какое наименьшее значение может принять выражение
Какое наименьшее значение может принять выражение
Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 181?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 180?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 9K(n) − n, если n — трёхзначное число?
а) Такое число существует. Например, для числа 
имеем 
б) Заметим, что для любого целого числа k число k 2 либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если 
то все цифры числа
n чётны и либо 
либо 
Значит, искомого числа n не существует.
в) Пусть 
где 
— цифры. Тогда
Наименьшие возможные значения выражений 
и 
где — цифры, равны 
и 
соответственно и достигаются при 
и 
Значит,
При 
имеем 
Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение 
если n трёхзначное число, равно −277.
Ответ: а) Да; б) нет; в) −277.
Аналоги к заданию № 521928: 522100 522128 522154 Все
Какое наименьшее значение может принять выражение
Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 179?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 184?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение K(n) − 2n, если n — трёхзначное число?
а) Такое число существует. Например, для числа 
имеем 
б) Заметим, что для любого целого числа k число k 2 либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если 
то все цифры числа
n чётны и либо либо Значит, искомого числа n не существует.
в) Пусть где — цифры. Тогда
При 
имеем 
Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение 
если n трёхзначное число, равно −1819.
Ответ: а) Да; б) нет; в) −1819.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Аналоги к заданию № 521928: 522100 522128 522154 Все
Какое наименьшее значение может принять выражение
Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 181?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n) = 180?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 9K(n) − n, если n — трёхзначное число?
а) Такое число существует. Например, для числа имеем
б) Заметим, что для любого целого числа k число k 2 либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны. Следовательно, если то все цифры числа
n чётны и либо либо Значит, искомого числа n не существует.
в) Пусть где — цифры. Тогда
Наименьшие возможные значения выражений и где — цифры, равны и соответственно и достигаются при и Значит,
При имеем Следовательно, наименьшее значение, которое может принимать выражение если n трёхзначное число, равно −277.
Ответ: а) Да; б) нет; в) −277.
Аналоги к заданию № 521928: 522100 522128 522154 Все