Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
Меньше быть не может. Во всяком случае, в Евклидовой геометрии. О геометрии Лобачевского не скажу, потому что не знаю.
Было у шестиугольной пирамиды, называемой так из-за шестиугольника в основании, шесть ребер у основания и шесть ребер между шестью сторонами, после отпиливания вершины организовалось еще одно основание, опять же с шестью ребрами.
Ответ неожиданный, 18.
Остановимся на необходимых определениях логики высказываний, которые продемонстрируем на примерах.
Нас интересуют не все логические операции, а только конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и отрицание.
Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, обозначаемое А /\ В, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Дизъюнкцией двух высказываний называется сложное высказывание, обозначаемое А \/ В, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое /А (не А), ложное тогда и только тогда, когда само высказывание истинно.
Составим конъюнкцию, дизъюнкцию высказываний А и В (см. выше) и отрицание высказывания А.
Ниже приведена сводная таблица истинности, которая составлена для всех пяти операций (имеются еще 2 операции: импликация и эквиваленция, см. шестой и седьмой столбцы), но в определении булевой алгебры они не участвуют).
А теперь дадим точное определение булевой алгебры (см. здесь).
Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями /\ (аналог конъюнкции), \/ (аналог дизъюнкции), унарной операцией /(аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых элементов из А a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:
a /\ (b /\ c) = (a /\ b) /\ c a \/ (b \/ c) = (a \/ b) \/ c ассоциативность
a /\ b = b /\ a a \/ b = b \/ a коммутативность
a /\ (a \/ b) = a a \/ (a /\ b) = a законы поглощения
a /\ (b \/ c) = (a /\ b) \/ (a /\ c) a \/ (b /\ c) = (a \/ b) /\ (a \/ c) дистрибутивность одной операции относительно другой
a \/ / a = 1 a /\ /a = 0 дополнительность
Несколько слов об авторе, в честь кого названа эта алгебра.
Отмечу, что булева алгебра широко применяется на практике. Для интересующихся предлагаю посмотреть вот этот красочный материал., в котором показано, что
Многогранники. Тест по геометрии на тему «Многогранники» для 11 класса.
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тест по геометрии на тему «Многогранники» для 11 класса.
Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Чему равно отношение площадей боковых поверхностей этих призм?
Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
одну или три
две или три
одну или две
Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?
Сколько осей симметрии имеет куб?
Чему равен угол между диагоналями граней куба, имеющими общий конец?
Из чего состоит правильный октаэдр?
из четырех равносторонних треугольников
из восьми равносторонних треугольников
из двадцати равносторонних треугольников
Чему равна сумма плоских углов при каждой вершине куба?
Чему равно число ребер каждой грани правильного додекаэдра?
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-312979
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
В Минобрнауки разрешили вузам продолжить удаленную работу после 7 ноября
Время чтения: 1 минута
Около половины детей болеют коронавирусом в бессимптомной форме
Время чтения: 1 минута
В Москве разработают дизайн-код для школ и детсадов
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки работает над изменением подходов к защите диплома
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник
Тесты по геометрии 10 класс. Тема: «Многогранники»
Правильный вариант ответа отмечен знаком +
1. Основания призмы все лежат в плоскостях:
2. Укажите, какое самое маленькое число ребер может содержаться в призме?
3. Закончите предложение: Многоугольники в основании усечённой пирамиды…
4. Выражение: «сумма трех измерений квадрата равна квадрат диагонали» принадлежит тому свойству параллелепипед
5. Шесть углов и шесть треугольников, этот многогранник –
6. Какие равносторонние фигуры входят в тетраэдер:
7. В каком многогранники нет центра симметрии:
8. Фигура: четырехугольная призма, основание – параллелограмм:
— ничего из предложенного
9. Многогранники могут быть:
тест 10. Выберите правильный вариант ответа
+ концы ребер многоугольника называют вершинами
— концы ребер многоугольников называют основой
— началом ребер многоугольников называют вершинами
— началом ребер многоугольников называют основанием
11. Основание призмы:
+ параллельны и равны
— пересекаются и равны
— скрещиваются и равны
12. Призма, в которой боковые ребра параллельны ее высоте:
13. Прямой треугольник с катетами 8 и 6 см – основание. Отыщите площадь боковой поверхности призмы, учитывая, что, если самая большая боковая грань – квадрат.
14. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см – основание прямо призмы. Необходимо найти площадь боковой поверхности призмы, меньшая грань – квадрат.
15. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и высоту пирамиды
17. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Нужно построить сечение тетраэдра, которое будет проходить через середину ребра DA параллельно плоскости DBC. Найдите площадь сечения.
18. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Нужно построить сечение тетраэдра, которое будет проходить через середину ребра АВ и DA параллельно ребру ВС. Найдите площадь сечения.
24. Ребро куба ABCDA1E1C1 равно а. Выстройте сечение куба, проходящее через точку С и середину ребра AD параллельно прямой DA1. S этого сечения?
25. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Вычислите S полной поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, — квадрат.
26. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 13 см. Наименьшее сечение призмы, проходящее через ее боковое ребро, является квадратом. Найдите S полн. поверхн. призмы.
27. Основание пирамиды — ромб с большей диагональю d и острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите S полной поверхности пирамиды.
— (D6/2*tg a) / 2 *(1: cos B + 1)
+ (D2/2*tg a) / 2 *(1: cos B + 1)
— (D2/2*tg a) / 2 *(4: cos B + 1)
— (D2/2*tg a) / 2 *(1: cos B + 2)
28. Основание пирамиды — ромб с тупым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите S полной поверхности пирамиды, если ее высота равна Н.
— ((4H2 ctg4 B)/ sin A) * (1+(1/ cos B))
— ((4H2 ctg2 B)/ sin A) * (1+(3/ cos B))
+ ((4H2 ctg2 B)/ sin A) * (1+(1/ cos B))
— ((4H4 ctg2 B)/ sin A) * (1+(1/ cos B))
29. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер АА1, В1С1 и CD, и найдите площадь этого сечения.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 13. Многогранники
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.
Ребра многогранника – стороны граней многогранника.
Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).
Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.
Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.
Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)
Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО, 2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)
Открытые электронные ресурсы:
Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал Квант.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.
Б)
Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника
Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.
Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)
Рисунок 2 – изображение октаэдра
Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).
Рисунок 3 – Виды многогранников
Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника
Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника
Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.
Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.
Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.
Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид
Б) пространственная фигура
Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б
