какое самое большое число до 15 делится
Признаки делимости на 15: как найти, примеры и задачи с решением
Зачастую при решении задач нужно узнать, делится ли то или иное число на заданную цифру без остатка. Но каждый раз делить его очень долго. К тому же велика вероятность допустить ошибку в расчетах и уйти от правильного ответа. Для того чтобы избежать этой проблемы, были найдены признаки делимости на основные простые или однозначные числа: 2, 3, 9, 11. Но что делать, если нужно произвести деление на другую, большую цифру? Например, как рассчитать признак делимости на 15? Ответ на этот вопрос мы постараемся найти в данной статье.
Как сформулировать признак делимости на 15?
Вам будет интересно: Тангенциальное, или касательное ускорение
Если для простых чисел признаки делимости хорошо известны, то что делать с остальными?
Если число не является простым, то его можно разложить на множители. Например, 33 – это произведение 3 и 11, а 45 – 9 и 5. Существует свойство, согласно которому число делится на данное без остатка в случае, если его можно разделить и на тот, и на другой множитель. Это значит, что любое большое число можно представить в виде простых, и уже исходя из них, формулировать признак делимости.
Итак, нам нужно узнать, можно ли разделить данное число на 15. Для этого рассмотрим его подробнее. Число 15 можно представить, как произведение 3 и 5. Значит, чтобы число делилось на 15, оно должно быть кратно одновременно 3 и 5. Это и есть признак делимости на 15. В дальнейшем мы рассмотрим его подробнее и сформулируем точнее.
Как узнать, что число делится на 3?
Вспомним признак делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр (количество единиц, десятков, сотен и так далее) делится на 3.
Так, например, необходимо узнать, какие из этих чисел можно разделить на 3 без остатка: 76348, 24606, 1128904, 540813.
Конечно, можно просто разделить данные числа в столбец, но это займет немало времени. Поэтому мы воспользуемся признаком делимости на 3.
Таким же образом проанализируем остальные числа:
Ответ: 24 606 и 540 813.
Когда число делится на 5?
Однако признак делимости числа на 15 также включает в себя не только делимость на 3, но и кратность пяти.
Признак делимости на 5 таков: число делится на 5, если оно оканчивается на 5 или на 0.
Например, нужно найти числа кратные 5: 11 467, 909, 670, 840 435, 67 900
Числа 11 467 и 909 не делятся на 5.
Числа 670, 840 435 и 67 900 оканчиваются на 0 или 5, а значит, кратны 5.
Примеры с решением
Итак, теперь мы можем полноценно сформулировать признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда сумма его цифр кратна 3, а последней цифрой является или 5, или 0. Важно отметить, что оба этих условия должны выполняться одновременно. Иначе мы получим число кратное не 15, а только 3 или 5.
Признак делимости чисел на 15 очень часто нужен для решения контрольных и экзаменационных заданий. Например, зачастую в базовом уровне ЕГЭ по математике встречаются задачи, основанные на понимании именно этой темы. Рассмотрим некоторые их решения на практике.
Среди чисел найдите те, которые делятся на 15.
9 085 475; 78 545; 531; 12 000; 90 952
Итак, для начала отбросим те числа, которые очевидно не удовлетворяют нашим критериям. Это 531 и 90 952. Несмотря на то, что сумма 5+3+1 = 9 делится на 3, число оканчивается на единицу, а значит, не подходит. То же самое касается 90 952, которое оканчивается на 2.
9 085 475, 78 545 и 12 000 удовлетворяют первому критерию, теперь проверим их на соответствие второму.
9+0+8+5+4+7+5 = 38, 38 не делится на 3. Значит, это число является лишним в нашем ряду.
7+8+5+4+5 = 29. 29 не кратно 3, не удовлетворяет условиям.
А вот 1+2 = 3, 3 делится на 3 нацело, это значит, что именно это число и является ответом.
Трехзначное число С больше 700 и делится на 15. Запишите наименьшее такое число.
Итак, по признаку делимости на 15 данное число должно заканчиваться на 5 или 0. Так как на нужно самое маленькое из возможных, возьмем 0 – это будет последней цифрой.
Так как число больше 700, то первой может быть цифра 7 или больше. Помня, что нам следует найти наименьшее значение, выбираем 7.
Чтобы число делилось на 15, должно выполняться условие 7+х+0 = число, кратное 3, где х – количество десятков.
Число 720 – искомое.
Вычеркните из числа 3426578 любые три цифры так, чтобы получившееся число было кратно 15.
Во-первых, искомое число должно оканчиваться на цифру 5 или 0. Значит, последние две цифры – 7 и 8 нужно вычеркнуть сразу.
3+4+2+6+5 = 20, 20 не делится на 3. Ближайшее кратное 3 число – это 18. Для того, чтобы получить его, нужно отнять 2. Вычеркиваем цифру 2.
Получается 3465. Проверим свой ответ, 3465 : 15 = 231.
В данной статье были рассмотрены основные признаки делимости на 15 с примерами. Этот материал должен помочь ученикам с решением заданий такого типа и подобных им, а также понять алгоритм работы с ними.
Какое самое большое число до 15 делится
Первое условие означает, что делимое : делитель = 4. Значит, частное = 4. Тогда делитель = частное · 4 = 16, а делимое = делитель · 4 = 64.
Примечание. Обратите внимание, что решение не зависит от того, о каких числах идёт речь — целых или дробных.
К тому моменту, когда второй гонец выходил из Москвы, первый находился от него на расстоянии в 30 вёрст, которое он прошел за предыдущий день. Расстояние между гонцами сокращается со скоростью 35 − 30 = 5 вёрст в день. Значит, второй гонец догонит первого через 30 : 5 = 6 дней после того, как выйдет их Москвы.
Примечание. В условии задачи ничего не говорится о расстоянии между Москвой и Новгородом. Предполагается, что Москва и Новогород достаточно далеко друг от друга, чтобы второй гонец догнал первого ещё в пути, а не в Новгороде. Это вполне согласуется с реальной жизнью. Действительно, от Москвы до Новгорода около 600 км (по прямой; путь по сколько-нибудь приемлемым для пешехода дорогам еще длиннее). За шесть дней пути второй гонец пройдет 35·6 = 210 вёрст. Одна верста соответствует 1066,8 м. Так что к моменту встречи гонцы пройдут чуть больше трети пути от Москвы до Новгорода.
а) Для этого кузнечику нужно два раза прыгнуть на 6 см в одну сторону и один раз — на 8 см в другую.
б) Так как 6 и 8 — чётные числа, кузнечик после любого прыжка будет находиться на расстоянии в чётное число сантиметров от исходной точки. А 7 — число нечётное.
Рассмотрим четыре возможных случая.
1. Пусть и встречный, и проводник — рыцари. Тогда встречный назовётся рыцарем, а проводник дословно передаст это путешественнику. Эта ситуация удовлетворяет условию задачи.
2. Пусть встречный — лжец, а проводник — рыцарь. Тогда встречный назовётся рыцарем, а проводник дословно передаст это путешественнику. Эта ситуация также удовлетворяет условию задачи.
3. Пусть встречный — рыцарь, а проводник — лжец. Тогда встречный назовётся рыцарем, а проводник скажет путешественнику, что тот назвался лжецом. Эта ситуация не удовлетворяет условию задачи.
4. Пусть и встречный, и проводник — лжецы. Тогда встречный назовётся рыцарем, а проводник скажет путешественнику, что тот назвался лжецом. Эта ситуация также не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, проводник мог быть только рыцарем. Из какого племени был встречный, определить невозможно.
а) На 3 делится каждое третье натуральное число. Чтобы найти количество таких чисел от 1 до 1000, надо 1000 поделить с остатком на 3 и взять неполное частное. 1000 = 3·333 + 1. Аналогично находим количество натуральных чисел от 1 до 1000, делящихся на 5 (соотвественно, на 15). 1000 = 5·200 = 66·15 + 10.
б) Сначала выясним, сколько натуральных чисел от 1 до 1000 делятся хотя бы на одно из чисел 3 и 5. Из интересующих нас натуральных чисел 333 делятся на 3 и 200 делятся на 5. Если просто сложить 333 + 200 = 533, мы дважды посчитаем числа, которые делятся одновременно на 3 и на 5 (другими словами, которые делятся на 15). Поэтому среди натуральных чисел только 333 + 200 − 66 = 467 делятся хотя бы на одно из чисел 3 и 5. Остальные 1000 − 467 = 533 числа не делятся ни на 3, ни на 5.
Сначала убедимся, что за столом могло быть 8 человек. Во-первых, можно дать семерым из них по 5 конфет, а восьмому — одну. Тогда все 7·5+1 = 36 конфет будут розданы, и у каждого будет не больше пяти конфет, что и обещал сделать Дима. Во-вторых, можно дать первому человеку одну конфету, второму — две, третьему — три и так далее до восьмого. Всего мы раздадим 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 конфет. При этом каждому хоть что-то достанется и число конфет у всех будет разным, что и обещал Вова.
Если бы за столом было меньше восьми человек, то Диме не удалось бы выполнить обещанное. В самом деле, если каждому из не более чем семи человек дать не более пяти конфет, то всего будет роздано не более 7·5 = 35 конфет.
Если бы за столом было больше восьми человек, то обещанное не удалось бы выполнить уже Вове. Сначала будем стараться выполнить обещание Вовы, давая каждому как можно меньше конфет. Первому человеку дадим одну конфету (меньше ему дать нельзя, ведь каждому должно что-то достаться). Тогда второму человеку нужно дать больше одной конфеты, ведь у всех должно быть разное число конфет. Поэтому дадим второму человеку две конфеты. Рассуждая аналогично, дадим третьему три конфеты, четвёртому — четыре и так далее. Восьмому человеку достанется 8 конфет; теперь все 36 конфет розданы, и остальным ничего не достанется. Если же раздавать конфеты более щедро, то больше чем на 8 человек их тем более не хватит (если стараться выполнить обещание Вовы).
Никто из тех, кто должен был написать слово «крот», не мог этого сделать верно: никто из детей в группе не умеет одновременно писать и букву «р», и букву «к». Поэтому эти дети вместо слова «крот» в общей сложности написали 50 − 10 − 18 = 22 неверных слова «кот» и «рот».
Те, кто написал не «кот» и не «рот», могли написать только слово «от», которое явно неправильное. Таких было 50 − 15 − 15 = 20 человек.
Наконец, осталось 50 − 22 − 20 = 8 человек, которые написали слово «кот» или слово «рот» правильно.