какое отображение плоскости называется параллельным переносом

Что такое движения плоскости: параллельный перенос, поворот. Преобразование подобия. Гомотетия

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторая точка из этой же плоскости, и если при этом любая точка плоскости оказывается сопоставленной определенной точке, то говорят, что это отображение плоскости на себя. Любое отображение плоскости на себя, при котором остаются неизменными расстояния между точками, называют движением плоскости.

Параллельный перенос. Пусть а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М₁, что вектор MМ₁ равен вектору а.

Параллельный перенос является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Наглядно это движение можно представить как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.

Поворот. Обозначим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М₁, что ОМ = ОМ₁ и угол MOМ₁ равен α. При этом точка О остается на своем месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одинаковом направлении — по часовой стрелке или против часовой стрелки (на рисунке изображен поворот против часовой стрелки).

Поворот является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния.

Геометрическое преобразование плоскости, при котором любая пара точек А и В отображается на такую пару точек А₁ и В₁, что А₁ В₁ = k∙АВ, где k — фиксированная для данного преобразования положительная константа, называется преобразованием подобия. Число k называется при этом коэффициентом подобия.

Очевидно, что движения плоскости — частный случай подобия (с коэффициентом 1).

Свойства преобразования подобия.

Геометрическое преобразование плоскости с неподвижной точкой S, которое всякой точке А, отличной от S, ставит в соответствие такую точку А₁, что SА₁ = k∙SA, где k ≠ 0 — наперед заданное число, называется гомотетией с центром S и коэффициентом k. Если фигура F₁ получена из фигуры F с помощью гомотетии, то фигуры F и F₁ называются гомотетичными.

Свойства гомотетии.

Источник

Параллельный перенос

Урок 11. Геометрия 11 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Параллельный перенос»

Сегодня на уроке мы вспомним, какое отображение плоскости на себя мы называли параллельным переносом, введём понятие параллельного переноса в пространстве. Проверим, будет ли параллельный перенос движением пространства.

Вернёмся в планиметрию и вспомним, что параллельным переносом мы называли преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Мы говорили, что для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор.

Другими словами, параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка отображается в такую точку , что вектор равен вектору .

То, что параллельный перенос является примером движения плоскости, мы уже доказывали. Давайте вспомним это доказательство.

Пусть при параллельном переносе на вектор точки и отображаются в точки и . Так как векторы и , то значит, эти векторы равны между собой . То есть они параллельны и их длины равны, поэтому четырёхугольник – параллелограмм. Следовательно, , то есть расстояние между точками и равно расстоянию между точками и .

Случай, когда точки и лежат на прямой параллельной вектору , вы можете рассмотреть самостоятельно. Но и в этом случае расстояние между точками и будет равно расстоянию между точками и .

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину.

В планиметрии мы говорили, что параллельный перенос обладает некоторыми свойствами.

Свойства параллельного переноса:

· При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.

· Угол переходит в равный ему угол.

· Окружность переходит в равную ей окружность.

· Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник.

· Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

· Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.

Теперь давайте определим, что мы будем понимать под параллельным переносом в пространстве.

Параллельным переносом на вектор называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в такую точку что .

Проверим, будет ли параллельный перенос в пространстве примером движения пространства.

При параллельном переносе точки пространства и переходят в такие точки и , что вектора и .

Сложим по правилу треугольника векторы

Поскольку левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенств.

Значит, можно записать, что .

Заменим вектора и на вектор . Получим, что . Отсюда получаем, что вектор . Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть . То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Сформулируем свойства параллельного переноса.

Свойства параллельного переноса:

· Параллельный перенос является примером движения пространства.

· При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и то же расстояние.

· При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).

· Каковы бы не были две точки и , существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка переходит в точку .

· При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Движение в пространстве обладает теми же свойствами, что и движение плоскости.

Свойства движения пространства:

· Движение сохраняет расстояние между точками.

· При любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.

Решим несколько задач.

Задача: начертить отрезок и вектор . Построить отрезок , который получится из отрезка параллельным переносом на вектор .

Решение: для того, чтобы построить отрезок , отобразим точку в точку , точку в точку с помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки , мы получим отрезок .

Задача: начертить треугольник и вектор . Построить треугольник , который получится из треугольникa параллельным переносом на вектор .

Решение: отобразим с помощью параллельного переноса точки , , в точки , ,. Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник .

Задача: начертить пятиугольник и вектор . Построить пятиугольник , который получится из пятиугольника параллельным переносом на вектор .

Решение: решать эту задачу будем аналогично тому, как мы решали предыдущую задачу. Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на вектор . Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник .

Сегодня на уроке мы вспомнили, что мы понимали под параллельным переносом в планиметрии. Ввели понятие параллельного переноса в пространстве. Сформулировали основные свойства параллельного переноса, движения пространства.

Источник

Лекция на тему: Параллельный перенос, симметрия

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Сформировать понятие параллельного переноса;

Рассмотреть симметрию относительно плоскости.

Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.

Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.

Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.

Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.

Первоначальная фигура и фигура, полученная после параллельного переноса, равны.

Параллельный перенос используется для конструирования графиков функций.

На рисунке изображена парабола и два результата параллельного переноса.

Иногда параллельный перенос встречается в необычных ситуациях:

Термин «cимме́три́я» — (др.-греч. συμμετρία) по гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей»

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.

Перечислим виды симметрии.

Виды симметрии

Осевая симметрия

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т.е. A совпадает с A´.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l,

фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

Центральная симметрия.

Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O.при этом центр O называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

Трансляционная симметрия

Поворот

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости . Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на 180˚.

Параллельный перенос.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор .

Скользящая симметрия

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

отрезок переходит в равный ему отрезок;

угол переходит в равный ему угол;

окружность переходит в равную ей окружность;

любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.

параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

* В стереометрии вводится еще один вид симметрии –

Источник