какое равенство отождествляется с позиционной системой счисления

Для позиционной системы счисления справедливо равенство

где A_(q)– произвольное число, записанное в системе счисления с основаниемq;a_i– коэффициенты ряда (цифры системы счисления);n,m– количество целых и дробных разрядов.

На практике используют сокращенную запись чисел:

(2)

а) в двоичной системе (q=2)

б) в троичной системе (q=3)

в) в шестнадцатиричной системе (q=16)

Методы перевода чисел

Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

Значит, в общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q₁в систему счисления с основаниемq₂можно представить как задачу определения коэффициентовb_jнового ряда, изображающего число в системе с основаниемq₂. В такой постановке задачу перевода можно решить подбором коэффициентовb_j.

Перевод чисел делением на основание новой системы

Перевод целых чисел осуществляется делением на основание q₂новой системы счисления, правильных дробей – умножением на основаниеq₂. Действия деления и умножения выполняются по правиламq₁-арифметики. Перевод неправильных дробей осуществляется раздельно по указанным правилам, результат записывается в виде новой дроби в системе с основаниемq₂.

Пример 1. Перевести десятичное число A= 61₁₀в систему счисления сq= 2.

Табличный метод перевода

В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.

Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных); задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (1) для исходной системы счисления надо поставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q₂-арифметики. полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.

Пример 2.Перевести десятичное числоA= 113 в двоичную систему счисления, используя таблицу эквивалентов цифр и степеней основания

Источник

Позиционные системы счисления. Представление целых чисел

Для записи целых чисел можно использовать разные способы. Такие способы принято называть системами счисления. Например, целое число можно записывать последовательностью «палочек». Число 5 выглядит при таком способе как |||||. Понятно, что такой способ хорош только для записи небольших чисел. Для записи целых чисел, особенно дат, иногда применяют римскую систему счисления. В этой системе 2013 год записывается следующим образом MMXIII.

В любой системе счисления основание системы счисления – число – всегда записывается как число 10. Поясним причину этого на примере десятичной системы. Число 9 можно записать, используя цифру 9, но, если прибавить к 9 единицу, то на следующее число цифры уже не будет. Поэтому в позиционных системах в таких случаях число записывается с помощью двух цифр как число 10 – в младшем разряде пишется 0, а в старшем 1. В двоичной системе счисления числа 0 и 1 можно записать с помощью цифр, но, если прибавить к 1 единицу, то для двойки уже цифры нет, поэтому в двоичной системе число 2 записывается с помощью двух цифр, как число 10.

Вопрос: Чему равно число, записанное в системе счисления с основанием p как ?

Ответ: Эта запись означает число p в привычной для нас десятичной системе счисления.

Вопрос: В каких системах счисления справедливы утверждения?

Ответы: ( В системах с основаниями соответственно: 4, 3, 2, в любых системах с основанием 4″ style=»display: inline; «>)

Рассмотрим привычную для нас запись числа в десятичной системе счисления. Не задумываясь, мы ответим, что число состоит из 7-и сотен, 5-и десятков и 4-х единиц.

В общем случае запись , где – цифры системы счисления означает:

где – основание системы счисления. Учитывая, что в любой системе счисления , то справедлива и такая запись :

Вот точное определение :

Запись числа в позиционной системе счисления означает разложение числа по степеням основания. В роли коэффициентов выступают цифры системы счисления.

Понимание этого факта и соответствующего ему представления числа соотношением (*) достаточно для решения многих задач экзамена ЕГЭ.

Задача 1: Сколько единиц в двоичной записи числа 130?

Решение. Число . Остальные коэффициенты равны 0. Полное решение задачи. Поскольку максимальная степень двойки равна 7, то число 130 в двоичной системе будет содержать 8 цифр – 2 единицы и 6 нулей

Задача 1 решается мгновенно, если помнить степени числа 2

Задача 2: Сколько нулей в троичной записи числа 130?

Решение: Используя разложение по степеням основания 3, число 130 можно представить:

Задача 2 может потребовать некоторых вычислений из-за того, что со степенями тройки сложнее работать, чем со степенями двойки, которые обычно помнит наизусть каждый ученик, изучающий информатику.

Задача 3: Чему равно число, записанное как в пятеричной системе счисления?

Ответ:

Решение: Это обратная задача по отношению к задаче 1. Здесь зная цифры и основание системы счисления нужно восстановить число, используя соотношение (*).

Задача 4: Число записать в двоичной системе счисления?

Ответ:

Решение: Задача записи числа в системе счисления с основанием , если задана его запись в системе с основанием , решается в два этапа. На первом этапе число переводится в десятичную систему, на втором этапе – в систему с основанием .

Источник

Какое равенство отождествляется с позиционной системой счисления

Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

История[править | править код]

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. К числу таких систем относится десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.

Определения[править | править код]

, где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

Каждый базисный элемент в таком представлении называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (позиции) (значением показателя степени).

Запись чисел[править | править код]

В ненулевых числах начальные нули обычно опускаются.

Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и, затем, буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

— это число 123 в десятичной системе счисления; — то же число в восьмеричной системе счисления; — то же число, но в двоичной системе счисления; — то же число, но в десятичной системе счисления с двоичным кодированием десятичных цифр (BCD); — то же число, но в несимметричной троичной системе счисления; — то же число, но в симметричной троичной системе счисления, знаки «i», «7», «2» и «−» обозначают «−1», знаки «1» и «+» обозначают «+1».

В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:

В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел (обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C).

В русских счётах для записи чисел в десятичной показательной позиционной системе счисления применяется унарнодесятичная система записи (представления) десятичных цифр с одной избыточной унарнодесятичной цифрой «1111111111» = 10_10 на каждый разряд.

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

Таким образом, естественный порядок на числах соответствует лексикографическому порядку на их записях в позиционной системе счисления при условии, что эти записи дополнены ведущими нулями до одинаковой длины.

Экономичность[править | править код]

Экономичность системы счисления — немаловажное обстоятельство с точки зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта система уже была использована[4] в некоторых реально существующих вычислительных устройствах.[1]С. В. Фомин

Переход к другому основанию[править | править код]

Перевод в десятичную систему счисления[править | править код]

то для перевода в десятичную систему вычисляем следующую сумму:[5]

или в виде схемы Горнера:

Аналогичные действия имеют место также для дробной части:

Перевод из десятичной системы счисления[править | править код]

переведём в двоичную систему:

44 делим на 2. частное 22, остаток 0 22 делим на 2. частное 11, остаток 0 11 делим на 2. частное 5, остаток 1 5 делим на 2. частное 2, остаток 1 2 делим на 2. частное 1, остаток 0 1 делим на 2. частное 0, остаток 1

Частное равно нулю — деление закончено. Теперь, записав все остатки снизу вверх, получим число

Для дробной части алгоритм выглядит так:

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1. 0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0. 0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы[править | править код]

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм.[8]

Целая часть[править | править код]

Для восьмеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад). Преобразуем триады по таблице триад:

000 — 0; 100 — 4; 001 — 1; 101 — 5; 010 — 2; 110 — 6; 011 — 3; 111 — 7.

Для шестнадцатеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (24=16), в данном случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:

0000 — 0; 0100 — 4; 1000 — 8; 1100 — C; 0001 — 1; 0101 — 5; 1001 — 9; 1101 — D; 0010 — 2; 0110 — 6; 1010 — A; 1110 — E; 0011 — 3; 0111 — 7; 1011 — B; 1111 — F.

преобразуем 1011002 восьмеричная — 101 100 → 548 шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C16

Дробная часть[править | править код]

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно так же, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,0112 будет выглядеть как 14,38 или C,616.

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную[8][править | править код]

Для этого типа операций также существует упрощённый алгоритм, обратный вышенаписанному алгоритму.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты:

0 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты:

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

преобразуем 548 → 101 1002 2C16 → 0010 11002

Вариации и обобщения[править | править код]

Запись рациональных чисел[править | править код]

где — цифры целой части (до разделителя), — цифры дробной части (после разделителя), — число разрядов целой части.

Симметричные системы счисления[править | править код]

Отрицательные основания[править | править код]

Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые нега-позиционными:

Нецелочисленные основания[править | править код]

Иногда также рассматривают позиционные системы счисления с нецелочисленными основаниями: рациональными, иррациональными, трансцендентными.

Примерами таких систем счисления являются:

Комплексные основания[править | править код]

Основаниями позиционных систем счисления могут быть также комплексные[11][12] числа. При этом цифры в них принимают значения из некоторого конечного множества, удовлетворяющего условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции непосредственно с представлениями чисел в этих системах счисления.

В частности, среди позиционных систем счисления с комплексными основаниями можно выделить двоичные, в которых используются лишь две цифры 0 и 1.

Примерами систем счисления с комплексными основаниями являются (далее j — мнимая единица):

Двоичные комплексные системы счисления

Ниже перечислены основания двоичных позиционных систем счисления и представления чисел 2, −2 и −1 в них:

Непоказательные системы счисления[править | править код]

Показательные системы счисления являются частным случаем позиционных систем счисления с показательной зависимостью. Вместо показательной зависимости могут быть другие зависимости. Например, гипероператорная позиционная система счисления

позволяет записывать бо́льшие диапазоны чисел тем же числом знаков.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Разработка урока по теме «Позиционные системы счисления»

Тема: Позиционные системы счисления.

Цели: Сформировать у учащихся понятие «позиционные системы счисления»

Учащиеся должны знать:

— какая система счисления называется «позиционной» и почему;

— приводить примеры позиционных С.С.

— развернутую форму записи числа в позиционной СС.

Учащиеся должны уметь:

-приводить примеры чисел различных позиционных систем счисления, определять основание СС

— записывать числа в развернутой форме

Постановка целей урока.

На прошлом занятии мы познакомились с непозиционной СС. Каковы же были предпосылки для создание позиционных СС?

Проверка домашнего задания

Позиционные системы счисления.

Позиционной С. С. — называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент (значение) каждой цифры зависит от её положения (места, позиции) в коде числа.

Привычной нам системе для записи чисел используются 10 различных знаков (цифры 0-9). Поэтому ее называют десятичной системой счисления. Мы настолько привыкли к нашей десятеричной системе, что даже не задумываемся, насколько гениальной была идея, положенная в ее основу: значение цифры зависит от ее позиции (места) в числе.

Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

444 = 4.100 + 4.10 + 4.1.

Достоинства любой позиционной С.С:

1) простота выполнения арифметических действий,

2) нет ограничений в количестве цифр, необходимые для записи числа.

Позиционных систем много, т.к. за основание можно взять любое число не меньше 2.

У каждой С.С. имеется основание. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Основание позиционной системы счисления — это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Данные о некоторых системах счисления запишем в таблицу

Задание: Правильно ли указаны основания данных чисел:

1234 — 4-основание (да)

56710 — 10-основание (да)

Развернутая форма записи числа.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено следующим образом:

Аq=аn-1 qn-1 + an-2 qn-2 + a n-3 qn-3 … a0 q0 + a-1 q-1 + …a-m q-m

q — основание системы счисления;

n — число разрядов целой части числа;

m — число разрядов дробной части числа;

ai — цифры данной системы.

Пример 1: записать в развернутом виде А10= 255, 43

А10= 2 * 102 + 5 * 101 + 5 * 10 0+4*10-1+3*10-2

Пример 2: записать в развернутом виде А8= 255, 43

А8= 2 * 82 + 5 * 81 + 5 * 80+4*8-1+3*8-2

Пример 3: записать в развернутом виде А16= 2А, F3

А16= 2 * 161 + 10 * 160+15*16-1+3*16-2

Свернутой формой записи числа называется запись в виде:

Аq=аn-1 an-2 a n-3 … a0 a-1a-m

Именно такой формой записи мы пользуемся в повседневной жизни.

Задание 1: представьте следующие числа в развернутом виде:

А10= 5*103 + 3*102 + 1*101 + 9*100 + 1*10-1 + 2*10-2

2. А5=23415,6 (не правильно)

А5=2430,21 (А5=2*53 + 4*52 + 3*51 + 0*50 + 2*5-1 + 1*5-2)

3. А2=101,11 (А2=1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2)

Источник

Информатика. 10 класс

Конспект урока

Информатика, 10 класс. Урок № 8.

Тема — Представление чисел в позиционных системах счисления

Урок посвящен теме «Представление чисел в позиционных системах счисления и переводу чисел из одной позиционной системы счисления в другую». В ходе урока школьники научатся различать позиционные и непозиционные системы счисления, узнают о развернутой форме числа. А также научатся переводить числа из одной системы счисления в другую.

Ключевые слова: Системы счисления, позиционная система счисления, непозиционная система счисления, базис системы счисления, схема Горнера, триада, тетрада, «компьютерные» системы счисления, «быстрый» перевод.

Учебник: Босова Л. Л, Босова А. Ю. Информатика 10 класс базовый уровень — БИНОМ Лаборатория знаний 2016 г.

Федерального центра информационных образовательных ресурсов:

Мы постоянно оперируем числами, ежедневно, не слишком задумываясь о том, что они из себя изначально представляют.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально число предметов отображали равным количеством каких-либо значков:

точки, черточки. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), т.к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека

Унарная система — не самый удобный способ записи чисел: при написании больших чисел получается очень длинная запись. С течением времени возникли иные, более удобные и экономичные системы: Вавилонская, Египетская, Славянская, Римская и другие. Рассмотренные записи чисел называются системами счисления.

Система счисления — это способ записи чисел.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемые цифрами.

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения этой цифры в числе.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система Древнего Рима.

Римская система счисления. В качестве цифр использовались большие латинские буквы. А остальные числа записываются комбинациями этих знаков. Число формировалось из цифр, а также с помощью групп: Группа 1-го вида — несколько одинаковых подряд идущих цифр: XX = 20 (не более трёх одинаковых цифр); Группа 2-го вида — разность значений двух цифр, если слева стоит меньшая: СМ = 1000 – 100 = 900 (может стоять только одна цифра). Величина числа суммируется из значений цифр и групп 1-го или 2-го вида.

Позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа. Основное достоинство любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов. Пример этой системы — привычная нам десятичная система счисления. Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q>1, называемым основанием системы счисления. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр. В q-ичной системе счисления q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых называется развёрнутой формой записи числа в системе счисления с основанием q. Свёрнутой формой представления числа называется его запись в виде:

Свернутой формой записи числа мы пользуемся в повседневной жизни. Развёрнутая форма записи чисел также всем хорошо известна. Ещё в начальной школе дети учат записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых. Если представить разряды в виде степеней основания, то получим:

Иногда бывает полезно преобразовывать развернутую форму записи числа так, чтобы избежать возведения основания в степень. Такую формулу представления числа называют схемой Горнера.

В наши дни большой практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Двоичная система счисления — самая важная для компьютеров. В двоичной системе счисления основание — 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Перевод числа, записанного в системе счисления с основанием q, в десятичную систему счисления основан на использовании развёрнутой формы записи чисел.

Алгоритм перевода в 10-ю систему счисления:

Перевод в десятичную систему счисления целых двоичных чисел будет значительно проще, если вспомнить и использовать уже знакомую вам таблицу степеней двойки.

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера.

Рассмотрим несколько примеров решения задач.

Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определим основание этой системы счисления. Решение: поскольку в записи числа 212_q есть цифра 2, то можно сказать, что q>2. Представим число 212_q в развёрнутой форме и приравняем к 57.

Решим уравнение: это квадратное уравнение, его корни Х₁ = –5,5; Х₂ = 5. Так как основание системы счисления должно быть натуральным числом, то q = 5

Перевод целого десятичного числа в систему счисления с оcнованием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления можно воспользоваться таблицей степеней двойки. Рассмотрим пример: переведем число 529 в двоичную систему счисления.

Представим число в виде суммы степеней двойки, для этого:

— возьмем максимально возможное значение, не превышающее исходное число (512 9 + 2 4 + 2 0 = 1000010001₂

Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием q

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q следует:

При необходимости перевод целого числа А из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q можно свести к хорошо знакомым действиям в десятичной системе счисления: перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное десятичное число представить в требуемой системе счисления.

Быстрый перевод чисел в компьютерных системах счисления

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2 n ) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод. Для этого:

Рассмотрим перевод целых чисел между двоичной и 16-ной системами счисления

Рассмотрим перевод дробной части между двоичной и восьмеричной системами

двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой; если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой.

Итак, сегодня вы узнали, что существуют разные системы счисления: непозиционные и позиционные. Позиционные системы счисления имеют алфавит и основание и его можно представить в развернутом виде. Научились переводить из 10 с.с в любую другую систему счисления. Научились переводить из 2, 8, 16 сс в 10 с.с. Узнали, как быстро можно переводить числа между системами.

Источник