какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством

Основное тригонометрическое тождество

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Основное тригонометрическое тождество

Основным тригонометрическим тождеством в русскоязычных учебниках математики называют соотношение , выполняющееся для произвольного значения .

Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.

В учебниках математики, написанных на языках, отличных от русского, соответствующее соотношение называют «тригонометрическим тождеством Пифагора» (см. Pythagorean trigonometric identity в английской Википедии) или просто теоремой Пифагора.

См. также

Смотреть что такое «Основное тригонометрическое тождество» в других словарях:

Основное — название нескольких населённых пунктов: Основное хутор в Железногорском районе Курской области. Основное деревня в Черемисиновском районе Курской области. См. также Основное богословие Основное кинетическое уравнение Основное общество Основное… … Википедия

Теорема косинусов — Теорема косинусов теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора: Для плоского тре … Википедия

Варахамихира — वराहमिहिर Дата рождения: 505 год(0505) Дата смерти: 587 год(0587) Научная сфера … Википедия

ОТТ — оперативно тактические требования Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ОТТ общий таможенный тариф ОТТ оперативно тактический тренажёр Словарь: Словарь сокращений и аббревиатур армии … Словарь сокращений и аббревиатур

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ — раздел физики, охватывающий знания о статическом электричестве, электрических токах и магнитных явлениях. ЭЛЕКТРОСТАТИКА В электростатике рассматриваются явления, связанные с покоящимися электрическими зарядами. Наличие сил, действующих между… … Энциклопедия Кольера

Эллиптические координаты — Эллиптическая система координат Эллиптические координаты двумерная ортогональная система координат … Википедия

Источник

Основное тригонометрическое тождество

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

. Для любого угла α верно утверждение:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны (для получения тангенса) (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол то в градусной мере это записывается так:

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, принадлежит промежутку Переведем углы из радианной меры в градусную — получим:

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем Известно, Переведем углы из радианной меры в градусную — получим

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Знак определяем по углу. Имеем: Переведем углы из градусной меры в радианную: это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно,

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол В градусной мере это записывается так: I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому

Источник

Методическая разработка занятия по математике (алгебра и начала математического анализа, геометрия) по теме: «Основные тригонометрические тождества и соотношения» для студентов 1 курса по специальности 15.02.08 Технология машиностроения

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

занятия по математике (алгебра и начала математического анализа, геометрия)

по теме: « Основные тригонометрические тождества и соотношения »

для студентов 1 курса

по специальности 15.02.08 Технология машиностроения

Преподаватель: Рудас И. Г.

Рассмотрено и одобрено

Основные тригонометрические тождества и соотношения

— дать понятия основных тригонометрических формул и соотношений и их применения

— формировать у студентов умение логически мыслить, проводить

сравнительный анализ, классифицировать полученную информацию

и синтезировать на ее основе;

— воспитывать у студентов культуру поведения на занятиях,

умение грамотно отвечать на вопросы, продуктивно работать в

процессе закрепления материала.

— определение тригонометрических функций;

— основные тригонометрические тождества;

—преобразовывать тригонометрические выражения, используя основные тождества

дидактический материал: таблицы тригонометрических формул и соотношений.

Ход учебного занятия:

В начале занятия проводится прием группы, проверяются и отмечаются в журнале присутствующие и отсутствующие студенты.

После этого проводится фронтальный опрос группы по пройденной теме с целью образовать логическую связь нового материала с предыдущим.

Студенты должны ответить на следующие вопросы:

1. Что называется единичной окружностью?

2. Что такое градус?

3. Что такое радиан?

4. Как связаны градусы и радианы?

5. Что называется синусом?

6. Что называется косинусом?

7. Что называется тангенсом?

8. Что называется котангенсом?

Проверяется выполнение домашней работы..

3. Изложение нового материала.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Связь между синусом и косинусом одного угла

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Равенство часто называют теоремой Пифагора в тригонометрии. Поясним этот момент.

4. Закрепление пройденного материала.

В заключительной части занятия студенты под руководством преподавателя решают у доски предложенные задания : /1/. Стр.131, №№ 72(2), 73 (2.;4), 76(1)

5. Проверка усвоения нового материала.

Проводится фронтальный опрос группы по формулам и тригонометрическим соотношениям. Выясняются недопонятые студентами вопросы по новому материалу.

В заключении преподаватель называет студентам тему следующего занятия: «Формулы приведения», указывает его связь с данным материалом, подчеркнув при этом о необходимости хорошей теоретической подготовке к нему.

После этого задается задание на дом.

/1/. Стр.128-133, №№72 (3), 73(3, 5), 74( 4).77 (1,2)

1. Н. В. Богомолов Практические занятия по математике – М.: Высшая школа,2009

2. В.С. Щипачев Основы высшей математики – М. Высшая школа, 2011

3. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах Часть1 – М.: Высшая школа, 2008

4.И. Д. Пехлецкий Математика – М.: Мастерство, 2001

Источник

Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

Самое основное тригонометрическое равенство это

sin²α+cos²α=1,

описывающее соотношения углов в прямоугольном треугольнике и представляющее собой интерпретацию теоремы Пифагора.

Тождество — философская категория выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов

Смысл жизни, если он реальный смысл, быть может только лишь един.

Как однозначное значение у числ. Как наш всеобщий Господин,

кто это жизнь создал. Он у истоков жизненных начал стоял и Он предусмотрел ее финал.

И этот смысл, предусмотрительно заложенный во всем, толкает эту жизнь. Весенний гром,

Беда землян, что, оторвавшись от истока, они себя и ощущают неприкаянно и одиноко.

Но человеку глупо быть эгоистичным, настаивая на примате узко-личном

лист зелен, лишь когда растет на ветке.

Примеры равенств, которые не являются тождествами:

|a|=-a*b, 1=1-a, 2x-2=1 sinx-cosx=tgx

Примеры равенств, которые являются тождествами:

a*0=b*0 (хотя выражения состоят и из различных букв, но принимают одинаковое значение 0)

Источник