повествовательное предложение относительно которого можно сказать истинно оно или ложно это

Информатика. 10 класс

Тезаурус

Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые с точки зрения их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Логическое высказывание — это повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными. Высказывание, никакая часть которого не является высказыванием, называется элементарным.

Логическая переменная — это переменная, которая обозначает любое высказывание и может принимать логические значения «истина» или «ложь».

Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает составное высказывание при всех возможных значениях образующих его элементарных высказываний.

Инверсия — логическая операция, при которой высказыванию ставится в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Дизъюнкция — логическая операция, которая двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) — ложно, называется импликацией.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из двух высказываний истинно, называется строгой (исключающей) дизъюнкцией.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны, называется эквиваленцией или равнозначностью.

При преобразовании или вычислении значения логического выражения логические операции выполняются в соответствии с их приоритетом:

Операции одного приоритета выполняются в порядке их следования, слева направо. Скобки меняют порядок выполнения операций.

Предикат — это утверждение, содержащее одну или несколько переменных. Из имеющихся предикатов с помощью логических операций можно строить новые предикаты.

Таблицу значений, которые принимает логическое выражение при всех сочетаниях значений входящих в него переменных, называют таблицей истинности логического выражения.

Истинность логического выражения можно доказать путем построения его таблицы истинности.

Функцию от n переменных, аргументы которой и сама функция принимают только два значения — 0 и 1, называют логической функцией. Таблица истинности может рассматриваться как способ задания логической функции.

Список литературы

Основная литература по теме урока:

— Л. Л.Босова, А. Ю.Босова. Информатика. Базовый уровень: учебник для 10 класса. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017 (с.174—197)

Дополнительная литература по теме урока:

— К. Ю.Поляков, Е. А.Еремин. Информатика углубленный уровень: учебник для 10 класса: часть 1. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013 (с.159—196)

Открытые электронные ресурсы по теме:

Источник

Повествовательное предложение относительно которого можно сказать истинно оно или ложно это

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

1. Логические выражения и логические операции

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:

Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Введем перечисленные логические операции.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Источник

Высказывания и предикаты. Кванторы

п.1. Высказывания

Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.

Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.

п.2. Предикаты

Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P(«слон» )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P(«стол» )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0

Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
\(\mathrm>\)

Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.

п.3. Кванторы

«для любого…», «для всех…», «любой…»

Единственности и существования

«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»

Существуют натуральные числа, которые делятся на 13

Существуют треугольники, у которых все углы равны

Например, равносторонний треугольник со стороной 1

Любое натуральное число делится на 5

Например x = 6 на 5 не делится

У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны

Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°

Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.

Пример 3. С каким из кванторов предикат x 2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x 2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при \(\mathrm>\), оно выполняется.
Если запишем (∃x!) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: \(\mathrm=2\sqrt<2>>\)
Ответ: квантор существования ∃.

Источник

Высказывания и операции над ними. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Обозначаются высказывания большими буквами латинского алфавита: А, В, С, … X, Y, Z. Высказывания бывают истинными (и) или ложными (л).

Предложение с одной или несколькими переменными, которое преобразуется в высказывание при подстановке вместо всех переменных их значений, называется предикатом.

Примеры:

1. “Студент х изучает психологию” – предикат; “Студент 15 группы изучают психологию” – высказывание.

2. Высказывание А: “Человек – существо мыслящее” – и; высказывание В: “Насекомое – существо мыслящее” – л.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение (истинное или ложное), называется элементарным (простым) высказыванием.

Высказывание, образованное из элементарных, называется составным или сложным.

Образование составного высказывания из элементарных называется логической операцией.

Существуют следующие операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Отрицанием высказывания А называется высказывание (А) – “не А”, которое является истинным тогда, когда высказывание А ложно, а ложным – тогда, когда А истинно.

Набор всевозможных значений истинности для А и отражает таблица 2.1, называемая таблицей истинности.

A
И	Л	И
Л	И	Л

Отрицание любого высказывания можно построить с помощью слов:

“неверно, что” . Поскольку А – высказывание, то можно построить его отрицание – двойное отрицание. Очевидно, что А= (см. табл. 2.1).

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется составное высказывание A B (А&В) – “А и В”, которое истинно в том, и только в том случае, когда оба высказывания А и В истинны. Набор всевозможных значений истинности конъюнкции показан в таблице 2.2:

A	B	A B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Импликацией двух высказываний А и В называют составное высказывание А В (А→В) “если А, то В”, которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание, т.е. А, истинно, а В ложно. Таблица истинности импликации – табл. 2.4

A	B	A B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется составное высказывание AóB (А↔В) – “А тогда и только тогда, когда В”, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны. Таблица истинности эквиваленции – табл. 2.5

Следует сделать оговорку, что логические операции не учитывают смысл высказываний; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными и ложными.

Примеры:

1. Высказывание А: “Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина был основан в 1945 году”; высказывание : “Неверно, что Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина был основан в 1945 году ”.

2. Высказывание В: “Треугольник АВС прямоугольный”; высказывание : “Неверно, что треугольник АВС прмоугольный”, т.е. “Треугольник АВС – тупоугольный или остроугольный”.

3. Высказывание А: “Студент добросовестно готовился к экзамену”, высказывание В: “Студент сдал экзамен блестяще”, высказывание A B: “Студент добросовестно готовился к экзамену и сдал его блестяще”.

4. A B: «Число 30 двузначное и четное ”.

5. Высказывание А: “Фестиваль “Славянский базар” проводится в Витебске”, высказывание В: “Брест – самый западный город Беларуси”, Высказывание A B: “ Славянский базар” проводится в Витебске или Брест – самый западный город Беларуси”.

6. A B: “13≤23”.

7. А B: “Если число 30 двузначное, то оно четное ”.

8. Высказывание А: “Треугольник АВС является прямоугольным”, высказывание В: “Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон”, высказывание AóB: “Треугольник АВС является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон”.

9. AóB: “Стать хорошим психологом можно тогда и только тогда, когда овладеешь математическими методами”.

Источник

Презентация была опубликована 3 года назад пользователемПасечник Галина

Похожие презентации

Презентация на тему: » Высказывание это повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.» — Транскрипт:

2 Высказывание это повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

5 Высказывательная форма Высказывательная форма (предикат)- это предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной. х+2=14 – высказывательная форма, т.к. это предложение с переменной обращается в истинное высказывание при х=12. х

6 Виды высказываний Высказывания Простые Составные Конъюнкция ДизъюнкцияОтрицание ИмпликацияЭквиваленция

7 Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если. то», «тогда и только тогда, когда» позволяют из высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

8 Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

10 Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В, которое истинно только тогда, когда оба истинны. Операция выражается связкой «и». Пример: 1) 2

11 Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В, которое ложно только тогда, когда оба ложны. Операция выражается связкой «или». Пример: 1) «28 7 или 28 9» –и а в а в иии или лии ллл

12 Пример. А: 28 делится на 9 (л) А: Неверно, что 28 делится на 9 (и) Отрицанием высказывания А называет- ся высказывание А, которое истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. А А ил ли

14 Упражнения 1.Известно, что высказывание А истинно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания: a.А В b.АВ? 2.Известно, что высказывание А ложно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания: a.А В b.АВ?

15 Упражнения 3. Определить значение истинности каждого высказывания: a.Число 6 делится на 2 и на 3; b.Число 123 делится на 3 и на 9; c.При делении 42 на 5 в остатке получается 2 или 5. d.3 7 e.37

16 Изучите страницу учебника математики и перечислите виды составных высказываний, с которыми встречаются учащиеся при выполнении задания:

Источник