Какое наименьшее число коней может побить все поля шахматной доски
Решение олимпиадных задач
Принцип узких мест
Где тонко, там и рвется.
Решать нестандартную задачу — все равно, что идти через дикий лес. Можно, конечно, выбирать дорогу наугад, но, тогда скорее всего бу дешь попадать то в непроходимую чащу, то в болото. Придется ходить туда-сюда, но даже если повезет и пройдешь куда надо, то зря потратишь много времени и сил. Гораздо легче идти, если есть хоть какой-то ориентир. Скажем, забрался на горку и увидел, что надо обязательно перейти реку, а брод только во-о-о-н там. Это, конеч но, уменьшает свободу выбора пути, но зато из бавляет от ненужных блужданий.
Вот и в задачах, где строят и исследуют кон струкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора — наименьшая. Именно это мы и назовем узким мес том. Ясно, что от узкого места быстрее дойти до противоречия или легче построить заметный кусок возможной конструкции.
Давайте посмотрим, где можно выявить уз кие места и использовать их для решения за дач. Наряду с интуицией на помощь приходят известные приемы решения задач: соображения непрерывности, принцип крайнего, раскраска, принцип Дирихле, аналогия, инвариант, мини мальный контрпример. Чтобы подчеркнуть особенности каждого из приемов для поиска узких мест, мы сгруппируем задачи по небольшим главам.
Изложение ведется в основном путем разбора задач, называемых примерами. А вот упражне ния и задачи остаются читателю для самостоя тельного решения.
Ищи главное препятствие
Кто нам мешает, тот нам и поможет.
К/ф «Кавказская пленница»
Самая главная идея: поглядеть на задачу «сверху». Если удастся понять, где нам будет всего труднее, то начать нужно именно с попыт ки преодоления этой трудности.
Пример 1. Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на равнобедренные треугольни ки с углом 40° при основании?
Анализ и решение. Узким местом, очевидно, будет угол прямоугольника. Его надо сложить из углов треугольников. Однако есть только углы в 40° (при основании) и 100° (при вершине тре угольника). Из них прямой угол не сложишь. Значит, и весь прямоугольник на такие треугольники разрезать нельзя.
Если узкое место не находится в требуемой задачей конструкции, стоит поискать его в кон струкции нашего подхода к задаче. Говоря об разно, если не видно узкого места в лесу, то мы смотрим не с той горки (дерева) или не в ту сто рону. Для начала надо будет поискать лучший обзор: вот при решении такой предварительной задачи и может возникнуть узкое место.
Пример 2. Несколько ученых переехали из страны А в страну В. Мог ли в результате сред ний IQ (коэффициент интеллекта) в обеих стра нах увеличиться?
Анализ и решение. На первый взгляд — нет, ведь «если в одно месте прибыло, то в другом должно убыть». Но это касается только суммы, среднее ведет себя хитрее. Узкое место: понять, как оно себя ведет. Достаточно, впрочем, заме тить, что повысить средний IQ в стране В мож но, принимая ученых с IQ выше среднего. И наоборот, чтобы повысить средний IQ в стра не А, надо избавляться от людей с IQ ниже сред него! Такое возможно, если средний IQ вА выше среднего и В: организуем переезд ученых с IQ из зазора между средними.
Попробуйте ответить на более хитрый вопрос.
Задача 1. Возможно ли повышение IQ в обе их странах, если там нет ни одного человека, чей IQ попадал бы в зазор между средними IQ в этих странах?
Если конструкций много, то полезно поискать общее узкое место. Это может сработать не только при доказательстве невозможности, но и при построении способа. Классический при мер: для противодействия всем планам вторжения — взрываем все мосты!
Пример 3. На бесконечном листе клетчатой бумаги играют двое, ходят по очереди. Своим ходом можно выбрать любую незакрашенную сторону клетки и покрасить ее в любой цвет (чис ло цветов неограниченно). Первый выиграет, если после его хода образуется замкнутая лома ная, где все звенья окрашены в разные цвета. Может ли второй ему помешать?
Задача 2. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Задача 3. На бесконечной клетчатой доске двое играют в крестики-нолики по обычным правилам: выигрывает тот, кто первым выстроит 5 своих знаков в ряд по вертикали или горизонтали (ряд по диагонали не считается). Докажите, что второй может гарантировать себе как минимум ничью.
Засада на переправе (непрерывность обычная и дискретная)
Сколь ни вдоль, а поперек изволь.
Если объекты или ситуации задачи можно разделить на две категории («два берега») и если путь начинается на одном берегу, а заканчивается на другом, то неизбежно придется переправляться. Часто именно это оказывается узким местом. Надо только убедиться, что не удастся переправиться, не замочив ног. В частности, если некоторая величина принимает целочисленные значения, изменяется на каждом шаге не более чем на 1 и в процессе меняет знак, то она обязательно проходит через 0. Такая величина называется дискретной, а прием решения — дискретной непрерывностью. Здесь положительные значения — один берег, отрицательные — другой, значение 0 — речка. Решение задачи этим методом сводится к нахождению подходящей дискретной величины (подходящей в том смысле, что прохождение через 0 дает то, что требуется) и проверке, что путь проходит через точки обоих берегов.
Анализ. Процесс очевиден: выход журнала. Берега тоже: один — номера журнала, меньшие года выхода, другой — большие. За дискретную величину естественно взять разность номера журнала и года выхода: разность 0 доказывает утверждение. Ясно, что разность меняется на 1 в моменты выхода журнала или смены года. Ясно также, что сейчас она отрицательна, а лет через 1000 с хвостиком станет положительной. Значит, момент равенства года и номера все-таки наступит.
В предыдущем примере у нас изначально были две величины, и естественно было делить на берега так: на одном первая больше, на другом — вторая. Чаще, однако, такие величины приходится вводить самим: в этом и состоит искусство! Разумеется, если величина нецелочисленная, но изменяется непрерывно между двумя значениями, она обязана принять и все промежуточные значения.
Пример 5. В противоположных углах квадратного пруда со стороной 100 м сидели два гуся. Поплавав по пруду, они оказались в двух других противоположных углах. Докажите, что в некоторый момент расстояние между кончиками их клювов было ровно 110 м.
Анализ. Естественно разделить все расположения пары гусей на два «берега»: когда расстояние между ними больше 100 м и когда меньше. Начальное расстояние — это примерно диагональ квадрата, оно явно больше 110 м. Правда, и конечное расстояние больше 110 м. Однако переплывая в другие углы, гусям придется приблизиться друг к другу. Попробуем поймать момент, когда они будут ближе 110 м друг к другу. Узкое место — ширина пруда (от стороны до стороны): когда гуси напротив друг друга, расстояние между ними не больше ширины.
Решение. Пусть гуси изначально сидели в углах А и С квадрата АВС.О, а в конце концов оказались в углах В та О соответственно. Вначале один гусь был ближе к стороне ВС, а в конце — другой. Значит, был момент, когда расстояния до ВС были одинаковы. В этот момент отрезок, соединяющий их носы, был параллелен стороне ВС, его длина была меньше ВС и меньше 110 м. А в начальный момент расстояние это было больше 110 м. По непрерывности между этими моментами был момент, когда расстояние было равно 110 м.
В предыдущем примере нам самим пришлось «строить берега». Бывает и наоборот: «берега» есть, а процесса нет. Тогда его надо организовать, причем так, чтобы «на переправе» был достигнут нужный эффект.
Пример 6. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся точки разного цвета на расстоянии 1.
Анализ. Берега очевидны: цвета. Организуем процесс перехода с одного берега на другой. Можно пройти между точками разного цвета по прямой или по непрерывной кривой, цвет сменится, но как обеспечить расстояние 1? Идея: будем идти шагами длины 1.
Решение. Выберем две точки А и В разного цвета и пройдем из А в В шагами длины 1. Это можно сделать, например, идя от А к В по прямой с шагом 1. Если же для последнего шага останется отрезок СВ, короче 1, то построим равнобедренный треугольник СОВ со сторонами СО = ВВ = 1 и сделаем вместо шага С В два шага: СО и ОБ. Проследим за цветом точек, по которым шагаем. На каком-то шаге цвет сменится? Начало и конец шага и дадут искомые точки.
Зная, что узким местом конструкции является переправа, будем доказывать ее неизбежность — при доказательстве невозможности. Наоборот, при построении примера нужно так строить берега, чтоб они не соприкасались и переправ не возникало.
Пример 7. Можно ли расставить в таблице 8×8 числа от 1 до 64 так, чтобы ни в какой паре клеток с общей стороной или вершиной сумма не делилась: а) на 3; б) на 4?
Анализ. Ясно, что можно заменить все числа на остатки по соответствующему модулю. То есть в (а) можно расставлять О, 1 и 2 (причем единиц на одну больше, чем нулей или двоек), а в (б) — О, 1, 2 и 3 (всех поровну).
Решение, а) Надо избегать ставить нули рядом, их придется разбросать изолированными «озерками», окруженными единицами и двойками. Можно ли избежать соприкосновения единицы и двойки? Нет: «берег единиц» сомкнется с «берегом двоек», так как «речку» из нулей между ними построить нельзя.
б) Нельзя ставить нули рядом с нулями и двойки рядом с двойками. Расположим их изолированными «озерками». Остаются единицы и тройки. Можно ли их отделить друг от друга? Да, ибо теперь мы можем построить «речку», чередуя нули и двойки.
Задача 4. На доске 4×4 расставляются 16 шахматных коней четырех мастей — вороные, соловые, гнедые и каурые. Существует ли такая расстановка коней, в которой вороные не бьют соловых, соловые — гнедых, гнедые — каурых, а каурые — вороных?
Задача 5. Найдутся ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?
Задача 6. Есть несколько кусков сыра разного веса и разной цены за килограмм. Докажите, что можно разрезать не более двух кусков так, что после этого можно будет разложить все куски на кучки одинакового веса и одинаковой стоимости.
Узкие места — в первую очередь (принцип крайнего)
Век свободы не видать.
Принцип крайнего советует обратить внимание в первую очередь на объекты «с краю», где край понимается в геометрическом или арифметическом (максимум, минимум) смысле. Узкое место является крайним в том смысле, что там степень свободы — наименьшая. Оно вполне может в геометрическом или каком-то другом естественном смысле оказаться посередине. В этом случае бездумное применение принципа крайнего к успеху не приведет. Более подробно см. в [6].
Подсчет узких мест (раскраска и принцип Дирихле)
Каждому пассажиру — по мягкому месту.
Сколько пассажиров может перевезти поезд — зависит от числа мест. А как быстро пассажиры смогут высадиться — зависит от числа дверей. Точно так же и в задаче можно получить искомую оценку, выделив узкие места и подсчитав их количество.
Пример 8. Дан правильный треугольник. Каким наименьшим числом меньших правильных треугольников его можно покрыть?
Анализ. Накрыв почти весь треугольник чуть меньшим, мы быстро обнаружим, что оставшуюся узенькую полоску или даже просто сторону исходного треугольникам одним меньшим треугольником накрыть нельзя. Итак, стороны — узкое место, но для подсчета они не годятся: ведь можно накрывать стороны и по частям. Заметим, однако, что мы не можем накрыть оба конца стороны (то есть две вершины) одновременно. Вот оно — узкое место!
Решение. Каждый меньший треугольник может накрыть максимум одну из вершин исходного, поэтому понадобится не менее трех треугольников. Пример с накрытием тремя треугольниками легко строится.
В примере выше вершины уже сами по себе стояли особняком. Если таких явно выделенных объектов нет, бывает удобно самим выделить часть из группы однородных объектов — например, покрасить часть клеток доски.
Пример 9. Докажите, что 11 коней не могут побить все оставшиеся поля шахматной доски.