какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной
Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной
А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?
Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все свободные клетки оказались под боем?
Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?
а) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одной ладьи. Поэтому ладей не более восьми. Можно, например, поставить их в каждую клетку главной диагонали. Тогда их ровно 8 и никакие две не бьют друг друга.
б) Разобьем доску на 16 квадратов 2 на 2. Ясно, что каждый такой квадрат может содержать не более одного короля. Значит, всего можно разместить не более 16 королей. Пример годится, например, такой: ставим по королю в левый нижний угол каждого из квадратов 2 на 2.
в) Расширим шахматную доску до размеров 9Х9, добавив мысленно вертикаль справа и горизонталь сверху. Разобьем полученную доску на 9 квадратов 3Х3. Поставим в центр каждого из квадратов по королю. Тогда все клетки доски 9Х9, а значит, и исходной доски оказались под боем. Видно, что эти 9 королей попали и на исходную доску, поэтому 9 королей хватит.
Докажем, что 8 королей не хватит. Рассмотрим первые две горизонтали. На них должно располагаться не менее трех королей (иначе какие-то поля первой горизонтали не будут биты). Рассмотрим седьмую и восьмую горизонтали. Аналогично на них должно стоять не менее трех королей. Теперь рассмотрим 4 и 5 горизонтали. На них должно стоять тоже не менее трех королей, иначе не будут биты, например, все поля на 4й горизонтали. Таким образом, королей должно быть не менее 9.
г) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одного ферзя. Поэтому ферзей не более восьми.
Приведем пример: поставим ферзей в клетки 
Ответ: а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); Какое наибольшее количество королейКакое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы ровно половина из них не угрожала никому из остальных? Решение. Пусть на доске уже расставлено несколько королей с соблюдением указанных условий. Будем считать белыми королей, которые никому не угрожают (значит, и им никто не угрожает), а черными — королей, которые кому-то угрожают (следовательно, им угрожают только другие черные короли). Заметим, что можно расставить 24 короля (по 12 каждого цвета). Один из способов (здесь белые и черные короли обозначены буквами «Б» и «Ч» соответственно) показан на рисунке: Докажем, что число королей каждого цвета не может превышать 12. Допустим обратное — что королей каждого цвета может быть не меньше 13. Разобьем доску на 16 квадратов 2×2. Заметим, что в каждом квадрате может стоять не более одного белого короля (иначе какие-то два будут угрожать друг другу). При этом, если в квадрате стоит белый король, то ни одного черного короля в этом же квадрате быть не может. Если в 16 квадратах 2×2 содержится в общей сложности не менее 13 белых королей, причем в каждом квадрате — не более одного короля, то квадратов, не содержащих белых королей, не более 3. В каждом из таких «свободных» квадратов может находиться не более четырех черных королей, а всего — не более 12, а должно быть не меньше 13. Противоречие. Следовательно, предположение было неверным, и расставить больше 12 королей каждого цвета нельзя. Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной
б) Можно. Например, так.
Новые задачи. Разнобой.188. Можно ли числа от 1 до 17 выписать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была простым числом? 189. Как посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 прямых рядов по три дерева в каждом? 190. Во фразе, взятой в кавычки, подставьте вместо многоточий числа так, чтобы она оказалась верной. 191. Два человека бегут вниз по ступеням эскалатора метро, идущего вниз. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступенек? 192. В квадрате 3 x 3 находится 9 лампочек. За одну операцию можно переключить все лампочки, находящиеся в каком-нибудь квадрате 2 x 2. Сколько различных узоров можно получить из погасшего» состояния? 193. Можно ли в вершинах и на серединах сторон правильного восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах любой стороны равнялась числу в его середине? Каждое из чисел можно использовать ровно 1 раз. 195. На доске выписаны целые числа от 1 до 14, каждое по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма точный квадрат, то выигрывает второй, иначе первый. Кто выигрывает при правильной игре? |
| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Книги ≫ Глава 9. Независимость н доминирование шахматных фигур / Математика на шахматной доске // Гик Е. Я. |
Глава 9. Независимость н доминирование шахматных фигур / Математика на шахматной доскеГик Е. Я.Глава 9. Независимость и доминирование шахматных фигурМножество очень интересных и красивых задач на шахматной доске возникает при решении двух следующих комбинаторных проблем. 1. Какое максимальное число одноименных фигур (ферзей, ладей, слонов, коней или королей) можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие две из них не угрожали друг другу? 2. Какое минимальное число одноименных фигур (ферзей, ладей, слонов, коней или королей) можно расставить на шахматной доске так, чтобы они держали под обстрелом все свободные поля доски? Здесь мы имеем явную аналогию с рядом важных задач из теории графов. Чтобы убедиться в этом, приведем следующие определения. Множество вершин графа называется независимым, если никакие две из них не соединены между собой ребром. Среди независимых множеств существует хотя бы одно «максимально независимое», содержащее максимальное число вершин. Это число называется числом независимости для данного графа (или числом его внешней устойчивости). Множество вершин графа называется доминирующим, если каждая вершина вне этого множества соединена ребром хотя бы с одной вершиной, принадлежащей ему. Среди доминирующих множеств существует хотя бы одно «минимально доминирующее», содержащее минимальное число вершин. Это число называется числом доминирования для данного графа (или числом его внутренней устойчивости)36. Остановимся теперь на каждой из шахматных фигур в отдельности. 1. Ферзь. Число независимости для ферзей на любой доске n×n найдено в предыдущей главе, имеем N2(Ф) = 1, N3(Ф) = 2, Nn(Ф) = n (n ≠ 2, 3). Формула для числа соответствующих расстановок в общем случае не известна. На обычной доске, как мы знаем, кожно расставить восемь независимых ферзей (рис. 43), причем существуют 92 различные расстановки. Число доминирования для ферзей на обычной доске, как, впрочем, и на досках 9×9, 10×10 и 11×11 (рис. 35, 39), равно пяти. Существует 4860 способов для расстановки пяти «ферзей-часовых» на доске 8×8. Как уже говори л ось, в общем случае формулу для Dn (Ф) никому найти не удалось (тем более неизвестно и число решений). Какое наибольшее количество шахматных королей можно поставить на маленькую шахматную доску 5х5 клеток чтобы они не били друг друга?Какое наибольшее количество шахматных королей можно поставить на маленькую шахматную доску 5х5 клеток чтобы они не били друг друга.
Новая шахматная фигура Магараджа может бить клетки и как ферзь, и как конь?Новая шахматная фигура Магараджа может бить клетки и как ферзь, и как конь. Какое наибольшее количество Магараджей можно расставить на доске 6 × 6 так, чтобы они не били друг друга?
Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга?Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга? Напомним, что король бьет все клетки, являющиеся соседними (по вершине или по стороне) с той, на которой стоит король.
На шахматной доске 8 рядов клеток, по 8 клеток в каждом ряду?На шахматной доске 8 рядов клеток, по 8 клеток в каждом ряду. На сколько клеток разделена доска?
Помогите срочно?Какое наибольшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга!
Сколько на шахматной доске белых и чёрных клеток?Сколько на шахматной доске белых и чёрных клеток?
На шахматной доске 9х9 2 короля поставлены так, чтобы не смогли сьесть друг друга, один стоит в центре, а другой в другом конце доски, кто выиграет?На шахматной доске 9х9 2 короля поставлены так, чтобы не смогли сьесть друг друга, один стоит в центре, а другой в другом конце доски, кто выиграет?
Сколько всего клеток на шахматной доске?Сколько всего клеток на шахматной доске?
Сколькими способами на шахматной доске 8 * 8 клеток можно расставить 8 не бьющих друг друга ладей?Сколькими способами на шахматной доске 8 * 8 клеток можно расставить 8 не бьющих друг друга ладей.
Каждая клетка шахматной доски является квадратом в 3см?Каждая клетка шахматной доски является квадратом в 3см. Определить площадь всей шахматной доски ; только чёрных клеток.
Какое наибольшее количество коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?Какое наибольшее количество коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
20×43. 7(т. к. Минус на минус будет плюс) 20×43. 7 = 874 и затем 53. 2 + 874 = 927, 2 ответ : 927, 2.
Надеюсь разберешь, если нет то напиши комментарий.
Равно 5 сантиметрів.
|
