какое событие называют случайным

События

Урок 25. Алгебра 11 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «События»

Сегодня на уроке мы напомним, чем занимается раздел математики, называемый теорией вероятностей. Назовём важнейшие понятия теории вероятностей. Узнаем, какие события называют случайными, достоверными и невозможными. Выясним, какие события называют элементарными. Поговорим о равновозможных событиях.

Из предыдущих классов вы уже имеете представление о теории вероятностей, теперь мы немного расширим и углубим их.

Итак, в первую очередь отметим, что важнейшими понятиями теории вероятностей являются вероятностный эксперимент (испытание, наблюдение), событие (следствие испытания) и вероятность события.

Вообще, событиями или явлениями называют всё, что происходит или не происходит в реальной действительности. Практикой установлено, что в часто происходящих случайных событиях существуют определённые закономерности. Раздел математики, который занимается исследованием этих закономерностей, называется теорией вероятностей.

Задача теории вероятностей – установление и математическое исследование закономерностей массовых случайных явлений.

Далее поговорим о событиях. Сформулируем определение. Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти.

Например, при одном бросании игрального кубика испытание состоит в наблюдении выпавших очков. При проведении испытания возможны следующие события (исходы испытания): на верхней грани кубика может оказаться одно из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Каждое из этих событий является случайным, так как оно может произойти, а может и не произойти.

Следующий пример. Пусть в урне находятся шары белого, красного и чёрного цвета, а испытание заключается в извлечении шара из урны. В результате однократного извлечения шара возможный три события (исхода испытания): «извлечён белый шар», «извлечён красный шар», «извлечён чёрный шар». Каждое из этих трёх событий является случайным, так как оно может произойти, а может и не произойти.

И ещё один пример. При однократном подбрасывании монеты возможны два исхода: выпадение орла и выпадение решки. Каждое из этих событий является случайным, так как оно может произойти, а может и не произойти.

Случайные события обычно обозначаются большими латинскими буквами , , и т. д.

Событие называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие обязательно произойдёт.

Так, например, при одном бросании игрального кубика появление одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет достоверным событием, так как при бросании кубика оно обязательно произойдёт.

Если испытание заключается в извлечении одного шара из коробки, в которой лежат только красные шары, то извлечение красного шара будет достоверным событием.

Событие называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие заведомо невозможно.

Пусть, например, в коробке находятся только красные шары, а испытание заключается в извлечении шара из коробки. Тогда событие «извлечён черный шар» является невозможным.

При бросании обычного игрального кубика выпадение числа 7 является невозможным событием.

Предположим, что в результате некоторого испытания обязательно происходит одно из событий и никакие два события не могут произойти одновременно, причём каждое из них не разделяется на более простые. Такие события называют элементарными событиями (или элементарными исходными испытаниями).

Приведём примеры элементарных событий. В испытании с бросанием игрального кубика существует 6 элементарных исходов: выпадение числа 1, выпадение числа 2, выпадение числа 3, выпадение числа 4, выпадение числа 5, выпадение числа 6.

При бросании монеты существует 2 элементарных события: выпадение орла и выпадение решки.

При извлечении одного шара из коробки, в которой находятся один белый шар, один красный шар и один чёрный шар, существует 3 элементарных исхода: извлечение белого шара, извлечение красного шара и извлечение чёрного шара.

Отметим, что рассмотренные в каждом из примеров события несовместны, то есть появление одного из событий исключает появление другого, и единственно возможны, то есть обязательно произойдёт одно из событий. Также в каждом из рассмотренных трёх примеров элементарные события являются равновозможными, то есть у каждого из событий шансы появиться одинаковы.

Кроме элементарных событий, в теории вероятностей рассматриваются и более сложные события. Например, при бросании игрального кубика может быть рассмотрено событие А – появление нечётного числа. Это событие «распадается» на три элементарных события: появление числа 1, появление числа 3 и появление числа 5.

А теперь давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Каким событием (достоверным, невозможным или случайным) является каждое из событий:

1) при комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении сталь находится в жидком состоянии;

2) наугад вынутая из кошелька монета оказалась пятирублёвой;

3) наугад названное натуральное число больше нуля;

4) вынутый наугад цветок из букета ромашек оказался розой;

5) в результате броска игрального кубика появилось число ?

Задание второе. Перечислите все элементарные события, которые могут произойти в результате следующих испытаний:

1) на поверхность стола бросается игральный тетраэдр, грани которого пронумерованы числами , , , , и определяется число на той грани, которая лежит на поверхности стола;

2) из коробки, в которой лежат семь шаров семи различных цветов, извлекается один шар и называется его цвет.

Задание третье. Выяснить, являются ли события и несовместными:

1) – появление туза, – появление дамы при взятии одной карты из колоды карт;

2) – появление туза, – появление карты пиковой масти при взятии одной карты из колоды карт;

3) – выпадение четырёх очков, – выпадение чётного числа очков при одном бросании игральной кости;

4) – выпадение четырёх очков, – выпадение нечётного числа очков при одном подбрасывании игральной кости.

Источник

Случайное событие

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом .

Содержание

Определение

Математически случайное событие — подмножество пространства элементарных исходов случайного эксперимента; элемент алгебры или сигма-алгебры событий , которая в свою очередь задаётся аксиоматически и вместе с пространством элементарных событий и вероятностью образует вероятностное пространство .

Пример

Случайный эксперимент состоит в бросании игральной кости: пример случайного события — выпавшее число чётно; события «Выпала единица», «Выпала двойка» и т. д. — элементарные исходы эксперимента; совокупность всех событий «Выпала 1»..«Выпала 6» — полная группа событий.

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Случайное событие» в других словарях:

случайное событие — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] случайное событие Событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти либо не произойти, и для которого имеется определенная… … Справочник технического переводчика

Случайное событие — [ran­dom event, chance event] — событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти либо не произойти, и для которого имеется определенная вероятность его наступления. То же (в разных источниках) исход, случай, результат… … Экономико-математический словарь

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ — (в теории вероятностей) событие, которое может при осуществлении данных условий (т. е. при данном испытании) как произойти, так и не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления. Наличие у случайного события… … Большой Энциклопедический словарь

случайное событие — (в теории вероятностей), событие, которое может при осуществлении данных условий (то есть при данном испытании) как произойти, так и не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления. Наличие у случайного события… … Энциклопедический словарь

случайное событие — atsitiktinis įvykis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. accidental event; chance event; random event vok. zufälliges Ereignis, n rus. случайное событие, n pranc. événement aléatoire, m … Fizikos terminų žodynas

Случайное событие — в теории вероятностей, событие, которое может при данных условиях как произойти так и не произойти и для которого имеется определённая Вероятность р (0 ≤ p ≤ 1) его наступления при данных условиях. Наличие у С. с. А определённой… … Большая советская энциклопедия

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ — любая комбинация исходов нек рого опыта, имеющая определенную вероятность наступления. Пример 1. При бросании двух игральных костей каждый из 36 исходов опыта может быть представлен нарой (i, j), где i число очков на верхней грани цервой кости, а … Математическая энциклопедия

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ — (в теории вероятностей), событие, к рое может при осуществлении данных условий (т. е. при данном испытании) как произойти, так и не произойти и для к рого имеется определ. вероятность его наступления. Наличие у С. с. определ. вероятности р… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Случайное событие — (в теории вероятностей) событие, которое может, с определенной долей вероятности, в условиях испытания как произойти, так и не произойти; отдельный исход (результат) испытания. См. Случайная величина. Случайный процесс … Начала современного естествознания

событие — Факт, состоящий в том, что нечто произошло или в проблемной области, или в среде, или в информационной системе. [ГОСТ 34.320 96] событие 1. См. Случайное событие. 2. В сетевом планировании и управлении — промежуточный или окончательный… … Справочник технического переводчика

Источник

Случайные события. Вероятность (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

Глава I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ

1.1. Закономерность и случайность, случайная изменчивость в точных науках, в биологии и медицине

Теория вероятностей – область математики, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта может протекать каждый раз несколько по-иному.

Очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности, но в различных ситуациях мы учитываем их по-разному. Так, в ряде практических задач ими можно пренебречь и рассматривать вместо реального явления его упрощенную схему – «модель», предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом выделяются самые главные, решающие факторы, характеризующие явление. Именно такая схема изучения явлений чаще всего применяется в физике, технике, механике; именно так выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по заданным исходным условиям. А влияние случайных, второстепенных, факторов на результат опыта учитывается здесь случайными ошибками измерений (методику их расчета рассмотрим далее).

Однако описанная классическая схема так называемых точных наук плохо приспособлена для решения многих задач, в которых многочисленные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную (часто определяющую) роль. Здесь на первый план выступает случайная природа явления, которой уже нельзя пренебречь. Это явление необходимо изучать именно с точки зрения закономерностей, присущих ему как случайному явлению. В физике примерами таких явлений являются броуновское движение, радиоактивный распад, ряд квантово-механических процессов и др.

Предмет изучения биологов и медиков – живой организм, зарождение, развитие и существование которого определяется очень многими и разнообразными, часто случайными внешними и внутренними факторами. Именно поэтому явления и события живого мира во многом тоже случайны по своей природе.

Элементы неопределенности, сложности, многопричинности, присущие случайным явлениям, обусловливают необходимость создания специальных математических методов для изучения этих явлений. Разработка таких методов, установление специфических закономерностей, свойственных случайным явлениям, –главные задачи теории вероятностей. Характерно, что эти закономерности выполняются лишь при массовости случайных явлений. Причем индивидуальные особенности отдельных случаев как бы взаимно погашаются, а усредненный результат для массы случайных явлений оказывается уже не случайным, а вполне закономерным. В значительной мере данное обстоятельство явилось причиной широкого распространения вероятностных методов исследования в биологии и медицине.

Рассмотрим основные понятия теории вероятностей.

1.2. Вероятность случайного события

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, базируется на ряде основных понятий. Например, в геометрии – это понятия точки, прямой линии; в механике – понятия силы, массы, скорости и т. д. Основные понятия существуют и в теории вероятностей, одно из них – случайное событие.

Случайное событие – это всякое явление (факт), которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Случайные события обозначаются буквами А, В, С … и т. д. Приведем несколько примеров случайных событий:

А –выпадение орла (герба) при подбрасывании стандартной монеты;

В – рождение девочки в данной семье;

С – рождение ребенка с заранее заданной массой тела;

D – возникновение эпидемического заболевания в данном регионе в определенный период времени и т. д.

Основной количественной характеристикой случайного события является его вероятность. Пусть А – какое-то случайное событие. Вероятность случайного события А – это математическая величина, которая определяет возможность его появления. Она обозначается Р(А).

Рассмотрим два основных метода определения данной величины.

Классическое определение вероятности случайного события обычно базируется на результатах анализа умозрительных опытов (испытаний), суть которых определяется условием поставленной задачи. При этом вероятность случайного события Р(А)равна:

(1)

где m – число случаев, благоприятствующих появлению события А; n – общее число равновозможных случаев.

Пример 1. Лабораторная крыса помещена в лабиринт, в котором лишь один из четырех возможных путей ведет к поощрению в виде пищи. Определите вероятность выбора крысой такого пути.

Решение: по условию задачи из четырех равновозможных случаев (n=4) событию А (крыса находит пищу)
благоприятствует только один, т. е. m = 1 Тогда Р(А) = Р (крыса находит пищу) = = 0,25= 25%.

Пример 2. В урне 20 черных и 80 белых шаров. Из нее наугад вынимается один шар. Определите вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение: количество всех шаров в урне – это общее число равновозможных случаев n, т. е. n = 20 + 80 =100, из них событие А (извлечение черного шара) возможно лишь в 20, т. е. m = 20. Тогда Р(А) = Р(ч. ш.) = = 0,2 = 20%.

Перечислим свойства вероятности следующие из ее классического определения – формула (1):

1. Вероятность случайного события – величина безразмерная.

Источник

Вероятность случайного события

Разделы: Математика

«Теория вероятностей есть, в сущности, нечто иное, как здравый смысл, сведённый к исчислению»
Лаплас

Основные цели:

Ход урока

Организационный момент, сообщение темы и целей урока.

Математическая разминка.

Вычислите: а) ; б) ; в) ; г)

Ознакомление с новым материалом.

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем не выиграть; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать. Все эти события, можно назвать какими? (случайными). Можно привести и более обыденные примеры. Под потолком висит лампочка — вы не знаете, когда она перегорит. Будет ли завтра снег, никому наверняка неизвестно, даже бюро погоды ошибается. Учитель не знает, сколько ошибок сделает школьник в контрольной работе. (Учащиеся могут привести свои примеры случайных событий).

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятность», например: «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает» и т.д. Здесь интуитивно оценивается возможность того или иного события, исходя из здравого смысла, интуиции. Например, мы заранее знаем, что на детский сеанс пойдет большинство школьников, чем взрослых, или что при выполнении многих видов работ вредна торопливость, так как в спешке можно сделать ошибки.

Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить и оценить которые, основываясь только на интуиции, невозможно и трудно. Например, это можно сказать про события «герб появится 2 раза при пятикратном бросании монеты». Каждое событие обладает определенной степенью возможности наступления, то есть определенной оценкой. Такую оценку называют вероятностью события.

Определение: Мы назовём событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

В теории вероятности шанс того, что случайное событие произойдёт, выражают числом. Это число называют вероятностью случайного события. Если событие никогда не наступает(его шансы равны нулю), то вероятность этого события полагают равной 0.Такое событие называют невозможным. Если же событие наступает всегда, его вероятность полагают равной 1. Такое событие называют достоверным. Вероятность остальных- это значения между 0 и 1.

Определение: Вероятностью события А равна отношению числа m исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместимых исходов, т.е. .

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо:

Монетка в теории вероятности.

Математическая монета, используемая в теории вероятности имеет только две стороны, одна из которых называется «орёл», а другая « решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть «орлом» или «решкой».

Практическое задание: Проведём опыт с бросанием 15 монет по 50 раз

Найдем вероятность появления «орла» (учащиеся считают и сообщают свои результаты). Нетрудно заметить, что результат у многих из вас похож и примерно равен числу 0,5. Тот факт, что вероятность появления «орла» равна 0,5, не означает, что в любой серии экспериментов (это было и в ваших опытах) «орёл» появится ровно в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, то можно дать прогноз, что «орёл» выпадет примерно в половине случаев. То есть, если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпадения орла и решки одинаковы.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большой серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?

Игральные кости в теории вероятности

Игральный кубик или игральная кость тоже служит прекрасным средством для получения случайных событий. Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Все равновозможные исходы однократного бросания пары костей можно записать в виде

(здесь пара (а;в) означает что на первой кости выпало а очков, а на второй в)

Практическое задание: Проведите опыты по выбрасыванию пары костей 10 раз и на найдите частоту выпадения 7 очков

Первичное закрепление изученного.

Рассмотрим такие примеры:

1. Бросают игральный кубик, то есть небольшой куб, на гранях которого нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. При бросании игрального кубика на его верхней грани может вы­пасть одно очко, два очка, три очка и т. д. Каждый из этих исходов является случайным. Какова на ваш взгляд вероятность выпадения 4 очков? (Р(А) = m/n, Р(А) = 1/6).

2. Какова вероятность появления четных очков при одном бросании игрального кубика?

Решение: Пусть А – событие «выпадет четное число» n =6, так как число возможных исходов 6 (1; 2; 3; 4; 5; 6); n =3, так как только 3 четных очка (2; 4; 6;). Значит Р(А) = 3:6 = 0,5.

3. Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?

Решение: Всего в слове статистика 10 букв. Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5; буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10; буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5; буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5; буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10. Вероятнее всего вытащить карточку с буквой «т». Вероятность одинакова у букв «с», «а», «и»: P(с) = Р(а) = Р(и) = 2/10 = 1/5.

4. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны трое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?

Решение: Число всех возможных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать троих учащихся из 30, то есть n = C330. Число благоприятных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать троих учащихся из числа девочек, то есть m = C318. Тогда Р(А) = m/n = 204/1015, где Скn = n!/k!(n – k)!.

Проблемная задача.

Найти вероятность следующих событий и сделать выводы:

Обобщение и систематизация полученных знаний.

Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятных событий ко всем возможным событиям. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого исходов.

Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Этот раздел изучения великой математики подготовит нас к:

Выставление оценок.

Задание на дом:

Резервные задания.

На случай досрочного выполнения всем классом рассмотренных заданий и обеспечения занятости и развития, учащихся планируется использовать дополнительные задания:

Список литературы:

Источник