какое выражение не является основным уравнением динамики поступательного движения

Поступательное движение в школьной программе изучает предмет физика. Для понимания, что оно собой представляет, каким законам подчиняется, изучим основную терминологию и рассмотрим понятие на конкретных примерах, которые встречаются в повседневной жизни.

Что такое поступательное движение

Перемещение твердого тела (всех взаимосвязанных его точек) с помощью механического воздействия по заданной траектории и в определенном направлении, в результате которого отрезок из двух любых точек данного тела будет всегда параллелен своему расположению, предшествующему нынешнему, в каждый отрезок времени, называется поступательным движением.

В процессе перемещения характеристика объекта не меняется: по составу, форме и величинам сторон. Причем в любой отрезок времени точки объекта обладают одним и тем же направлением модулей векторов скорости и ускорения, а их величины равны.

Выделяют прямолинейное поступательное движение и криволинейное.

В качестве примеров поступательного движения в можно привести функционирование по определенной траектории различного оборудования и механизмов.

перемещение стрелы с грузом строительного подъемного крана относительно его кабины, в которой сидит рабочий;

подъем и спуск лифта в шахте;

педали у велосипеда. При этом каждая его точка, напротив, совершает вращательные движения;

совершение кабиной оборотов на колесе обозрения в парках аттракционов.

Теорема о поступательном движении

Материальные точки объекта (тела), осуществляющего поступательные движения, перемещаются по одному и тому же пути, а скорости и ускорения в каждый промежуток времени совпадают по модулю вектора и направлению.

Доказательство теоремы

Докажем данную теорему. Для этого необходимо провести прямую линию через две любые точки твердого тела, осуществляющего поступательное движение – пусть это будут точки А и В.

Полученный отрезок АВ совершает перемещение по заданному пути: А описывает траекторию АА₁А₂А₃А_n, а В соответственно – В₁В₂В₃В_n.

Отсюда следует, что:

Принимая во внимание, что размеры данного отрезка АВ неизменны (const) при перемещении, а сам он имеет свойство двигаться в пространстве параллельно своему предыдущему местоположению, значит направления точки А и точки В совпадают.

Соотношение радиусов-векторов точек А и В в системе координат относительно ее начала – О (Рис 1),

можно выразить формулой:

где линии пути точки А соответствует функция r_A(t), точки B – r_B(t).

Теорема доказывает, что для определения поступательного движения твердого материального объекта достаточно знать параметры перемещения любой одной его точки. Следовательно, изучая кинематику передвижения точки тела, решается задача определения поступательного движения.

Основной закон динамики поступательного движения

Основной закон динамики поступательного движения трактует II закон Ньютона.

Формулировка закона звучит следующим образом:

Совокупность равнодействующих сил, оказывающих воздействие на материальное тело, способствует возникновению ускорения. То есть, ускорение прямо пропорционально векторному суммарному значению оказываемых на него сил, и обратно пропорционально массе объекта.

Основное уравнение закона приведено ниже:

Причем у равнопеременного движения векторное ускорение

II закон Ньютона работает исключительно в ИСО (инерциальная система отсчета), где объекты двигаются равномерно, прямолинейно или находятся в состоянии покоя.

Источник

Лекция №3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2.1. Основное уравнение динамики поступательного движения

Динамика − раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных сил. Основной задачей динамики является определение кинематического уравнения движения материальной точки, если известны, приложенные силы к ней со стороны окружающих тел и начальные условия, положение и скорость тела в начальный момент времени.

В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые являются результатом обобщения опытных данных и теоретических сведений в области механики. Для формулировки законов динамики необходимо дать определение следующих динамических характеристик: инертность, масса, импульс тела и сила.

Импульс тела (или количество движения ) − это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость

Второй закон Ньютона : ускорение тела прямо пропорционально результирующей сил приложенных к нему и обратно пропорционально его массе.

Третий закон Ньютона : сила, с которой одно тело действует на другое, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

2.2. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Формулы (2.2.1) называются преобразованиями Галилея для координат и времени. Они могут быть представлены также в виде обратного преобразования:

Из преобразований Галилея вытекает классический закон сложения скоростей. Продифференцировав соотношения (2.2.2) по времени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета К и К’

Согласно векторному соотношению (2.2.3) скорость υ точки М относительно неподвижной системы координат (абсолютная) равна векторной сумме ее скорости υ’ относительно подвижной системы (относительная) и скорости υ₀ подвижной системы относительно неподвижной (переносная).

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальна, то и остальные будут инерциальными.

Так как масса в классической механике не зависит от скорости, то произведение массы тела на его ускорение во всех инерциальных системах будет одинаковым, т. е. вид второго закона Ньютона, описывающего движение тела, будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность выражения для закона Ньютона отражает тот факт, что все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых условиях. Другими словами − все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой. Это утверждение носит название принципа относительности Галилея (или механический принцип относительности ). Он означает, что никакими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно установить покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Принцип относительности справедлив не только для механических, но и для любых физических явлений.

Используя преобразования Галилея, можно показать, что отрезки длин (масштабы) и интервалы времени между двумя какими-либо событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Понятие времени в классической механике является абсолютным, поэтому

Физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системе к другой, называются инвариантными. Следовательно, отрезки длин и интервалы времени являются инвариантами классической механики.

2.3. Система материальных точек. Закон сохранения импульса

Импульс механической системы, представляет собой сумму импульсов всех материальных точек, входящих в механическую систему.

Используя второй закон Ньютона для системы точек, запишем

Сложим эти уравнения:

Согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между материальными точками механической системы, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

С учетом выражения (2.3.1) получим закон изменения импульса механической системы : производная по времени от импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае замкнутой механической системы,

Выражение (2.3.6) выражает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса носит универсальный характер и выполняется также в релятивистской и квантовой механике. Закон сохранения импульса − это фундаментальный закон природы. Он является следствием определенного свойства симметрии пространства − его однородности. Под однородностью пространства понимают одинаковость свойств пространства во всех его точках.

2.4. Центр масс. Уравнение движения центра масс

В классической механике масса тела не зависит от его скорости движения, и импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Соотношения координат центра инерции системы равны

В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы определяется выражением

Определим скорость центра масс механической системы

Учитывая выражение (2.3.1) получим

Таким образом, импульс механической системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

С учетом выражения (2.3.5) получим

Это выражение представляет собой закон движения центра масс : центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, и на которую действует сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

Закон движения центра масс показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей, но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.

Источник

Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения

Лекция 4.Физика колебаний. Гармонический
осциллятор. Нормальные моды

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Модель гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот. Свободные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, декремент, логарифмический декремент затухания, добротность. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Параметрический резонанс.

4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение

Воспользовавшись основным уравнением классической динамики (уравнением второго закона Ньютона) можно получить уравнение движения материальной точки (тела), совершающего гармоническое колебание:

F= ma или F = ma, (4.1)

F = åF_i— результирующая сила, под действием которой совершается гармоническое колебание (возвращающая сила);

Из уравнения (4.2) видно, что сила, под действием которой совершается гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную ему. Она называется возвращающей силой. Возвращающая сила стремится вернуть материальную точку в положение равновесия.

Таким образом, уравнение движения материальной точки при гармоническом колебательном движении имеет вид

или . (4.3)

Решая дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения, можно получить значение, например, периода колебаний, собственной частоты.

4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники.
Определение их периодов и частот

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (4.3):

или .

Колебания гармонического осциллятора являются примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

В качестве примеров гармонических осцилляторов рассмотрим гармонические колебания систем, называемых пружинным, физическим и математическим маятниками.

Пружинный маятник

Рассмотрим простую колебательную систему: верхний конец пружины зафиксирован, а нижний соединён с некоторым телом, имеющим массу (рис.4.1). При растяжении пружины тело смещается из положения равновесия. Пружина характеризуется коэффициентом жесткости . Мы рассматриваем колебательную систему с сосредоточенными параметрами и , т.е. мы считаем, что масса сосредоточена в присоединённом теле, а упругость (жёсткость) характерна исключительно для пружины. На самом деле такое допущение – очередная абстракция, т.к. любая пружина имеет конечную (не нулевую) массу, а любое физическое тело обладает некоторой упругостью.

Рис.4.1

В действительности мы можем говорить лишь о преимущественном распределении параметров и соответственно в пружине и в присоединённом к ней теле.

Направим вертикально вниз ось , причем начало оси совместим с положением равновесия тела. При смещении тела из положения равновесия на него действует сила упругости . То есть в этом случае колебания возникают под действием сил упругой деформацииF(возвращающей, упругой силы), пропорциональной деформацииDl = x.

В данном случае действие силы тяжести не учитывается, т.к. оно приводит лишь к некоторому смещению тела из положения равновесия (точнее, к смещению самого положения равновесия) и никак не влияет на колебательный процесс. Беря проекцию силы упругости на ось , запишем:

или . (4.5)

Разделив на обе части дифференциального уравнения и введя обозначение , перепишем уравнение в следующем виде:

. (4.6)

Решением дифференциального уравнения (4.6) является функция , подстановка которой обращает уравнение в тождество. В данном случае решением является функция

. (4.7)

В чем нетрудно убедиться, осуществив подстановку:

, ;

. (4.8)

Параметр называется собственной частотой свободных незатухающих колебаний. Таким образом, выведенная из равновесия система совершает незатухающие гармонические колебания с вполне определённой для неё частотой .

. (4.9)

Так как T = 2π/ω₀, то для периода колебаний пружинного маятника получим

. (4.10)

Надо отметить, что приведенное справедливо для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Анализируя колебательный процесс, мы приходим к выводу, что признаками колебательной системы являются следующие три:

1) положение равновесия, 2) возвращающая сила, 3) инерция.

Источник

Динамика поступательного и вращательного движений

Тема 2. Динамика поступательного и вращательного движений.

2) Основные характеристики динамики вращательного движения.

3) Работа и мощность. Механическая энергия.

Кинематика рассматривает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение и его изменение.

В основе динамики, которая изучает причины изменения движения, лежат законы Ньютона. Эти законы относятся к фундаментальным законам природы и доказать их справедливость или опровергнуть можно только опытом.

Второй закон Ньютона – основной закон динамики.

Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

В динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила , а также способы их измерения. Масса тела m является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – силаявляется количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам

2. Если силами разной величины подействовать на одно то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики: Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

(1)

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

(2)

В международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н).

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

Если равнодействующая сила равна нулю, то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона также можно записать в виде:

(3).

Импульсом (количеством движения) называется векторная физическая величина, численно равная произведению массы тела на его скорость.

(4).

Основной единицей импульса тела в СИ является кг · м/с.

Тогда второй закон Ньютона окончательно примет вид :

(5)

Таким образом, скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

1) Сила всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела.

Закон всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном – сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел, т. е.

(6)

где — гравитационная постоянная, численно равная силе взаимодействия двух тел единичной массы, находящихся на единичном расстоянии друг от друга.

Сила всемирного тяготения является центральной силой, т. е. направленной вдоль прямой соединяющей центры тел.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения . Это означает, что на всякое тело массы m действует сила , называемая силой тяжести.

Когда тело покоится относительно Земли, сила тяжести уравновешивается силой реакции опоры (или подвеса), удерживающей тело от падения. По третьему закону Ньютона, тело будет действовать на опору (или подвес) с силой , равной по величине и противоположной ей по направлению, т. е. .

Сила, с которой тело действует на опору или подвес, вследствие притяжения к Земле, называется весом тела.

Силы трения появляются при перемещении двух соприкасающихся тел или частей тела относительно друг друга.

Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям, причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей.

В случае сухого трения, сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое смещение. В этом случае сила трения называется силой трения покоя.

Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя равна

(7)

где N – сила нормального давления, — безразмерный коэффициент, зависящий от рода соприкасающихся тел и чистоты обработки поверхности и называемый коэффициентом

Следует иметь в виду, что, помимо сил трения, при движении в жидкости или газе возникают силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо больше сил трения. Характерной особенностью этих сил является их зависимость от скорости движения тела и его формы.

Если на вал с диском действуют две силы , то простой опыт показывает, что равновесие имеет место только при условии, что , т. е. когда моменты сил равны по величине и противоположны по направлению.

(8)

называется моментом силы относительно точки О.

Модуль вектора определяется по формуле

где — плечо силы, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

(10)

называют моментом импульса материальной точки относительно точки.

(11)

называют моментом импульса твердого тела относительно точки.

(12)

называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину

(13)

моментом инерции твердого тела.

Любое твердое тело можно разбить на элементарные массы , расположенные на расстоянии от оси вращения. Тогда момент инерции твердого тела может быть определен по формуле , где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.

Момент инерции тела зависит от положения оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно пользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера

(14),

где — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, — момент инерции относительно новой оси, — расстояние между осями, — масса тела.

Момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т. е. является мерой инертности тела во вращательном движении.

Второй закон Ньютона для вращающегося тела можно записать в виде:

(15).

Так как , то можно найти и другую форму записи данного закона:

(16).

Это выражение получило название основного уравнения динамики вращательного движения.

Энергия – универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную и т. д.

Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы , составляющей постоянный угол с направлением перемещения , то работа этой силы определяется по формуле

. (17)

В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивается на большое число участков длиной , так чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного участка – постоянной. Тогда элементарная работа

(18)

а работа переменной силы на всем пути будет равна сумме элементарных работ:

(19)

При А > 0, при А

Источник