определитель основной матрицы системы равен нулю систему можно решить только методом
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.
Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.
Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:
Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):
Значит, её легко перевести в матричную форму:
AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.
Т.к. A −1 A=E, значит, X=A −1 B. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A:
Для однородной системы линейных уравнений, т.е. если вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.
Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.
Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.
Пример решения неоднородной СЛАУ.
Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.
Далее вычисляем алгебраические дополнения для элементов матрицы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных. Эти коэффициенты нужны будут для вычисления обратной матрицы.
Теперь находим союзную матрицу, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.
Подставляем переменные в формулу:
Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.
При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например:
НЕЛЬЗЯ записать как:
Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:
Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x1, x2, …, xn могут оказаться другие буквы. К примеру:
в матричной форме записываем так:
Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.
Определитель основной матрицы системы равен нулю систему можно решить только методом
Дадим ряд необходимых определений.
Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля, и однородной, если все ее свободные члены равны нулю.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел, который, будучи подставленным вместо переменных в систему, обращает каждое ее уравнение в тождество.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Рассмотрим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений, имеющую при n = m следующий общий вид:
Главной матрицей A системы линейных алгебраических уравнений называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных:
Определитель главной матрицы системы называется главным определителем и обозначается ∆.
Теорема 1.1 (теорема Крамера). Если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Если главный определитель ∆=0, то система либо имеет бесконечное множество решений (при всех нулевых вспомогательных определителях), либо вообще решения не имеет (при отличии от нуля хотя бы одного из вспомогательных определителей). 
После этого следует провести проверку полученного решения.
Пример 1.4. Решить систему методом Крамера
Решение. Так как главный определитель системы
отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители
Воспользуемся формулами Крамера (1.6): 
Пример 1.5. Данные дневной выручки молочного цеха от реализации молока, сливочного масла и творога за три дня продаж (на 2017 год) занесены в таблицу 1.4.
Определить стоимость 1 единицы продукции молокоцеха каждого вида.
Решение. Обозначим через x – стоимость 1 литра молока, y – 1 кг сливочного масла, z – 1 кг творога. Тогда, учитывая данные таблицы 1.4, выручку молочного цеха каждого из трех дней реализации можно отобразить следующей системой:
Решим систему методом Крамера. Найдем главный определитель системы по формуле (1.2):
Так как он отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители с помощью формулы (1.2):
По формулам Крамера (1.6) имеем:
Вернувшись к обозначениям, видим, что стоимость 1 литра молока равна 44 рубля, 1 кг масла – 540 рублей, 1 кг творога – 176 рублей
Примечание. Как видно, процесс вычисления определителей вручную с помощью калькулятора трудоемок, поэтому на практике используют персональный компьютер. Так, для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера в MS Excel высчитывают ее главный и вспомогательные определители с использованием функции МОПРЕД( ), где аргументом является диапазон ячеек и элементы матрицы, определитель которой находится.
В MathCAD для нахождения определителя пользуются палитрой оператора Matrix
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами
Содержание:
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Крамера
Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение 
Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы 
Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на 
для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную: 
Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е. 
Определение: Определитель 
называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.
Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ: 
31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.
Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины 
Проанализируем полученные формулы:
Пример:
Решить СЛАУ методом Крамера 
Решение:
Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом
Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке) 
Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя 
Воспользуемся формулами Крамера
Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.
Выполним проверку 
Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.
Матричный способ решения СЛАУ
Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных 
матpицы-столбцы неизвестных 
и свободных коэффициентов 
Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде 
Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу 
к матрице А, получим 
в силу того, что произведение 
найдем 
Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу 
после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.
Пример:
Решить СЛАУ матричным способом 
Решение:
Введем в рассмотрение следующие матрицы 
Найдем матрицу 
(см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.
Пример:
Решение:
Найдем алгебраические дополнения всех элементов 
Запишем обратную матрицу 
(в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:
Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.
Метод Гаусса
Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид: 
Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.
Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим 
Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки 
Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу 
Из первого уравнения находим, что х = 1.
Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от
способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.
Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
Определение: Рангом матрицы 
называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Если 
то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.
При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.
Пример:
Найти ранг матрицы 
Решение:
Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, 
среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, 
Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство 
для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.
Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).
Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).
В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.