какое слово меньше других подходит к остальным окружность эллипс радиус дуга парабола
Конспекты :»Кривые второго порядка»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
1. Окружность и ее уравнение
Выделяют следующие кривые второго порядка:
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
Пусть центром окружности является точка О ( a;b ), а расстояние до любой точки М ( x;y ) окружности равно R (рис.1). Составим уравнение окружности.
Расстояние от точки М до центра окружности можно найти, пользуясь формулой расстояния между точками: 
Возведём обе части уравнения в квадрат:
Решение: Подставив a =3, b =-2 и r = 5 в каноническое уравнение окружности 
, получим: 
.
Пример 2 Запишите уравнение окружности с центром в точке М(-3;1), которая проходит через точку К(-1;5)
Подставим значения в уравнение окружности
Составьте уравнение окружности
Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :
А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49 Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36
Эллипс и его уравнение
Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами ) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
Где a , b , c – связаннымежду собой равенством или .
Рассмотрим два основных случая расположения эллипса относительно осей координат. Эти случаи представлены в следующей таблице:
Так как по определению 2 a , то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, те 0
Если то эллипс сильно вытянут;
если же то эллипс имеет более круглую форму.
если то эллипс вырождается в окружность.
№ 1Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением
Находим фокусы эллипса: а 2 =16 b 2 =32
Находим длины осей:
Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением:
Гипербола и ее уравнение
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.
Эта постоянная величина положительна и меньше расстояния меду фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
Рассмотрим два основных случая расположения гиперболы относительно осей координат. Эти случаи представлены в следующей таблице:
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к длине действительной оси.
Так как по определению 2а
Прямые называются асимптотами ; их уравнения имеет вид
№ 1 Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот, если гипербола задана уравнением
Приведем уравнение к каноническому виду, т.е. разделим обе его части на 400
Самостоятельно: Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот, если гипербола задана уравнением .
Парабола и ее уравнение
Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки ( называемой фокусом ) и данной прямой ( называемой директрисой ).
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс (рис.61,62), имеет вид
Эти два случая представлены в следующей таблице:
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат (рис.63,64), имеет вид
Эти два случая представлены в следующей таблице:
№1 Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением
№ 2 Найти каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0;-3).
Фокус параболы отрицателен, т.к. его координаты (0;-3) следовательно, уравнение параболы имеет вид (ветви параболы направлены вниз ).
Составляем уравнение параболы:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-308824
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
В Ульяновской области продлили школьные каникулы
Время чтения: 1 минута
Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии
Время чтения: 0 минут
Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
В Москве разработают дизайн-код для школ и детсадов
Время чтения: 1 минута
Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, параборла
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
ПРЕЗЕНТАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕ-СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ФЕРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ НАПРАВЛЕНИЕ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ На тему: Кривые второго порядка Выполнила студентка 13.103 (р) группы Айрапетова Виктория Принял: Мамадалиев Б.М. Фергана 2014
План: Общее уравнение кривой второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола
Канонические сечения конуса Парабола Эллипс Окружность Гиперболы
Общее уравнение кривой второго порядка К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Они задаются уравнением второй степени относительно x и y: Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Окружность Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R. А R М(x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности
Эллипс Каноническое уравнение эллипса
Гипербола Каноническое уравнение гиперболы После тождественных преобразований уравнение примет вид:
Пример Каноническое уравнение гиперболы: 0
Парабола F M(x; y) d r
Парабола каноническое уравнение параболы фокус параболы Эксцентриситет параболы:
Преобразование общего уравнения к каноническому виду Составим из коэффициентов уравнения два определителя: Дискриминант старших членов уравнения Дискриминант уравнения Эллипс Точка Гипербола Пара пересекающихся прямых Парабола Пара параллельных прямых
Преобразование общего уравнения к каноническому виду Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy=0: Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:
Преобразование общего уравнения к каноническому виду Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами: Угол α удовлетворяет условию: В случае, если A = C, то
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1391870
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Школьники Свердловской области с 8 ноября перейдут на дистанционку
Время чтения: 0 минут
Онлайн-конференция о дизайн-мышлении в современной дошкольной педагогике
Время чтения: 2 минуты
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно
Время чтения: 2 минуты
Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии
Время чтения: 0 минут
В Иркутской области продлили школьные каникулы
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Кривые второго порядка
Описание разработки
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная (коническая) поверхность. Если же сечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность (пирибола), парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII.
Также, благодаря своим геометрическим свойствам, кривые второго порядка нашли широкое применение в современной технике, например, в создании спутниковых тарелок и прожекторов.
Классификация кривых второго порядка
Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.
Презентация содержит 22 слайда.
Содержимое разработки
Кривые второго порядка
Черникова Юлия Васильевна
Г. Каменск – Уральский
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №3
имени Героя Советского Союза
лётчика – космонавта П. И. Беляева
Кривая второго порядка —
геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
в котором по крайней мере один из коэффициентов
отличен от нуля. Иначе говоря
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII.
Также, благодаря своим геометрическим свойствам, кривые второго порядка нашли широкое применение в современной технике, например, в создании спутниковых тарелок и прожекторов.
Классификация кривых второго порядка
Эллипс и его фокусы
Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток) — геометрическое место точки M Евклидовой плоскости, для которой сумма расстояний от двух выделенных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами ) постоянна, то есть
| F 1 M | + | F 2 M | = 2a.
Соотношение между элементами эллипса
Для любого эллипса можно найти Декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):
при 0 
Окружность и её центр
— Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо
её точкой, называется радиусом окружности.
— Часть плоскости, ограниченная окружностью,
— Отрезок, соединяющий две точки окружности,
— Дугой называется часть окружности,
ограниченная двумя точками.
— Сегментом называется часть круга, ограниченная
дугой и стягивающей её хордой.
— Прямая, имеющая с окружностью ровно одну
общую точку, называется касательной к окружности,
а их общая точка называется точкой касания
прямой и окружности.
— Прямая, проходящая через две точки окружности, называтся секущей .
— Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.
Окружность с центральной точкой и радиусом r описывается следующим уравнением:
если M есть начало координат, то уравнение принимает вид:
В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:
Примером гиперболы служит график функции y = 1 / x.
Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.
Термин «гипербола» (греч. ύπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским, поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.
Уравнение в прямоугольных координатах
Для любой гиперболы можно найти декартову
систему координат такую, что гипербола
будет описываться уравнением:
Числа a и b называются
Каждая гипербола имеет пару асимптот: и
Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной.
её полуоси и асимптоты
Пара́бола — (греч. παραβολή — приложение) геометрическое место точек, равноудалённых от прямой (называемой директрисой параболы) и точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Парабола может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Для каждой параболы можно найти Декартову систему координат такую, что парабола представляет собой график y = ax².
Парабола является антиподерой прямой.
Отражённые лучи от пучка прямых, перпендикулярных к директрисе, собираются в фокусе параболы.
Данное свойство используется в конструкции телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио. ), в конструкции узконаправленных антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния. Параболические антенны (тарелки) собирают пучок параллельных лучей приходящих от удалённого передатчика на приёмнике.