какое наименьшее значение принимает функция у cosx
Презентация на тему: «Функция y = cosx её свойства и график»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Функция y = cosx её свойства и график
Цель: Изучить функцию y = cos x Задачи: 1. Изучить свойства функции у = cos x. 2. Уметь применять свойства функции у = cos x и читать график. 3. Формировать практические навыки построения графика функции у = cos x на основе изученного теоретического материала. 4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.
Функция y = cos x определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1]. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y= −1 и y=1. Так как функция y = cos x периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким же.
Рассмотрим поведение функции и отметим важнейшие точки на промежутке [0;] В координатной плоскости На числовой окружности
7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при x ∈ (-π/2+2πn; π/2+2πn), n ∈ Z Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при x ∈ (π/2+2πn; 3π/2+2πn), n ∈ Z Функция возрастает на x ∈ [π + 2 πn; 2 πn], n ∈ Z функция убывает на x ∈ [2 πn; π+ 2 πn], n ∈ Z
Решение задач Задача №1 Найти пределы изменения функции y = cos t на данном отрезке [/6; /2] Функция монотонно убывает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(/6)=3/2, а наименьшее значение принимает на его правом конце у(/2) = 0 Решение
Задача 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение: 1 + cos t = a Задача №3 Решение Построим график функции y = 1 + cos t Уравнение 1 + cos t = a имеет хотя бы одно решение при aЄ [0;2] В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции. Ответ: аЄ[0; 2]
Задача №4 Решить уравнение Построим в одних координатных осях графики функций Решение Графики имеют только одну общую точку А(0; 1) Ответ: х=0
Задача №5 Найти число корней уравнения Решение На промежутке [-π; 0] функция у=cosx монотонно возрастает, функция у=х2 монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку. На промежутке [0; π] функция у=cosx монотонно убывает, функция у=х2 монотонно возрастает. Значит, и на этом промежутке графики имеют только одну общую точку. Ответ: два корня
Построить график функции y=cos3x Задача №5 Косинус – четная функция, строим график на участке [0; π/3], затем симметрично отображаем относительно оси y и получаем график на промежутке [-π/3; π/3] длина которого равна периоду. График сжимается к оси Оу в 3 раза. Решение
Задания для самостоятельного решения 1) Постройте графики функций 1) у = cosx + 1; 2) у = cosx – 1; 3) у = cos (x + π/2) 4) у = cos (x – π/3) 2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos (x) на отрезке [0; 4π/3]
3) Определить область значений функции y=−8cosx+3. 4) Определить чётность или нечётность функции: f(x)=x5⋅cos6x. 5) Определить, возрастает или убывает функция y=cosx на отрезке: [−4π;−3π]. 6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции: y=cos42x−sin42x+4. 7) Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=cosx на полуинтервале (−4π/3;−π/3].
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1009962
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Прослушивание музыки снижает усталость мозга
Время чтения: 1 минута
Почти все вузы в России открыли пункты вакцинации от ковида
Время чтения: 1 минута
В Минобрнауки разрешили вузам продолжить удаленную работу после 7 ноября
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
В Москве разработают дизайн-код для школ и детсадов
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Функция у = cosx её свойства и график.
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
изучить функцию У = COS X выяснить ее свойства и вид графика; рассмотреть геометрические преобразования функции косинус. ввести понятие числовой функции косинус;
Числовая функция, заданная формулой y=cos x, называется косинусом.
Свойства функции y=cosx 1) D(cosx): (-∞;+∞) 2) E(cosx): [-1;1] 3) Функция четная: cos(-x)=cosx. График функции симметричен оси y. 4) Периодическая: Т = 2П cosx = cos (x+2П)
Свойства функции y=cosx 8) Промежутки монотонности: [-П+2Пn;2Пn], nЄZ [2Пn;П+2Пn], nЄZ 9) Точки экстремума: x min =-П+2Пn; 10) Экстремумы функции: y min =-1; y max = 1 x max = 2Пn
Преобразования графика y=cosx
у= cos (x+a) ось у сдвинуть на а ед.отрезков вправо y= cos (x+2n/3) y= cos (x-a) ось у сдвинуть на а ед.отрезков влево y= cos (x-2n/3)
y = cos (x)+b ось х сдвинуть на b ед.отрезков вниз сдвинуть ось х на 2 ед. отр. вниз y = cos (x)-b ось х сдвинуть на b ед.отрезков вверх y=cos (x)-2 сдвинуть ось х на 2 ед. отр. вверх
y = cos (аx) сжать вдоль оси х, если a>1 растянуть вдоль оси х, если a
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: 186000092745
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В Минобрнауки разрешили вузам продолжить удаленную работу после 7 ноября
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
В Москве разработают дизайн-код для школ и детсадов
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
Почти все вузы в России открыли пункты вакцинации от ковида
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
«Свойство функций y = cos x и её график»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Изучить функцию y = cos x
1. Изучить свойства функции у = cos x.
2. Уметь применять свойства функции у = cos x и читать график.
3. Формировать практические навыки построения графика функции у = cos x на основе изученного теоретического материала.
4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.
Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤ x ≤ 2π и построим график y =cos x на отрезке. 
Свойства функции y=cos x
1.Функция чётная cos (−x) = cos x
2. Функция периодическая с периодом 2 π cos (x+2 π k) = cos x
3. Максимальные значения y max=1 достигаются в точках x =2 π k Минимальные значения y min=−1 достигаются в точках x= π +2 π k Нули функции y0=cos x0=0 достигаются в точках x= π 2+ π k
4. Функция y=cos x принимает:
6. Функция ограничена сверху и снизу −1≤cosx≤1 Область значений y ∈ [−1;1]
7. Функция возрастает на отрезках − π +2 π k≤x≤2 π k Функция убывает на отрезках 2 π k ≤ x≤ π +2 π k
8. Функция непрерывна.
Примеры
Пример 2 . Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y =cos x на отрезке:
[ π 6;3 π 4]ymin=cos(3 π 4)=−22, ymax=cos( π 6)=32б) [5 π 6;5 π 3]ymin=cos( π )=−1, ymax=cos(5 π 3)=12
Пример 3 . Решите уравнение графически : a) cos x= π 2 − x
Один корень : x= π 2
Урок по теме «Функция y = cosx, ее свойства и график»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
26.11.2015г. Тема урока. Функция y = cosx, ее свойства и график
— закрепить способ построения функции y= cosx по контрольным точкам;
— закрепить умение читать график функции;
— закрепить свойства с помощью выполнения заданий.
— способствовать самостоятельности формулировать цели и задачи;
— развивать пространственное воображение.
— воспитывать внимание, аккуратность.
— способствовать осознанию ценности коллективной мыслительной деятельности
— формировать представление о математике, как о части общечеловеческой культуры.
1. Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функции
y = cosx в конкретных ситуациях.
2. Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями функции y = cosx
Оборудование и материалы: школьная доска, карточки задания, справочный материал.
I. Организация начала занятия: приветствие, проверка готовности к занятию (наличие рабочих тетрадей, письменных и чертежных принадлежностей). Постановка целей занятия
II. Подготовка к основному этапу занятия, актуализация знаний.
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
I . Фронтальная работа.
1. 1 ученик на доске и остальные в тетрадях.
Построение графика функции y = cosx по контрольным точкам (0;1), (), ( ), (; 0)( ).
Итак, график функции y=cosx построен на всей числовой прямой.
2. 1 ученик на доске, остальные в тетрадях.
Пользуясь схемой чтения графика функции (схема в справочном материале), проиллюстрировать и записать свойства функции y = cosx.
Класс во время ответа ученика у доски включается в обсуждение правильности и чёткости формулировок и записи свойств на языке математики.
Свойства функции y=cosx
3. Функция y=cosx принимает:
— значение, равное 0, при x=π2+πn,n ∈ Z;
— возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n ∈ Z
— убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n ∈ Z
5. Функция y=cosx принимает:
— наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n ∈ Z
— наименьшее значение, равное −1, при x=π+2πn,n ∈ Z
7. Функция y=cosx периодическая с периодом 2π
II . Работа в группах.
Задания на применение свойств функции y = cosx.
1. найдите область значений функции y = cosx.
а) на отрезке ; б) на интервале
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = cosx
а) на отрезке ; б) на интервале
3. Исследуйте функцию на чётность.
а) y = x 2 cosx б) y = cosx + x 2
в) y = cosx 3 г) y = x 3 cosx
Подведение итогов. Домашнее задание:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-110351
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
В Минобрнауки разрешили вузам продолжить удаленную работу после 7 ноября
Время чтения: 1 минута
Российские педагоги чаще всего жалуются на излишнюю отчетность и низкую зарплату
Время чтения: 2 минуты
Google сможет удалять снимки с детьми из результатов поиска по запросу
Время чтения: 1 минута
Почти все вузы в России открыли пункты вакцинации от ковида
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Урок алгебры в 10 классе. Тема «Косинус и его свойства»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Класс 10-А Урок № 73 дата: 17.03.17
Тема: Свойства функции у=cosx
Цели урока : Ознакомить учащихся со свойствами функции у=cosx, обучение построению графика функции у=cosx, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном
материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания.
Формирование логического мышления.
Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитание графическойкультуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2
3. Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений.
Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.
Обратить внимание учащихся на то, что для любого действительного числа можно указать соответствующую точку на единичной окружности, а следовательно ее абсциссу и ординату, т.е. косинус и синус числа х: у = cosx и у = sinx, область определения которых – все действительные числа.
Затем учащиеся отвечают на вопросы
При каких значениях х функция у=cosx принимает наибольшее (наименьшее) значение?
Каково множество значений функции у=cosx?
Ответы на эти и следующие вопросы сопровождаются иллюстрацией на единичной
окружности. Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, учащимся предлагается показать несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, косинус которых положительное (отрицательное) число. Затем ответить на вопросы:
1) Какой знак имеет значение функции у=cosx, если x = π/3, если x = 2π/3, 0 x x x x
2) Укажите несколько значений х, при которых значения функции у = cosx положителен,отрицателен?
3) Можно ли назвать все значения числа α, косинус которых положителен, отрицателен?
4) Можно ли назвать все значения аргумента х, при которых значения функции у = cosx положительны,отрицательны?
5) Четная или нечетная функция у= cosx.
6) Чему равен период этой функции?
4. Изложение нового материала.
Обобщение и конкретизация знаний полученных ранее: исследование области определения, множества значений, четности, периодичности позволяет построить график сначала на отрезке [0;π], затем на отрезке [-π;π],а затем на всей числовой прямой.
Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у= cosx по точкам (0;1), (π/2), (π;-1), (3π/2;0), (2π;1) и обобщают свойства функции, записывая их в таблицу.
(На этом этапе выдаются опорные конспекты (приложение 1))
5. Закрепление первичных знаний.
С помощью эскиза графика функции у=cosx учащиеся отвечают на вопросы №708, с помощью таблицы свойств функции у=cosх отвечают на вопросы №709
6. Задача на построение графика функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс.
В ходе беседы обсуждаются свойства этих функций.
7. Работа по учебнику
№ 710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = cosx возрастала, а на другом убывала:
[π/2;π] — убывает;[π;3π/2] — возрастает
[0;π]— убывает; )[π;3π/2] — возрастает
Используя свойство возрастания или убывания функции у = cosx, сравнить числа:
1) cos 
è cos 
ϵ [0;π], 
ϵ[0;π] на отрезке функция у= cosx убывает [0;π], следовательно, cos > cos
2) cos(- 
) и cos(— 
)
— ϵ [-π;0], (- ) ϵ [-π;0], на отрезке [-π;0] функция у = cosx возрастает;
— следовательно, cos(- ) )
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;3π]
1) cosx = 
х = ± 
+2π n, nϵ Z
Ответ: 
; 
; 
.
Ответ: 
, 
, 
.
8. Подведение итогов.
На уроке научились строить график функции у = cosx, читать свойства этого графика, строить эскиз графика, решать задачи связанные с использованием графика и свойств функции у = cosx.
9. Домашнее задание.
§40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Построить графики функций у =cosx на [ 
; 
] и описать свойства этой функции.
Класс 10-А Урок № 75 дата: 20.03.17
Тема: График функции у=cosx
Цели урока : Ознакомить учащихся со свойствами функции у=cosx, обучение построению графика функции у=cosx, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Развивающая – формирование способностианализировать, обобщать полученные знания.
Формирование логического мышления.
Воспитательная – активизировать интерес кполучению новых знаний, воспитание графическойкультуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2.
3. Проверка домашнего задания
4. Изложение нового материала
1. Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ.
Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и 0
2. Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОУ.
Обсуждение свойств функции у = cos(kx) при k>1 и 0
5. Закрепление первичных знаний
Решение задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1)
Задание №715(1) №716(1) проверяем с помощью слайда №10
6. Задача на построение графика функции симметричного относительно оси абсцисс
Обсуждение свойств функции . Слайд №11(использовать опорный конспект)
7. Самостоятельная работа
Решение тестовых задач на раздаточном материале
В результате изучения темы учащиеся научились строить график функции у = cosх, читать свойства функции, строить графики функции используя различные преобразования, читать свойства графиков с преобразованиями, решать простейшие задачи используя графики и свойства функции у = cosх.
9. Домашнее задание.
§40 №717(3), №713(4), №715(4), №716(2). Дополнительно №719(2) (Проверка слайд №13)