какое выражение определяет потенциальную энергию сжатой пружины
Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины
Уравнения колебаний пружинного маятника
Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:
В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:
\[Re\ \tilde
Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна
, (8.14)
– объем стержня.
к тому объему
, в котором она заключена, называетсяплотностью энергии
u.
Тогда
– плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии).
Аналогично нетрудно получить, что плотность энергии деформации при сдвиге равна
.
Кручение
Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.
Возьмем однородную проволоку, верхний конец ее закрепим, а к нижнему концу приложим закручивающие силы. Они создадут вращающий момент относительно продольной оси проволоки. При этом каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на угол
. Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения имеет вид
Читать также: Глубина резания на токарном станке
, (8.15)
– модуль кручения, постоянная для данной проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
Выведем выражение для модуля кручения.
очень мала по сравнению с радиусом. Площадь сечения трубки равна
. Обозначим черезкасательное напряжение в том же основании. Тогда момент сил, действующий на это основание, будет
. При закручивании совершается работа
.
Разделим ее на объем трубки
. Найдем плотность упругой энергии при деформации кручения
(8.16)
Найдем эту же величину иначе.
Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть (рис.8.5).
В результате кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение
. Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге равна
(8.17)
Приравнивая его выражению (8.16), находим искомое соотношение
(8.18)
Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль
найдется интегрированием последнего выражения по. Это дает
где
– внутренний радиус трубки,
– внешний радиус трубки.
Для сплошной проволоки радиуса модуль кручения.
Закон сохранения механической энергии
Согласно установленным законам механическое воздействие консервативной механической системы сохраняется во времени. Этот момент определяет то, что потенциальная энергия деформированной пружины не может возникнуть сама или исчезнуть куда-нибудь. Именно поэтому для ее создания нужно приложить соответствующее усилие.
Рассматриваемый закон относится к категории интегральных равенств. Эта закономерность определяет то, что он складывается их действия дифференциальных законов, является свойством или признаком совокупного воздействия.
Для проведения соответствующих расчетов должна применяться определенная формула. Сила, с которой оказывается воздействие, не является постоянной. Именно поэтому для ее вычисления применяется графический метод. Самая простая зависимость может быть описана следующим образом: F=kx. При применении подобной зависимости построенная координатная линия будет представлена прямой линией, которая расположена под углом относительно системы координат.
Приписать подобному устройству потенциальную энергию можно только в том случае, если она равна максимальной работе и не зависит от условной траектории движения. Проведенные исследования указывают на то, что подобная работа подчиняется закону Гука. Для определения основного показателя применяется следующая формула: U=kk2/2.
Для деформирования витков к ним должно быть приложено определенное усилие, так как в противном случае кинетическая сила не возникнет.
Контрольные вопросы
Что называется деформацией? Какие деформации называются упругими? Приведите примеры упругих деформаций.
Какова физическая сущность упругих сил?
Сформулируйте закон Гука? Когда он справедлив?
Дайте объяснение качественной диаграмме напряжений. Что такое предел пропорциональности, упругости и прочности?
Что такое упругий гистерезис и упругое последействие?
Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?
Что такое упругое последействие?
Выведите выражения для деформаций при всестороннем растяжении.
Что называется коэффициентом Пуассона?
Определите энергию деформированного тела.
Что называется плотностью упругой энергии? Получите формулы этой энергии при растяжении и сдвиге.
А. mv²/2 Б.mv В.mgh Г. kx²/2 2. Каково наименование единицы кинетической энергии, выраженное через основные единицы Международной системы? А.1кг·м Б.1 кг·м/с В.1кг·м²/с Г.1кг·м²/с² 3. Чему равна кинетическая энергия тела массой 3 кг, движущегося со скоростью 4 м/с?
Читать также: Станок лазерной резки металла видео
А. 6 Дж. Б. 12 Дж. В.24Дж. Г.48Дж.
4. Как изменится потенциальная энергия упруго деформированного тела при увеличении его деформации в три раза?
Два автомобиля с одинаковыми массами m движутся со скоростями v и 3v относительно Земли в одном направлении. Чему равна кинетическая энергия второго автомобиля в системе отсчета, связанной с первым автомобилем?
9. Тело массой 1 кг силой 30 Н поднимается на высоту 5 м. Чему равна работа этой силы?
Кинетическая энергия тела в момент бросания равна 200 Дж. Определите, до какой высоты от поверхности земли может подняться тело, если его масса равна 500 г.
Башенный кран поднимает бетонную плиту массой 2 т на высоту 15 м. Чему равна работа силы тяжести, действующей на плиту?
Потенциальная энергия пружины
Встречается довольно большое количество различных механизмов, частью которых является пружина. Этот конструктивный элемент характеризуется довольно большим количество различных особенностей, которые должны учитываться. Примером можно назвать понятие потенциальной энергии пружины. Рассмотрим все особенности данного вопроса подробнее.
Понятие потенциальной энергии пружины
При рассмотрении того, что такое потенциальная энергия пружины следует уделить внимание самому понятию – свойство, которым могут обладать тела при нахождении на земле. Этот момент определяет то, что ей могут обладать самые разнообразные изделия, в том числе рассматриваемое. К особенностям рассматриваемого понятия можно отнести следующее:
Она также широко применяется при создании самых различных механизмов, к примеру, заводных часов. При проектировании различных механизмов учитывается закон сохранения механической силы, которая характеризуется довольно большим количеством особенностей.
Закон сохранения механической энергии
Согласно установленным законам механическое воздействие консервативной механической системы сохраняется во времени. Этот момент определяет то, что потенциальная энергия деформированной пружины не может возникнуть сама или исчезнуть куда-нибудь. Именно поэтому для ее создания нужно приложить соответствующее усилие.
Рассматриваемый закон относится к категории интегральных равенств. Эта закономерность определяет то, что он складывается их действия дифференциальных законов, является свойством или признаком совокупного воздействия.
Для проведения соответствующих расчетов должна применяться определенная формула. Сила, с которой оказывается воздействие, не является постоянной. Именно поэтому для ее вычисления применяется графический метод. Самая простая зависимость может быть описана следующим образом: F=kx. При применении подобной зависимости построенная координатная линия будет представлена прямой линией, которая расположена под углом относительно системы координат.
Приписать подобному устройству потенциальную энергию можно только в том случае, если она равна максимальной работе и не зависит от условной траектории движения. Проведенные исследования указывают на то, что подобная работа подчиняется закону Гука. Для определения основного показателя применяется следующая формула: U=kk2/2.
Для деформирования витков к ним должно быть приложено определенное усилие, так как в противном случае кинетическая сила не возникнет.
Динамика твердого тела
Некоторые определить выражения (определяется при применении наиболее подходящих формул) можно только с учетом правил, касающихся динамики твердых объектов. Этому вопросу посвящен целый раздел. При расчете потенциальной энергии сжатой пружины также применяются некоторые законы этого раздела
Динамика твердого тела рассматривается по причине того, что в большинстве случаев механизм совершает действие, связанное с непосредственным перемещением какого-либо объекта.
Рассматриваемое свойство изделия может изменяться в зависимости от динамики твердого тела. Это связано с тем, что на изделие оказывается и воздействие со стороны окружающей среды. Примером можно назвать трение или нагрев.
Момент силы и момент импульса относительно оси
Рассмотрение деформации пружины проводится также с учетом момента силы и импульса относительно оси. Эти два параметра позволяют рассчитать все требуемые показатели с более высокой точностью. Довольно распространенным вопросом можно назвать чему равен момент силы – векторная величина, которая определяется векторному произведению радиуса на вектор приложенной силы.
Момент импульса – величина, которая применяется для определения количества вращательного движения.
Среди особенностей подобного показателя можно отметить следующее:
Расчет каждого показателя проводится при применении соответствующей формулы. В некоторых случаях проводится измерение требуемых вводных данных, без которых провести вычисления не получится.
Уравнение движения вращающегося тела
Рассматривая подобное свойство также следует уделить внимание уравнению движения вращающегося тела. Не стоит забывать о том, что вращательное движение твердого тела характеризуется наличием как минимум двух точек. При этом отметим нижеприведенные особенности:
Для вычисления угловой скорости применяется специальная формула, которая выглядит следующим образом: w=df/dt. В некоторых случаях проводится вычисление углового ускорения, которое также является важной величиной.
Потенциальная энергия пружины и кинетическая – что это, какая формула?
Во многих механизмах используется потенциальная и кинетическая энергия пружины. Их используют для выполнения различных действий. В отдельных узлах они фиксируют детали в определенном положении, не позволяя смещать в какую-либо сторону (барабан револьвера относительно корпуса). Другие пружинные системы возвращают исполнительный механизм в исходное положение (курок ручного огнестрельного оружия). Есть устройства, где узлы с гибкими свойствами совершают перемещения в устойчивое положение (механические стабилизаторы).
Работа связана с изменением геометрических параметров упругого тела. Прилагая нагрузку, заставляют эластичную деталь сжиматься (растягиваться или изгибаться). При этом наблюдается запасание энергии. Возвратное действие сопровождается набором скорости. Попутно возрастает кинетическая энергия.
Потенциальная энергия пружины
Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:
где Еп– потенциальная энергия положения, Дж;
F – сила, действующая на тело, Н;
l – величина перемещения в силовом поле, м.
Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).
Если рассматривать условие в поле тяготения, то величина силы находится произведением ускорения свободного падения на массу. Здесь сила веса находится с учетом g:
здесь G – вес тела, Н;
m – масса тела, кг;
g – ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².
Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:
где k – модуль упругости, Н/м;
х – перемещение при сжатии, м.
При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:
здесь dEп – элементарная работа, Дж;
dx – элементарное приращение сжатия, Н.
Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:
Пределами интегрирования является интервал от 0 до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям
Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой:
Закон сохранения механической энергии
Закон сохранения энергии существует независимо от желания наблюдателя. Все физические законы имеют статистический характер: существуют только подтверждения их выполнения, нет ни одного адекватно выполненного опыта, при котором наблюдается нарушение этой закономерности. Природные явления только подтверждают сохранность работы и энергозатрат, затраченных на ее выполнение.
На основании изложенного сформулировано положение:
где Ек – кинетическая энергия, Дж.
Рассматривая перемещения тела, наблюдаются изменения потенциальной и кинетической энергий. При этом сумма значений остается постоянной.
Проще всего проследить за изменениями между разными видами энергетических показателей при рассмотрении движения маятника.
Из крайнего положения (шарик на нити отклонился в одну из сторон, Еп = max) тело движется под действием силы тяжести. При этом снижается запасенная энергия. Движение сопровождается увеличением скорости. Поэтому нарастают показатели динамического перемещения Ек.
В нижней точке не остается никаких запасенных эффектов от положения шарика. Он опустился да минимума. Теперь Ек =max.
Поучается, при совершении гармонических колебаний маятник поочередно накапливает то один, то другой вид энергии. Механические превращения из одного вида в другой налицо.
Кинетическая энергия
Движущееся тело характеризуется скалярной величиной (масса) и векторная величина (скорость). Если рассматривать реальное перемещение в пространстве, то можно записать уравнение для определения кинетической энергии:
здесь v – скорость движения тела, м/с.
Использование кинетического преобразования можно наблюдать при колке орехов.
Приподняв камень повыше, далекие предки создавали необходимый потенциал для тяжелого тела.
Приподняв камень на максимальную высоту, разрешают ему свободно падать.
Двигаясь с высоты h, он набирает скорость
Поэтому в конце падения будет получена кинетическая энергия
Рассматривая входящие величины, можно увидеть, как происходит преобразование величин. В конце получается расчетная формула для определения потенциальной энергии.
Даже на уровне вывода зависимостей можно наблюдать выполнение закона сохранения энергии твердого тела.
Использование энергии пружины на практике
Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.
В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2).
Для гашения колебаний, возникающих при движении автомобиля, используют амортизаторы. Основным элементом, воспринимающим вертикальную нагрузку, являются пружины. Они сжимаются, а потом возвращают энергию кузову. В результате заметно снижается ударное воздействие. Дополнительно устанавливается гидроцилиндр, он снижает скорость обратного движения.
Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.
Видео: закон Гука и энергия упругой деформации.
Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины
Уравнения колебаний пружинного маятника
Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:
В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:
\[Re\ \tilde
Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна
, (8.14)
– объем стержня.
к тому объему
, в котором она заключена, называетсяплотностью энергии
u.
Тогда
– плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии).
Аналогично нетрудно получить, что плотность энергии деформации при сдвиге равна
.
Кручение
Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.
Возьмем однородную проволоку, верхний конец ее закрепим, а к нижнему концу приложим закручивающие силы. Они создадут вращающий момент относительно продольной оси проволоки. При этом каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на угол
. Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения имеет вид
Читать также: Глубина резания на токарном станке
, (8.15)
– модуль кручения, постоянная для данной проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
Выведем выражение для модуля кручения.
очень мала по сравнению с радиусом. Площадь сечения трубки равна
. Обозначим черезкасательное напряжение в том же основании. Тогда момент сил, действующий на это основание, будет
. При закручивании совершается работа
.
Разделим ее на объем трубки
. Найдем плотность упругой энергии при деформации кручения
(8.16)
Найдем эту же величину иначе.
Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть (рис.8.5).
В результате кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение
. Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге равна
(8.17)
Приравнивая его выражению (8.16), находим искомое соотношение
(8.18)
Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль
найдется интегрированием последнего выражения по. Это дает
где
– внутренний радиус трубки,
– внешний радиус трубки.
Для сплошной проволоки радиуса модуль кручения.
Закон сохранения механической энергии
Согласно установленным законам механическое воздействие консервативной механической системы сохраняется во времени. Этот момент определяет то, что потенциальная энергия деформированной пружины не может возникнуть сама или исчезнуть куда-нибудь. Именно поэтому для ее создания нужно приложить соответствующее усилие.
Рассматриваемый закон относится к категории интегральных равенств. Эта закономерность определяет то, что он складывается их действия дифференциальных законов, является свойством или признаком совокупного воздействия.
Для проведения соответствующих расчетов должна применяться определенная формула. Сила, с которой оказывается воздействие, не является постоянной. Именно поэтому для ее вычисления применяется графический метод. Самая простая зависимость может быть описана следующим образом: F=kx. При применении подобной зависимости построенная координатная линия будет представлена прямой линией, которая расположена под углом относительно системы координат.
Приписать подобному устройству потенциальную энергию можно только в том случае, если она равна максимальной работе и не зависит от условной траектории движения. Проведенные исследования указывают на то, что подобная работа подчиняется закону Гука. Для определения основного показателя применяется следующая формула: U=kk2/2.
Для деформирования витков к ним должно быть приложено определенное усилие, так как в противном случае кинетическая сила не возникнет.
Контрольные вопросы
Что называется деформацией? Какие деформации называются упругими? Приведите примеры упругих деформаций.
Какова физическая сущность упругих сил?
Сформулируйте закон Гука? Когда он справедлив?
Дайте объяснение качественной диаграмме напряжений. Что такое предел пропорциональности, упругости и прочности?
Что такое упругий гистерезис и упругое последействие?
Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?
Что такое упругое последействие?
Выведите выражения для деформаций при всестороннем растяжении.
Что называется коэффициентом Пуассона?
Определите энергию деформированного тела.
Что называется плотностью упругой энергии? Получите формулы этой энергии при растяжении и сдвиге.
А. mv²/2 Б.mv В.mgh Г. kx²/2 2. Каково наименование единицы кинетической энергии, выраженное через основные единицы Международной системы? А.1кг·м Б.1 кг·м/с В.1кг·м²/с Г.1кг·м²/с² 3. Чему равна кинетическая энергия тела массой 3 кг, движущегося со скоростью 4 м/с?
Читать также: Станок лазерной резки металла видео
А. 6 Дж. Б. 12 Дж. В.24Дж. Г.48Дж.
4. Как изменится потенциальная энергия упруго деформированного тела при увеличении его деформации в три раза?
Два автомобиля с одинаковыми массами m движутся со скоростями v и 3v относительно Земли в одном направлении. Чему равна кинетическая энергия второго автомобиля в системе отсчета, связанной с первым автомобилем?
9. Тело массой 1 кг силой 30 Н поднимается на высоту 5 м. Чему равна работа этой силы?
Кинетическая энергия тела в момент бросания равна 200 Дж. Определите, до какой высоты от поверхности земли может подняться тело, если его масса равна 500 г.
Башенный кран поднимает бетонную плиту массой 2 т на высоту 15 м. Чему равна работа силы тяжести, действующей на плиту?