какое наибольшее количество ладей можно расставить на шахматной доске чтобы они не били друг друга
Какое наибольшее количество ладей можно расставить на шахматной доске чтобы они не били друг друга
А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?
Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все свободные клетки оказались под боем?
Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
а) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одной ладьи. Поэтому ладей не более восьми. Можно, например, поставить их в каждую клетку главной диагонали. Тогда их ровно 8 и никакие две не бьют друг друга.
б) Разобьем доску на 16 квадратов 2 на 2. Ясно, что каждый такой квадрат может содержать не более одного короля. Значит, всего можно разместить не более 16 королей. Пример годится, например, такой: ставим по королю в левый нижний угол каждого из квадратов 2 на 2.
в) Расширим шахматную доску до размеров 9Х9, добавив мысленно вертикаль справа и горизонталь сверху. Разобьем полученную доску на 9 квадратов 3Х3. Поставим в центр каждого из квадратов по королю. Тогда все клетки доски 9Х9, а значит, и исходной доски оказались под боем. Видно, что эти 9 королей попали и на исходную доску, поэтому 9 королей хватит.
Докажем, что 8 королей не хватит. Рассмотрим первые две горизонтали. На них должно располагаться не менее трех королей (иначе какие-то поля первой горизонтали не будут биты). Рассмотрим седьмую и восьмую горизонтали. Аналогично на них должно стоять не менее трех королей. Теперь рассмотрим 4 и 5 горизонтали. На них должно стоять тоже не менее трех королей, иначе не будут биты, например, все поля на 4й горизонтали. Таким образом, королей должно быть не менее 9.
г) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одного ферзя. Поэтому ферзей не более восьми.
Приведем пример: поставим ферзей в клетки 
Ответ: а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.
откуда 
Тогда они не бьют клетки на остальных вертикалях и горизонталях, то есть 
клеток. Разберем случаи.
или 
Тогда 
или 
и ладьи бьют всю доску.
или 
Тогда 
или 
и непобитых клеток не более 
Тогда 
и равенство возможно при 
Пример — ладьи занимают любые 8 клеток в выбранном на доске квадрате 
где a — номер столбца, а b — номер строки (номера считаются слева направо и сверху вниз от 1 до 8). Поскольку ладьи не бьют друг друга, то в роли a и b побывают все числа от 1 до 8. Значит, общая сумма чисел всегда одна и та же и составляет