какое поле называется потенциальным

02.01.202414.09.2022 admin 0 Comments

Потенциальность электростатического поля

Потенциальное (консервативное) поле − это поле, в котором работа при перемещении зависит только лишь от конечной и начальной точки пути и не зависит от траектории движения тела.

Что такое потенциальное поле

Есть и другое абсолютно равнозначное определение потенциальности поля (консервативной силы).

Известно, что сила гравитации F G

На основе принципа суперпозиции из потенциальности поля точечного заряда следует потенциальность произвольного электростатического поля.

Легко докажем это математически. Циркуляция вектора напряженности поля точечного заряда E i → по любому замкнутому контуру равняется 0 :

Если поле создает N точечных зарядов, тогда по принципу суперпозиции результирующее поле находим как:

Что такое ротор. Практические задачи

Ротор − это вектор, проекция которого на направление единичного вектора n → определяется таким образом:

Обращаем внимание, что в формуле большой буквой S обозначена площадь, а маленькой буквой s − линейное перемещение.

Ротор описывает интенсивность «завихрения» вектора. На практике при вычислении ротора применяют следующие формулы:

Независимость работы от пути перемещения заряда в электростатическом поле выражается формулой:

где L 1 и L 2 − это различные пути между точками А и В . При замене местами пределов интегрирования получаем:

Выражение ∫ A L 1 B E → · d s → = ∫ A L 2 B E → · d s → представим в виде:

к уравнению выше, получаем:

Это дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля.

Необходимо найти r o t n υ → для точек оси вращения, если υ → − это вектор скорости точек твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси коллинеарной n →

Решение

В качестве контура L выберем окружность радиусом R с центром на оси вращения, перпендикулярную оси (рисунок 1 ). Известно, что:

где ∮ d s = 2 π R − это длина окружности.

Необходимо доказать, что из условия потенциальности поля следует: тангенциальные составляющие напряженности электростатического поля непрерывны.

Решение

Поскольку электростатическое поле потенциально, тогда выполняется равенство:

Тангенциальные составляющие − это касательные к произвольной поверхности в любой ее точке. Непрерывность значит, что значения касательных составляющих напряженности одинаковы по обеим сторонам поверхности.

Источник

Потенциальное поле

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).

В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.

См. также

Смотреть что такое «Потенциальное поле» в других словарях:

потенциальное поле — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN potential field … Справочник технического переводчика

потенциальное поле — potencialinis laukas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Potencialinės jėgos, išreikštos skaliarine funkcija – potencialo gradientu, laukas, pvz., elektrostatinis laukas. atitikmenys: angl. potential field vok.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

потенциальное поле — potencialinis laukas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Skaliarinio potencialo laukas. atitikmenys: angl. potential field vok. Potentialfeld, n rus. потенциальное поле, n pranc. champ potentiel, m … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

потенциальное поле — potencialinis laukas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. potential field vok. potenzielles Feld, n rus. потенциальное поле, n pranc. champ potentiel, m … Fizikos terminų žodynas

Потенциальное поле — консервативное поле, векторное поле, циркуляция которого вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Если П. п. силовое поле, то это означает равенство нулю работы сил поля вдоль замкнутой траектории. Для П. п. а (М) существует такая… … Большая советская энциклопедия

векторное потенциальное поле — vektorinis potencialinis laukas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. vector potential field vok. Potentialfeld, n; Vektorpotentialfeld, n rus. векторное потенциальное поле, n pranc. champ vectoriel à potentiel, m … Radioelektronikos terminų žodynas

векторное потенциальное поле — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN vector potential field … Справочник технического переводчика

Потенциальное векторное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном… … Википедия

потенциальное силовое поле — Силовое поле, для которого существует силовая функция. Примечание. Силы в этом силовом поле называются потенциальными силами. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … Справочник технического переводчика

Источник

Потенциальное поле

Смотреть что такое «Потенциальное поле» в других словарях:

Потенциальное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве … Википедия

Источник

Какое поле называется потенциальным

Теорема о циркуляции вектора поля

Щелкните по ссылке » Потенциал и работа электростатического поля «, чтобы ознакомиться с презентацией раздела в формате PowerPoint. Для возврата к данной странице закройте окно программы PowerPoint.

В предыдущей теме было показано, что взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электростатическое поле. Описание электростатического поля мы рассматривали с помощью вектора напряженности , равного силе, действующей в данной точке на помещенный в неё пробный единичный положительный заряд

Существует и другой способ описания поля – с помощью потенциала. Однако для этого необходимо сначала доказать, что силы электростатического поля консервативны, а само поле потенциально.

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом . В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q действует сила (рис. 3.1).

Рис. 3.1

где F(r)– модуль вектора силы , – единичный вектор, определяющий положение заряда q относительно q´, ε₀ – электрическая постоянная.

Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужно доказать, что силы электростатического поля консервативны. Из раздела «Физические основы механики» известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения конечной и начальной точек.

Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом q´ по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2.

Работа на пути dlравна:

где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl; т. е.

Тогда полная работа при перемещении q´ из точки 1 в точку 2 равна интегралу:

Получили, что работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально.

Этот вывод можно распространить и на поле, созданное системой зарядов, так как по принципу суперпозиции полей: .

Итак, как и в механике, любое стационарное поле центральных сил является консервативными, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения начальной и конечной точек. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 (рис. 3.2) заданного поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна:

Тогда вся работа равна:

Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора .

Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути:

Это утверждение и называют теоремой о циркуляции .

Для доказательства теоремы разобьем произвольно замкнутый путь на две части: 1а2 и 2b1 (рис. 3.2). Из сказанного выше следует, что

(Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:

Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Любое электростатическое поле является потенциальным.

Источник

Электронная библиотека

В теории поля и ее приложениях рассматриваются так называемые потенциальные поля.

Определение. Поле вектора называется потенциальным, если вектор является градиентом некоторой скалярной функции :

(поле в этом случаи называют также безвихревым или градиентным).

Функция называется потенциальной функцией поля. Часто говорят, что скалярная функция называется скалярным потенциалом поля.

Знак «минус» перед имеет здесь физический смысл, он означает, что в направлении вектора напряженности электрический потенциал убывает (рис. 1.45).

Поле не всякого вектора является потенциальным. Возникает задача: по какому признаку установить, будет ли поле потенциальным? Следующая теорема дает утвердительный ответ и, что важно, приводит к методу нахождения этой функции.

Теорема: Для того чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы вихрь этого поля равнялся нулю:

Отсюда заключаем, что

Что и требовалось доказать.

Это есть условие полного дифференциала функции [6], т.е.

Следовательно, искомая функция (потенциальная) может быть найдена так:

Полный дифференциал функции :

Отсюда поле вектора — потенциально.

Замечание 1. Потенциальное поле обладает рядом особенностей:

б) Циркуляция в потенциальном поле по любому контуру равна нулю.

Это следует из теоремы Стокса:

в) В потенциальном поле криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования (доказано при рассмотрении условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования).

При нахождении потенциальной функции в качестве начальной точки берут начало координат, если эта точка принадлежит области, в которой ищется потенциальная функция – это упрощает вычисления; согласно замечанию криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования, поэтому удобно брать путь – ломаную (см. рис. 1.46), тогда:

Итог: Криволинейный интеграл потенциального поля на пути равен разности потенциальной функции в конечной и начальной точках этого пути:

другими словами, для потенциального поля имеет место формула Ньютона-Лейбница. Она позволит по известной потенциальной функции найти криволинейный интеграл второго рода (роль первообразной здесь играет потенциальная функция поля ).

Проверить, будет ли поле вектора потенциальным? В случаи его потенциальности найти потенциальную функцию.

Решение. Найдем вихрь этого поля:

Согласно признаку потенциальности поле – потенциальное. Следовательно, существует потенциальная функция, которую найдем, используя формулу (1.115):

В общем случае, если — произвольная точка, то

Задачи для упражнений

2) Будет ли поле вектора потенциальным? В случае потенциальности найти u(х, y, z)

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник

Онлайн портал alivahotel.ru

какое поле называется потенциальным

Потенциальность электростатического поля

Что такое потенциальное поле

Что такое ротор. Практические задачи

Потенциальное поле

См. также

Смотреть что такое «Потенциальное поле» в других словарях:

Потенциальное поле

Смотреть что такое «Потенциальное поле» в других словарях:

Какое поле называется потенциальным

Электронная библиотека

Добавить комментарий

Потенциальность электростатического поля

Что такое потенциальное поле

Что такое ротор. Практические задачи

Потенциальное поле

См. также

Смотреть что такое «Потенциальное поле» в других словарях:

Потенциальное поле

Смотреть что такое «Потенциальное поле» в других словарях:

Какое поле называется потенциальным

Электронная библиотека

Вам также понравится

Учебное подразделение это что

на каком сроке можно удалить зуб при беременности с анестезией

рейтинг швабр с отжимом и ведром 2021

Добавить комментарий