какое напряжение на поверхности радиуса r определяется по формуле

Напряженность электрического поля

Что такое электрическое поле

Однажды Бенджамин Франклин, чей портрет можно увидеть на стодолларовой купюре, запускал воздушного змея во время дождя с грозой. Столь странное занятие он выбрал не просто так, а с целью исследования природы молнии. Заметив, что на промокшем шнуре волоски поднялись вверх (т. е. он наэлектризовался), Франклин хотел прикоснуться к металлическому ключу. Но стоило ему приблизить палец, раздался характерный треск и появились искры. Сработало электрическое поле.

Это случилось в середине XVIII века, но еще целое столетие ученые не могли толком объяснить, как именно заряженные тела взаимодействуют друг с другом, не соприкасаясь. Майкл Фарадей первым выяснил, что между ними есть некое промежуточное звено. Его выводы подтвердил Джеймс Максвелл, который установил, что для воздействия одного такого объекта на другой нужно время, а значит, они взаимодействуют через «посредника».

В современной физике электрическое поле — это некая материя, которая возникает между заряженными телами и обусловливает их взаимодействие. Если речь идет о неподвижных объектах, поле называют электростатическим.

Объекты, несущие одноименные заряды, будут отталкиваться, а тела с разноименными зарядами — притягиваться.

Определение напряженности электрического поля

Для исследования электрического поля используются точечные заряды. Давайте выясним, что это такое.

Точечным зарядом называют такой наэлектризованный объект, размерами которого можно пренебречь, поскольку он слишком мал в сравнении с расстоянием, отделяющим этот объект от других заряженных тел.

Теперь поговорим непосредственно о напряженности, которая является одной из главных характеристик электрического поля. Это векторная физическая величина. В отличие от скалярных она имеет не только значение, но и направление.

Для того, чтобы исследовать электрическую напряженность, нужно в поле заряженного тела q₁ поместить еще один точечный заряд q₂ (допустим, они оба будут положительными). Со стороны q₁ на q₂ будет действовать некая сила. Очевидно, что для расчетов нужно иметь в виду как значение данной силы, так и ее направление, то есть вектор.

Напряженность электрического поля — это показатель, равный отношению силы, действующей на заряд в электрическом поле, к величине этого заряда.

Напряженность является силовой характеристикой поля. Она говорит о том, как сильно влияние поля в данной точке не только на другой заряд, но также на живые и неживые объекты.

Единицы измерения и формулы

Из указанного выше определения понятно, как найти напряженность электрического поля в некой точке:

E = F / q, где F — действующая на заряд сила, а q — величина заряда, расположенного в данной точке.

Если нужно выразить силу через напряженность, мы получим следующую формулу:

F = q × E

Направление напряженности электрического поля всегда совпадает с направлением действующей силы. Если взять отрицательный точечный заряд, формулы будут работать аналогично.

Поскольку сила измеряется в ньютонах, а величина заряда — в кулонах, единицей измерения напряженности электрического поля является Н/Кл (ньютон на кулон).

Принцип суперпозиции

Допустим, у нас есть несколько зарядов, которые перекрестно взаимодействуют и образуют общее поле. Чему равна напряженность электрического поля, создаваемого этими зарядами?

Было установлено, что общая сила воздействия на конкретный заряд, расположенный в поле, является суммой сил, действующих на данный заряд со стороны каждого тела. Из этого следует, что и напряженность поля в любой взятой точке можно вычислить, просуммировав напряжения, создаваемые каждым зарядом в отдельности в той же точке (с учетом вектора). Это и есть принцип суперпозиции.

Это правило корректно для любых полей, за некоторыми исключениями. Принцип суперпозиции не соблюдается в следующих случаях:

речь идет о сверхсильных полях с напряженностью более 10 20 в/м.

Но задачи с такими данными выходят за пределы школьного курса физики.

Напряженность поля точечного заряда

У электрического поля, создаваемого точечным зарядом, есть одна особенность — ввиду малой величины самого заряда оно очень слабо влияет на другие наэлектризованные тела. Именно поэтому такие «точки» используют для исследований.

Но прежде чем рассказать, от чего зависит напряженность электрического поля точечного заряда, рассмотрим подробнее, как взаимодействуют эти заряды.

Закон Кулона

Предположим, в вакууме есть два точечных заряженных тела, которые статично расположены на некотором расстоянии друг от друга. В зависимости от одноименности или разноименности они могут притягиваться либо отталкиваться. В любом случае на эти объекты воздействуют силы, направленные по соединяющей их прямой.

Закон Кулона

Модули сил, действующих на точечные заряды в вакууме, пропорциональны произведению данных зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Силу электрического поля в конкретной точке можно найти по формуле: где q₁ и q₂ — модули точечных зарядов, r — расстояние между ними.

В формуле участвует коэффициент пропорциональности k, который был определен опытным путем и представляет собой постоянную величину. Он обозначает, с какой силой взаимодействуют два тела с зарядом 1 Кл, расположенные на расстоянии 1 м.

Учитывая все вышесказанное, напряжение электрического поля точечного заряда в некой точке, удаленной от заряда на расстояние r, можно вычислить по формуле:

Итак, мы выяснили, что называется напряженностью электрического поля и от чего зависит эта величина. Теперь посмотрим, как она изображается графическим способом.

Линии напряженности

Электрическое поле нельзя увидеть невооруженным глазом, но можно изобразить с помощью линий напряженности. Графически это будут непрерывные прямые, которые связывают заряженные объекты. Условная точка начала такой прямой — на положительном заряде, а конечная точка — на отрицательном.

Линии напряженности — это прямые, которые совпадают с силовыми линиями в системе из положительного и отрицательного зарядов. Касательные к ним в каждой точке электрического поля имеют то же направление, что и напряженность этого поля.

При графическом изображении силовых линий можно передать не только направление, но и величину напряженности электрического поля (разумеется, условно). В местах, где модуль напряженности выше, принято делать более густой рисунок линий. Есть и случаи, когда густота линий не меняется — это бывает при изображении однородного поля.

Однородное электрическое поле создается разноименными зарядами с одинаковым модулем, расположенными на двух металлических пластинах. Линии напряженности между этими зарядами представляют собой параллельные прямые всюду, за исключением краев пластин и пространства за ними.

Источник

Лекция 21. Концентрация напряжений и контактные напряжения

Понятие о концентрации напряжений

Полученные ранее формулы для определения напряжений при растяжении, кручении и изгибе справедливы только в том случае, когда рассматриваемое сечение отстоит на достаточно большом расстоянии от мест резкого изменения формы тела, внутренних углов, выточек, отверстий и т.п. В окрестности выточек, отверстий и т.д., а также в зоне контакта деформируемых тел наблюдается концентрация напряжений.

Анализ разрушений изделий показывает, что подавляющее большинство поломок, образование хрупких, усталостных трещин и других причин потери несущей способности возникают, как правило, вблизи этих концентраторов.

Концентраторы напряжений можно разделить на локальные и размытые. К локальным будем относить те, в которых объем области, занятой материалом с повышенными напряжениями, пренебрежимо мал по сравнению со всем объемом нагруженного тела. В случае размытых концентраторов напряжений объем, занятый материалом с повышенными напряжениями, составляет значительную часть всего объема нагруженного тела. Таким образом при локальной концентрации напряжений общие размеры и форма всего нагруженного тела не будут существенно меняться в случае текучести материала в зоне концентрации, тогда как при размытой концентрации напряжений, они существенно изменяются. Например, малые отверстия и скругления малого радиуса считаются обычно весьма локальными концентраторами напряжений, а крюки, шарнирные соединения серег с проушинами относятся к размытым концентраторам напряжений. Последствия влияния различных концентраторов напряжений на материал в хрупком и пластичном состояниях при статическом и циклическом нагружении в виде коэффициентов концентрации напряжений представлены в таблице 21.1.

Рассмотрим растяжение длинной упругой полосы, ослабленной выточками (рис.21.2). В сечении 1-1 напряжения распределены равномерно, а в сечении 2-2 – неравномерно, увеличиваясь по мере приближения к краю выточек. Максимальное напряжение в этом сечении можно выразить так:

σ max = α σ σ ном (21.1)

За номинальное напряжение σ ном принимают напряжение, которое определяется по формулам сопротивления материалов без учета эффекта концентрации. Обычно σ ном определяется по наиболее ослабленному сечению. Так, для рассмотренной полосы

где A 2-2 — площадь полосы в ослабленном сечении 2-2.

Если определение напряжений в ослабленном сечении затруднено, для простоты расчета за σ ном принимают напряжение в неослабленном сечении.

Значения теоретического коэффициента концентрации напряжений α σ практически не зависит от уровня номинальных напряжений и физико-механических свойств материала, а определяются геометрией рассматриваемого элемента, способом нагружения и относительными размерами зон концентрации.

В теории упругости дается решение для растянутой пластинки, ослабленной круглым отверстием, расположенным на оси симметрии (рис.21.3).

С увеличением y напряжения быстро убывают, асимптотически приближаясь к напряжению σ.

Приведенное точное решение может быть использовано лишь для пластинки, ширина которой велика по сравнению с диаметром отверстия ( B ≥10 r ). С уменьшением ширины пластинки теоретический коэффициент концентрации напряжений возрастает, а напряжения у наружных краев пластинки становятся меньше σ.

В таблице 21.2 приведены значения коэффициента α σ для различных значений отношения диаметра отверстия к ширине пластинки.

2 r B

α σ

Как видно, коэффициент α σ заметно увеличивается по мере увеличения отношения 2 r B .

Чтобы получить представление о степени снижения напряжения σ z на краю пластины в сечении 1-1, приведем его значение для случая B =4 r : σ z =0,75 σ . Для сравнения запишем значение максимального напряжения в том же сечении: σ max =4,32 σ .

Концентрация напряжений как при растяжении, так и при других видах деформаций значительно зависит от формы отверстия или выточки.

Рассмотрим случай ослабления широкой пластинки эллиптическим отверстием (рис.21.4). Решение было получено Инглисом в 1913 г.

Точное решение представляется в виде

С увеличением отношения a b максимальные напряжения возрастают и при узком отверстии, расположенном перпендикулярно направлению растяжения, достигают очень большого значения. В связи с этим большую опасность представляют тонкие прорези. Особенно большие напряжения возникают у краев поперечных трещин.

Концентрация напряжений возникает также при других видах деформаций. Так, например, при чистом изгибе полосы, ослабленной двумя симметричными выточками, имеющими форму гиперболы (рис.21.5), теоретический коэффициент концентрации напряжений может быть найден по формуле

Необходимо помнить, что только для некоторых задач о концентрации напряжений найдены точные аналитические решения. В последнее время в связи с широким применением ЭВМ для решения задач теории упругости и использованием численных методов оказывается возможным найти теоретический коэффициент концентрации напряжений с достаточной для практических целей точностью для многих очагов концентрации напряжений. Найденные коэффициенты в упругой области для различных типов конструктивных элементов можно найти в справочниках по концентрации напряжений, нормах, технических условиях на проектирование конструкций и в других аналогичных источниках.

Следует обратить внимание на одну принципиальную трудность решения задачи о концентрации напряжений. Обратимся к формуле (21.2), из которой видно, что при r ⟶0 выточка имеет форму острого угла, в вершине угла напряжения равны бесконечности. В действительности вследствие проявления пластических свойств материала напряжения в бесконечность не обращаются, но достигают больших значений. Для деталей из идеально упругопластического материала, для которого справедлива диаграмма Прандтля, концентрация напряжений может не представлять особой опасности. Это объясняется тем, что при достижении пластического состояния в точке напряжения в ней не увеличиваются и текучесть материала распространяется в глубь сечения. Таким образом, происходит выравнивание напряжений в ослабленном сечении. Анализ напряженного состояния в зоне концентрации напряжений в этом случае требует решения задачи теории пластичности, что представляет более серьезную проблему, нежели решение аналогичной задачи теории упругости.

В случае хрупких материалов при достижении в ослабленном сечении наибольшего напряжения, равного пределу прочности, образуется трещина, которая, быстро развиваясь, приводит к разрушению конструкции. Так, например, небольшая царапина или надрез на стекле приводит к разрушению при весьма малых нагрузках по сравнению с теми, которые выдерживают стекло с неповрежденной поверхностью. Это свойство используют при резке стекол алмазом.

Нужно отметить, что опасность концентрации напряжений значительно возрастает при снижении температуры, поскольку материал становится более хрупким.

При наличии концентрации напряжений существенно снижается деформация образца с концентратором по сравнению с деформацией гладкого образца. Это связано с локализацией деформации у концентратора напряжений. Одновременно происходит изменение характера напряженного состояния у концентратора от осевого растяжения к объемному растяжению и снижению, в связи с этим, τ max , что в конечном счете приводит к охрупчиванию материала конструкции.

Особенно опасна концентрация напряжений при действии нагрузок, периодически меняющихся во времени.

Наиболее острым концентратором напряжений является трещина. Испытание образцов с исходной трещиной позволяет наиболее жестко провести оценку чувствительности материала к концентратору напряжений. На основе испытания образцов с исходной трещиной развивается механика разрушения, рассматривающая поведение материалов с исходной трещиной и позволяющая количественно оценивать сопротивление материала разрушению. В этих испытаниях определяются такие характеристики трещиностойкости материала, как критический коэффициент интенсивности напряжений K 1 c (вязкость разрушения), критическое раскрытие в вершине трещины δ c , инвариантный J c — интеграл (упругопластическая вязкость разрушения), диаграмма усталостного разрушения.

Возникает вопрос о том, каким образом можно снизить концентрацию напряжений.

Из приведенных выше формул для коэффициентов концентрации напряжений видно, что в различного рода трещинах, вырезах, выточках, в местах резкого изменения площади поперечного сечения элемента конструкции желательно заменить острые выточки плавными кривыми ( галтелями ), т.е. увеличить радиус кривизны конца трещины или отверстия. Это приводит к снижению концентрации напряжений. Так, например, для прекращения развития трещины в пластинах иногда на конце трещины высверливают круглое отверстие.

Контактные напряжения

Материал, расположенный непосредственно под зоной контакта, находится в объемном напряженном состоянии, так как сжатие в направлении нормали к площадке контакта (напряжение σ 3 на рис.21.7) вызывает расширение объема материала в направлениях, параллельных площадке.

Разрушение под влиянием контактных напряжений называется смятием материала. В отличие от сжатия при смятии разрушается лишь тонкий поверхностный слой материала в зоне контакта.

Расчет на смятие носит условный характер, так как точное определение напряжений и площадки контакта представляет собой сложную задачу. Напряжения зависят от радиусов кривизны соприкасающихся поверхностей и модулей упругости тел, нажимающих друг на друга. Уменьшение модуля упругости ведет к увеличению площади контакта, а следовательно, и к уменьшению напряжений.

Характерными примерами деталей, рассчитываемых на смятие, являются болты и заклепки, зубья шестерен, шейки и цапфы валов, детали шарикоподшипников. Взаимодействие упомянутых деталей обычно сводится к следующим схемам: надавливание сферы на сферу, сферы на плоскость, цилиндра на цилиндр, цилиндра на плоскость.

Рассмотрим данные случаи распределения напряжений в контактных задачах. Эти задачи решены с помощью методов теории упругости и в данном курсе приводятся без доказательства.

Как видно, значение σ max в 1,5 раза больше среднего напряжения по поверхности касания:

Если цилиндры сделаны из одного материала ( E 1 = E 2 = E , μ 1 = μ 2 = μ , причем μ=0,3), то

b =1,522 p E R 1 R 2 R 1 + R 2 (21.3)

σ max =0,418 pE R 1 + R 2 R 1 R 2 (21.4)

При неограниченном увеличении одного из радиусов, например R 2 , получим решение задачи о сжатии цилиндра с полупространством. В результате из выражений (21.3) и (21.4) получим

σ max =0,418 pE R 1 (21.5)

Как видно из формулы (21.5), наибольшее напряжение σ max зависит от отношения p R 1 . При разных значениях p и R 1 , но одинаковом их отношении σ max также одинаково.

В случае центрального смятия двух упругих шаров радиусами R 1 и R 2 (рис.21.9, а) поверхность касания является кругом радиуса a (рис.21.9, б). Вновь предполагая справедливыми равенства E 1 = E 2 = E , μ 1 = μ 2 =0,3 , получим

a = b =1,109 3 F E R 1 R 2 R 1 + R 2

σ max =0,388 3 F E 2 R 1 + R 2 R 1 R 2 2 (21.6)

В случае шара радиусом R 1 , лежащего на упругом полупространстве ( R 2 ⟶∞ ), найдем

a = b =1,109 3 FR 1 E

σ max =0,388 F E 2 R 1 2 (21.7)

Из формулы (21.7) видно, что σ max зависит от отношения F R 1 2 . При разных значениях F и R 1 , но одинаковых отношениях F R 1 2 максимальное напряжение остается постоянным.

Аналогично могут быть найдены напряжения при сдавливании тел и другой формы.

Контактные напряжения при статическом нагружении не могут вызвать разрушения, а приводят лишь к возникновению местных пластических деформаций. Однако при повторном действии нагрузок в зоне контакта может появиться трещина, которая, постепенно проникая в глубь детали, приводит к ее разрушению. Особенно нежелательно возникновение больших напряжений смятия между трущимися деталями, так как пластическое деформирование пятна контакта способствует усилению износа.

Вопросы для самопроверки

— Что такое концентрация напряжений?

— Что понимают под концентраторами напряжений? Привести примеры концентраторов напряжений и вычертить их.

— Что называют местными напряжениями?

— Как определить нормальные напряжения при осевом растяжении или сжатии по поперечному сечению стержня, достаточно удаленному от концентраторов напряжений и мест приложения сосредоточенных сил?

— Как распределяются нормальные напряжения при осевом растяжении или сжатии по поперечному сечению стержня, достаточно удаленному от концентраторов напряжений и мест приложения сосредоточенных сил?

— Как распределяются нормальные напряжения при осевом растяжении или сжатии по поперечному сечению стержня при наличии какого-либо концентратора напряжений?

— Описать характер распределения нормальных напряжений при осевом растяжении или сжатии по поперечному сечению полосы, ослабленному круглым отверстием.

— Можно ли определить напряжения при наличии концентраторов напряжений по формулам сопротивления материалов?

— Как определяются нормальные напряжения при осевом растяжении или сжатии по поперечному сечению стержня, ослабленному круглым отверстием (по какой формуле)?

— Что представляет собой теоретический коэффициент концентрации напряжений?

— Как определяется среднее (или номинальное) напряжение при вычислении теоретического коэффициента концентрации напряжений?

— Какие числовые значения имеет теоретический коэффициент концентрации?

— Как определить максимальное местное напряжение, зная теоретический коэффициент концентрации напряжений?

— Какими методами определяется теоретический коэффициент концентрации напряжений?

— От чего зависит концентрация напряжений?

— Какие меры принимаются для уменьшения концентрации напряжений?

— Почему концентрация напряжений при статическом нагружении конструкции менее опасна для пластичных материалов, чем для хрупких?

— Учитывается ли концентрация напряжений при расчете конструкций из пластичных и хрупких материалов?

— При наличии каких концентраторов в конструкциях из пластичных материалов всегда следует учитывать концентрацию напряжений?

— Учитывается ли концентрация напряжений для пластичных и хрупких материалов при действии динамических нагрузок?

— Как влияет радиус закругления выточки на коэффициент концентрации напряжений?

— Чему равны максимальные местные напряжения в полосе, ослабленной круглым отверстием (при h>10r)?

— Какова числовая величина теоретического коэффициента концентрации напряжений при ослаблении полосы круглым отверстием (при h>10r)?

— Какое влияние оказывают пластические свойства материала на концентрацию напряжений?

— Что такое контактные напряжения?

— Привести примеры распределения напряжений при наличии прорезов, выточек, уступов.

— Чем объясняется способность материала воспринимать достаточно высокие сжимающие напряжения в зоне контакта двух тел без разрушения?

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Источник