ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ:
ΠΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°.
Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ
ΠΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ.
\( \vec + \vec = \left( <
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \( \overrightarrow \) Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ \( A,\ B\ ΠΈ\ C \) ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½ΠΎΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ:
\( \left| \vec <0>\right| = 0 \)
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \( \overrightarrow \) Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \( k \) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \( \overrightarrow \) ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ:
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \( \overrightarrow \) ΡΠ°Π²Π½Π° \( \left|\overrightarrow\right|=\left|k\right||\overrightarrow| \) ;
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ \( \overrightarrow \) ΠΈ \( \overrightarrow \) ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, ΠΏΡΠΈ \( k\ge 0 \) ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ \( k\le 0 \)
Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ
ΠΡΡΠ½Π°Π» «ΠΠ²Π°Π½Ρ»
ΠΠ±ΡΠΈΠ΅
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a = 3 ΠΌ, b = 4 ΠΌ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° a + b = 3 ΠΌ + 4 ΠΌ = 7 ΠΌ. ΠΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec c = \vec a + \vec b\) Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 7 ΠΌ (ΡΠΈΡ. 1).
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec c = \vec a + \vec b\) (ΡΠΈΡ. 2), ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ \(\vec c = \vec a + \vec b\) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² \(c = \sqrt\), Π³Π΄Π΅ \(\alpha\,\) β ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\).
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°
Π Π·Π°ΡΡΠ±Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Β«Ρ Π²ΠΎΡΡ ΠΊ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅Β».
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (ΡΠΈΡ. 3, Π°) Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec b\) ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΎ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec a\) (ΡΠΈΡ. 3, Π±). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec c\), Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec a\), Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ β Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec b\) (ΡΠΈΡ. 3, Π²).
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec b\) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec a\) (ΡΠΈΡ. 4), Ρ.Π΅. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²).
Π° Π± Π² Π ΠΈΡ. 4. vector-treug-1.swf «ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²» ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1 Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΡΡ Flash vector-treug-2.swf «ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²» ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2 Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΡΡ Flash Π ΠΈΡ. 5.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (ΡΠΈΡ. 6, Π°) ΠΈ \(\vec a\) ΠΈ \(\vec d\) (ΡΠΈΡ. 7, Π°). Π‘ΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(\vec c = \vec a + \vec b\) ΠΈ \(\vec f = \vec a + \vec d\) ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Π½Π° ΡΠΈΡ. 6, Π± ΠΈ 7, Π±. ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ, ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(c = a + b\) ΠΈ \(f=\left|a-d\right|\).
Π° Π± Π ΠΈΡ. 6. Π° Π± Π ΠΈΡ. 7.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (ΡΠΈΡ. 8).
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (ΡΠΈΡ. 9, Π°) Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (ΡΠΈΡ. 9, Π±). ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (ΡΠΈΡ. 9, Π²). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ \(\vec a+ \vec b\) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec c\), Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ β Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° (ΡΠΈΡ. 9, Π³).
Π° Π± Π² Π³ Π ΠΈΡ. 9. vector-paral-1.swf «ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°» Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΡΡ Flash Π ΠΈΡ. 10.
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (ΡΠΈΡ. 11) Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)\) (ΡΠΌ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ) ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° (ΡΠΈΡ. 12) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° (ΡΠΈΡ. 13).
Π ΠΈΡ. 11 Π° Π± Π² Π ΠΈΡ. 12. Π° Π± Π± Π² Π ΠΈΡ. 13.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ:
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅:
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ! ΠΡΠ±ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. ), Π΄Π»Ρ ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ).
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°
Π ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ· ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
Π‘ΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ
ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅:
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°Ρ
.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ
\( \vec
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ:
β Π‘ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅ΡΡΡ (Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π°).
β Π£ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ (ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°).
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»Ρ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ΅Π»ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Π»ΠΎΡΡ ΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ.
Π‘ΠΈΠ»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ. ΠΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΠΊΠ°ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΡΡΡ ΡΠ΅Π»ΠΎ Π² ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π°. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ \( \vec
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° \( \vec
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ. 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡ
ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (AC) β ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (AB) βΠΈ (BC) β. Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (AC) β ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (AD) β ΠΈ (DΠ‘) β.
(AC) β = (AB) β+ (BC) β = a β + b β.
(AC) β = (AD) β + (DC) β = b β +(a) β.
a β + b β= b β + (a) β (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½)
ΠΡΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΡ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a β ΠΈ b β, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡ Π½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ. ΠΠ° ΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ
ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΉΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a β ΠΈ b β.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²: ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½.
ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ Π½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (AB) β, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ(a) β, ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (BC) β, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ b β, Π° ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π‘ β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (CD) β, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ c β.
ΠΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΡΡ
Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
(a β + b β) + c β = (AB) β+ (BC) β + (CD) β = (AC) β + (CD) β = (AD) β.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠΈΡ
ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² b β ΠΈ c β, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a β ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ²ΡΠΈΠΉΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
a β+ (b β+ c β) = (AB) β+ ((BC) β + (CD) β) = (AB) β + (BD) β = (AD) β.
ΠΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ.
ΠΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°: ΠΏΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΎ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠΉ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
p β = (a1) β+ (a2) β + (a3) β + (a4) β+ (a5) β
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ
ΠΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠΎ ΡΡΡΠΈ, ΡΡΠ° Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ Ρ Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ.
ΠΠ±ΡΠΈΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. Π‘ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ», ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎ ΡΡΡΠΈ, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠ΅, ΠΎΠ±ΡΡΠΌΡ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ°ΠΌΒ». Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ β ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡΠΊΡ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ½ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ β ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΡ Π±ΡΠΊΠ², ΡΠ²Π΅ΡΡ Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ ΡΡΡΡΠΎΡΠΊΠ°. Π ΠΈΡΡΡΡ ΠΆΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ AB ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° A ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π° B ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ. Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ, ΡΠ°ΠΊ: AB = a.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ. ΠΡΠ° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ. Π ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π΅Ρ ΡΠΈΡΡΠΎΠΉ 0.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³Ρ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° β ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ. ΠΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ, Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π½Π° ΠΎΡΠΈ. ΠΠ΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π·Π° Π±Π°Π·ΠΈΡ Π±Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΡ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΡΡΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΎΠΉΡΠΈ ΠΎΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ.
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠ΅Π΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ. ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ: Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΡ ΠΎΡΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b. ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (ax; ay), Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ (bx;by). ΠΡΠΈ ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ c (ax + bx; ay + by).
ΠΡΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ. ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ f (x 1; y 1) ΠΈ g (x 2; y 2). Π ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Π§ΡΠΎ ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΡΡΡ Π΅ΡΡΡ a (1; 2), b (-3; 1). ΠΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ a + b = (1 β 3; 2 + 1) = (-2; 3).
ΠΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ: a + (-a) = 0. ΠΡΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ β ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
ΠΠΎ ΡΡΡΠΈ, Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ, ΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ. Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ².
Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π΄Π²Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π΅ΠΉ, ΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π΄ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡ Π½Π΅Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ AB ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΈ AD ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΠΌ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ ABCD. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ, ΡΠΎ Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ².
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ. ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ a ΠΈ b. ΠΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ B, ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ, Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ D. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· D ΠΈ B Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ AB ΠΈ AD. ΠΠ΅ΡΡΠΎ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΡ, ΠΏΡΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π‘. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π² ΡΠΈΠ³ΡΡΠ΅ ABCD, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ AC = a + b. ΠΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² AD = BC ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 2 ΡΠΌ ΠΈ 1 ΡΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ 45. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ Π»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π² ΠΊΠ»Π΅ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ O. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ OA, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ OB. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ. ΠΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΡΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ D. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ. Π ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ OA + OB = OD = 3 ΡΠΌ.
ΠΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ . ΠΡΠ° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ°ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ, Π° ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΠ».
ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠ΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ. ΠΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡΠ΄Π°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³Ρ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π² ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΡΡ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ². ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
ΠΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
ΠΡΠΎΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠ½ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡ, Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ. ΠΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠΎ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΠΌΡΠΌ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΌ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠΎ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ, Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° β ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅.