паркет можно составить в геометрии
Презентация по математике»Паркет из многоугольников»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
«Паркет из многоугольников»
Что такое паркет? В математике паркетом называют заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.
Виды паркетов Из неправильных многоугольников; Из фигур, полученных комбинацией квадратов; Из фигур, полученных комбинацией половинок и четвертинок окружности. Из правильных многоугольников;
Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника? Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек. Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов. И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».
Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Углы правильного n-угольника равны 180⁰∙(n-2): n, где n- число сторон многоугольника. С помощью паркета мы можем замостить плоскость. Если в одной точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство: m ∙ 180⁰ ∙ (n-2) : n=360⁰ После преобразования получаем: m = 2 ∙ n : (n-2). Для пятиугольника m получается дробным числом, значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя. Паркеты из правильных многоугольников:
Если при составлении паркета использовать несколько правильных многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.
Паркеты из неправильных многоугольников Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма. Легко покрыть плоскость параллелограммами
На рисунке приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Паркеты из неправильных многоугольников
Паркеты из фигур, полученных комбинацией квадратов
Паркеты из элементов окружности Паркет можно построить, начав с квадрата.
Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами. Появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим некоторые из возможных способов построения нового паркета. Способы построения паркетов
Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Способ второй Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти треугольников Паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки
Способ четвёртый Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. Получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:
Гравюра Эшера «Правильное деление на плоскости III». На ней изображены всадники. Мотив «всадник» построен на основе правильного треугольника.
Вариантов построения паркетов на основе правильных многоугольников – огромное множество! Все зависит от фантазии. Орнамент из мотивов, образуемых одной кривой, но построенный на треугольной сетке с осями симметрии 3-го порядка. Орнамент, построенный на основе правильного шестиугольника и вписанных в него правильных треугольников.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-418245
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов
Время чтения: 0 минут
Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии
Время чтения: 0 минут
Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно
Время чтения: 2 минуты
Студенты Хабаровского края перейдут на дистанционное обучение
Время чтения: 1 минута
«Спутник» объявили словом года в России
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Презентация по математике на тему»Паркет»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Исследовательская работа по теме: «Паркет из многоугольников» Выполнил : Лобачев Павел, ученик 9А класса МБОУ «Инсарская СОШ №2» Руководитель: Кузнецова О. Г., учитель математики «Инсарская СОШ №2» МБОУ «Инсарская СОШ №2» г.Инсар 2015
Введение Цель: составление паркета с помощью различных геометрических фигур. Задачи: Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме. Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками. Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет. определить количество правильных и полуправильных паркетов. Объект исследования : паркеты. Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.
В геометрии паркетом называется разбиение плоскости многоугольниками, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют одну общую вершину, либо имеют общую сторону.
Градусная мера угла правильного многоугольника: αn=((n-2)*180)/n 360n/((n-2)*180)=m, где m–целое число, показывающее кол-во многоугольников. Решая уравнение, получаем: n1=3, m1=6; n2=4,m2=4; n3=6,m3=3. Это означает, что замостить плоскость вокруг точки можно при помощи правильных многоугольников: шести треугольников, четырёх квадратов и трёх шестиугольников.
Если при составлении паркета использовалось несколько правильных многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.
Паркеты из неправильных многоугольников Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма. Легко покрыть плоскость параллелограммами
Паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°.
Паркеты из фигур, полученных комбинацией квадратов
Паркеты Эшера Обратимся к частным примерам из графического наследия голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера (1898-1972).
Правильные многоугольники в жизни
Паркеты в природе Пчелы – удивительные творения природы. Геометрические способности пчел проявляются при построении сот. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их ребрам, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета
Заключение В результате изучения научной литературы о паркетах я подробно изучил паркеты, понял принципы их построения, сделал вывод, что правильных паркетов одиннадцать, увидел их широкое применение в жизни людей. В результате изучения данной темы я понял, что существует бесчисленное множество паркетов, но правильных только одиннадцать. Назначение своей работы я вижу в её использовании на занятиях, элективных курсах, уроках и внеклассных мероприятиях. В процессе работы я узнал много нового, интересного. Данная тема дала мне возможность математического творчества. Кроме того, полученные результаты довольно интересны и открывают широкие перспективы дальнейшего развития работы и применения полученных результатов. Применение исследовательской работы: Использование данной исследовательской работы в строительстве и ремонте жилых помещений, в украшении предметов пользования и т.д.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДВ-040903
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии
Время чтения: 0 минут
В Минобрнауки разрешили вузам продолжить удаленную работу после 7 ноября
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о дизайн-мышлении в современной дошкольной педагогике
Время чтения: 2 минуты
Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно
Время чтения: 2 минуты
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
День преподавателя высшей школы будет отмечаться 19 ноября
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Исследовательская работа «Геометрия и паркет»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ Геометрия и паркет- реферат.doc
МБОУ «Железногорская средняя общеобразовательная школа №2»
Научно – практическая конференция
«За страницами школьного учебника»
Тема: «Геометрия и паркет»
Захарова Людмила Алексеевна
Орнамент как зеркало хорошего вкуса…………………………………………. 6-7
Паркеты из правильных многоугольников………………………………………8-9
Классические паркетные узоры…………………………………………………10-11
Паркетные узоры нестандартной формы………………………………………11-12
Этапы разработки фрагментов паркетного узора……………………………. 12-14
Задачи о паркете в олимпиадных заданиях……………………………………….14
Геометрия – это не только школа логического мышления, это еще и источник образов. В чем тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают? Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?
Тема: Геометрия и паркет.
Определить какие основные геометрические фигуры используются при составлении паркета и разработать образец паркета со своим рисунком
Ознакомится с литературой.
Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.
Определить набор фигур для оформления паркетов.
Разработать собственный паркетный узор.
Гипотеза: Количество правильных паркетов бесчисленное множество (Если знать основные фигуры из которых можно составить паркет, то видоизменяя взятую за основу фигуру можно получить различные по сложности паркетные узоры)
Объект исследования: Различные паркетные узоры.
Предмет исследования: Плоские геометрические фигуры, из которых можно составить паркетный узор.
2.2.Сквозь века
Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках нигдe в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.
«Пироги» наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными «оазисами», кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.
2.3.Орнамент как зеркало хорошего вкуса
В каждом конкретном cлyчae современного орнамента, нового декоративного решения. Рисунок наборного паркета (точно тaк же, кaк и вид укладки штучного) дизайнеры связывают c общей архитектурной конструкцией интерьера. В частности, c планом полов, назначением и oбpaзoм каждого помещения. Разрабатывая сценарий оформления дома, профессионалы стремятся преодолеть однообразие и украшают разные помещения и зоны разным пo рисунку наборным паркетом. При этом важно соблюсти строгое стилистическое и художественное единство вceгo интерьера.
Выбор цвета, масштабов, степени насыщенности, плотности и контраста напольных графических рисунков, их сочетания друг c другом и co свободными от орнаментов зонами oчeнь сильно влияет нa восприятие интерьера, на формирование образа архитектурного пространства.
2.4.Паркеты из правильных многоугольников
Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.
В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.
В то же время правильные пятиугольники не могут служить элементами паркета, поскольку их нельзя на плоскости подогнать друг к другу плотно, без зазоров. То же самое можно сказать о семи-, восьми-, девяти-, десятиугольниках. Постепенно были придуманы способы заполнения плоскости правильными многоугольниками разных видов и размеров. Например, так можно заполнить плоскость, комбинируя четырех- и восьмиугольники разных размеров.
Обратите внимание: грани всех многоугольников имеют одинаковые размеры, что позволяет состыковывать их с любой стороны.
Исследовательская работа по математике » Геометрические паркеты»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.
Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.
Цель и задачи проектной работы.
1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.
2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.
4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.
Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?
Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.
1. Историческая справка.
Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.
Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века
Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.
2. Геометрические п аркеты.
П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.
2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.
1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?
Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.
В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.
На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.
В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют
Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?
Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?
Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).
Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:
Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º
После преобразований получим:
Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).
Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).
Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.
Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
Если n =6, m =3 (шестиугольника)
Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!
Вывод: Наше предположение оказалось верным.
Мы убедились в том, что паркет можно построить из:
На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.