какое событие называется противоположным событию а
Противоположные события. Определение.Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу
Определение.Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать 
.
Например, попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если А – попадание, то – промах.
Пример. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – противоположные.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Следствие 1: Если события 
образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = 1.
Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, р =0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение. События «день дождливый» и «день ясный» – противоположные, поэтому искомая вероятность
Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле
.
Пример. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди к наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.
Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» – противоположные. Обозначим первое событие через А, второе – через . Очевидно, .
Найдем 
. Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно 
. Число нестандартных деталей равно n – m; из этого числа деталей можно 
способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна 
.
.
Сумма и произведение событий. Противоположные события
Классическое определение вероятности
Дадим ряд вспомогательных определений.
Определение 1. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Например, при бросании монеты появление «герба» исключает появление «надписи».
Определение 2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
Определение 3. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Например, появление «герба» и «надписи» при бросании монеты – равновозможные события.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара).
Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р(А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А) = 
. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти.
Определение. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Итак, вероятность события А определяется формулой:
Р(А)=
,
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае т = п, следовательно,
Р(А) = = 
= 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т =0, следовательно,
Р(А) = = 
= 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.е. 0
Решение. События «день дождливый» и «день ясный» – противоположные, поэтому искомая вероятность q=1– р=1– 0,7=0,3.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №33. Вероятность события. Сложение вероятностей.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события;
— понятие классической вероятности события;
— поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности;
— поиск вероятности суммы событий.
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Событие— факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.
Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.
Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.
Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.
Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.
Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.
Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события.
Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.
Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс. 180-188.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?
1) вынутый предмет окажется клубком
2) вынутый предмет окажется красным клубком
3) вынутый предмет окажется зеленым клубком
4) вынутый предмет не окажется клубком
Ответ: первое и третье.
1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).
Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.
2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей
Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.
Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω=
Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.
Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».
Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.
Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.
Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.
Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.
Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.
Элементарными событиями являются:
— Выпал один «орел» и одна «рещка».
3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.
Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.
Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.
Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.
Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.
Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.
Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.
1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.
К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.
Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.
Рассмотрим произвольный эксперимент.
Пусть n— число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число 
Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.
Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.
Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?
Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.
Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.
Таким образом, чаще выпадает сумма 10.
Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей.
Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.
Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.
Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.
В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.
События. Комбинации событий. Противоположные события
Просмотр содержимого документа
«События. Комбинации событий. Противоположные события»
События. Комбинации событий. Противоположные события
11 класс. Математика
Учитель Метелёва Ольга Ивановна
Из урны наудачу берут один шар.
Извлечение шара из урны есть испытание.
Появление шара определенного цвета – событие.
Непредсказуемые события называются случайными
• При бросании кубика выпадет шестерка.
• У меня есть лотерейный билет.
После опубликования результатов
розыгрыша лотереи интересующее меня
событие – выигрыш тысячи рублей, либо происходит, либо не происходит.
Событие, которое происходит всегда, называют достоверным.
Событие, которое не может произойти, называется невозможным .
Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ.
Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое то преимущество.
Среди данных событий указать пары, которые являются совместными, а какие – несовместимыми.
1 . Таня и Ваня сыграли партию в шахматы:
а) Таня выиграла; Ваня проиграл;
б) Таня проиграла; Ваня проиграл.
2. Брошен игральный кубик. На верхней грани оказалось:
а) число 6; число 5; б) число 6; четное число.
Пусть в опыте с бросанием игральной кости события:
А – выпало число очков, кратное 2;
В – выпало число очков, кратное 3.
Тогда событие А + В означает, что выпало хотя бы одно из чисел 2, 3, 4, 6; событие АВ – выпало число 6.
Пусть в опыте с бросанием игральной кости события:
А – выпало число очков, кратное 2;
В – выпало число очков, кратное 3. Тогда событие АВ означает, что выпало число 6.
А – это король, В – это карта масти пик.
Тогда: А + В – вынут король или карта масти пик;
АВ – из колоды вынут король пик.
Событие Ᾱ называют противоположным событию А, если событие Ᾱ происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А
Изучить конспект в тетради, выполнить проверочную работу
Платформа Решу ЕГЭ, учи.ру, Сборники ЕГЭ
1. Пусть А и В произвольные события. Записать следующие события:
2. Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
1) черепаха научится говорить;
2) вода в чайнике, стоящем на горячей плите закипит;
3) ваш день рождения – 14 марта;
4) день рождения вашего друга – 30 февраля;
5) вы выиграете, участвуя в лотерее;
6) вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
7) вы проиграете партию в шахматы;
8) на следующей неделе мы выйдем учиться в школу;
9) после четверга будет пятница;
10) после пятницы будет воскресенье;
11) в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце;
12) Вы хорошо сдадите ЕГЭ по математике.
События. Комбинации событий. Противоположные события
Противоположные события
Полная группа событий
Теорема сложения вероятностей
Действия с вероятностями
Суммойдвух событий А и В называют событие А+В, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий.
Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А +В) = Р(А) + Р(В).
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А1 + А2 +…+ Аn) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аn).
Пример 7. В корзине 30 шаров: 10 красных, 8 синих, 7 зелёных и 5 белых. Случайным образом вын6имают 1 шар. Найти вероятность, что он будет синим или зелёным.
Решение: Обозначим событие А – это появление синего шара, В – появление зелёного шара. Тогда Р(А) = 8/30, Р(В) = 7/30. События А и В несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность:
Р(А+В) = 8/30 + 7/30 = 15/30 = 1/2.
Пример 8. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность, что очередной пакет будет получен из города С.
Решение: События «пакет получен из города А», «пакет получен из В», «пакет получен из С» образуют полную группу. Поэтому 0,7 + 0,2 + Р(С) = 1. Отсюда искомая вероятность Р(С) = 1 – 0,7 – 0,2 = 0,1.
Противоположныминазывают два единственно возможных события, образующих полную группу. Противоположные события принято обозначать А и 
.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А)+Р() = 1.
Пример 9. Вероятность, что день будет дождливым равна 0,7. Найти вероятность, что дождя не будет.
Решение: События «дождь будет» (А) и «дождя не будет» () являются противоположными. Поэтому вероятность, что дождя не будет: Р() = 1 – 0,7 = 0,3.
Замечание. При решении задач на нахождение вероятности события А часто сначала выгодно вычислить вероятность , а затем найти вероятность А по формуле Р(А) = 1 – Р().
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет