.

Вычтем из первого уравнения второе:

Зная ускорение и то, что начальная скорость равна нулю, используем формулу пути для равноускоренного движения:

Задача 4. Два груза массами 4 кг и 6 кг соединены легкой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузом и столом μ = 0,2. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы.

Запишем движение тел на оси, из Oy найдем N для силы трения (Fтр = μN):

(Если сложно понять, какие уравнения понадобятся для решения задачи, лучше запишите все)

Сложим два нижних уравнения для того, чтобы T сократилось:

Задача 5. На наклонной поскости с углом наклона 45° лежит брускок массой 6 кг. Груз массой 4 кг присоединен к бруску при помощи нити и перекинут через блок. Определите натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,02. При каких значениях μ система будет в равновесии?

Ось направим произвольно и предположим, что правый груз перевешивает левый и поднимает его вверх по наклонной плоскости.

Из уравнения на ось Y выразим N для силы трения на ось Х (Fтр = μN):

Решим систему, взяв уравнение для левого тела по оси Х и для правого тела по оси Y:

Выразим ускорение, чтобы осталась одна неизвестная T, и найдем ее:

Система будет в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждое из тел, будет равна нулю:

Получили отрицательный коэффициент трения, значит, движение системы мы выбрали неверно (ускорение, силу трения). Можно это проверить, подставив силу натяжения нити Т в любое уравнение и найдя ускорение. Но ничего страшного, значения остаются теми же по модулю, но противоположными по направлению.

Значит, правильное направление сил должно выглядить так, а коэффициент трения, при котором система будет в равновесии, равен 0,06.

Задача 6. На двух наклонных плоскостях находится по грузу массами 1 кг. Угол между горизонталью и плоскостями равен α = 45° и β = 30°. Коэффициент трения у обеих плоскостей μ = 0,1. Найдите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Каким должно быть отношение масс грузов, чтобы они находились в равновесии.

В данной задаче уже потребуются все уравнения на обе оси для каждого тела:

Найдем N в обоих случаях, подставим их в силу трения и запишем вместе уравнения для оси Х обоих тел:

Сложим уравнения и сократим на массу:

Подставив в любое уравнение найденное ускорение, найдем Т:

А теперь одолеем последний пункт и разберемся с соотношением масс. Сумма всех сил, действующих на любое из тел, равна нулю для того, чтобы система находилась в равновесии:

Все, что с одной массой, перенесем в одну часть, все остальное — в другую часть уравнения:

Получили, что отношение масс должно быть таким:

Однако, если мы предположим, что система может двигаться в другом направлении, то есть правый груз будет перевешивать левый, направление ускорения и силы трения изменится. Уравнения останутся такими же, а вот знаки будут другими, и тогда отношение масс получится таким:

Тогда при соотношении масс от 1,08 до 1,88 система будет находиться в покое.

У многих может сложиться впечатление, что соотношение масс должно быть каким-то конкретным значением, а не промежутком. Это правда, если отстутвует сила трения. Чтобы уравновешивать силы тяжести под разными углами, найдется только один варинт, когда система находится в покое.

В данном же случае сила трения дает диапазон, в котором, пока сила трения не будет преодолена, движения не начнется.

Источник