какое множество называется замкнутым

Замкнутое множество

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства дополнение к которому открыто.

Содержание

Определение

Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое что .

Замыкание

Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество содержащее .

Замыкание множества обычно обозначается , или ; последнее обозначение используется если надо подчеркнуть что рассматривается как множество в пространстве .

Свойства

Примеры

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Замкнутое множество» в других словарях:

замкнутое множество — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN closed set … Справочник технического переводчика

ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО — в топологическом пространстве множество, содержащее все свои предельные точки. Таким образом, все точки дополнения к 3. м. внутренние, и потому 3. м. можно определить как дополнение к открытому. Понятие 3. м. лежит в основе определения топологич … Математическая энциклопедия

ОТНОСИТЕЛЬНО ОТКРЫТОЕ (ЗАМКНУТОЕ) МНОЖЕСТВО — множество, открытое (замкнутое) относительно нек рого множества Е, множество Мтопологич. пространства Xтакое, что (черта сверху означает операцию замыкания). Для того чтобы нек рое множество было открытым (замкнутым) относительно Е, необходимо и… … Математическая энциклопедия

ОТКРЫТО-ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО — подмножество топологич. пространства, одновременно открытое и замкнутое в нем. Топологич. пространство Xнесвязно тогда и только тогда, когда в нем имеется отличное от Xи от О. з. м. Если семейство всех О. з. м. топологич. пространства является… … Математическая энциклопедия

Замкнутое отображение — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Замкнутое подмножество — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Множество второй категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Множество первой категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Замкнутое пространство — Для одноимённого математического понятия, смотрите Замкнутое множество и Пространство (математика) Ливневая канализация … Википедия

Источник

Математика, физика на «отлично»

Открытые и замкнутые множества

В курсе математического анализа на первом курсе ВУЗов встречается много непонятного и непривычного. Одна из первых таких «новых» тем — это открытые и замкнутые множества. Постараемся дать пояснения по данной тематике.

Перед тем, как приступить к постановке определений и задач, напомним значение используемых обозначений и кванторов :
∈ — принадлежит
∅ — пустое множество
Ε — множество действительных чисел
х* — закреплённая точка
А* — множество граничных точек
: — такое, что
⇒ — следовательно
∀ — для каждого
∃ — существует
U_ε(х) — окрестность х по ε
Uº_ε(х) — проколотая окрестность х по ε

Итак,
Определение 1: Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М
С помощью кванторов определение запишется следующим образом:
М ∈ Ε — открытое, если ∀ у∈М ∃ ε>0 : U_ε(y) Определение 2: Точка x* ∈ E называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки х содержатся точки как из множества М, так и из его дополнения.
Теперь с помощью кванторов:
х*∈ E — граничная точка, если ∀U_ε(x) ∩ М ≠ ∅ и ∀U_ε(x) ∩ Е\М

Определение 3: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример — отрезок [a, b]

Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).

Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.

Теорема 1: Пусть множество А — открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = Е\А
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В — незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит — принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д.
В кванторах доказательство можно записать короче:
Предположим, что В — незамкнутое, тогда:
(1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — замкнутое, ч. т. д.

Теорема 2: Пусть множество А — замкнутое. Тогда дополнение к множеству А является открытым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = Е\А
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В — замкнутое множество. Тогда любая граничная точка лежит в В. Но так как А — также замкнутое множество, то все граничные точки принадлежат и ему. Однако точка не может одновременно принадлежать множеству и его дополнению. Противоречие. В — открытое множество, ч. т. д.
В кванторах это выглядеть будет следующим образом:
Предположим, что В — замкнутое, тогда:
(1) ∀ х∈А*:х∈A (из условия)
(1) ∀ х∈А*:х∈В (из предположения)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — открытое, ч. т. д.

Теорема 3: Пусть множество А — замкнутое и открытое. Тогда А = Е или А = ∅
Доказательство: Начнём записывать подробно, но сразу использую кванторы.
Предположим, что множество С — замкнутое и открытое, причём С ≠ ∅ и С ≠ Е. Тогда очевидно, что С ⊆ Е.
(1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀U_ε(x) ∩ Е\С ≠ ∅ (определение граничной точки, которая принадлежит С)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ⊂ В (определение открытого множества С)
Из (1) и (2) следует, что Е\С ∩ С ≠ ∅, но это неверно. Противоречие. С не может быть одновременно и открытым, и замкнутым, ч. т. д.

Математический анализ — это фундаментальная математика, сложная и непривычная для нас. Но надеюсь, что-то стало понятнее после прочтения статьи. В добрый путь!

Источник

Замкнутые и открытые множества

Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал — открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

4. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Можно показать, что множество имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

Источник

Какое множество называется замкнутым

Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Мы познакомим читателя с этой теорией на двух примерах. Именно, мы изучим здесь свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельпой точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым, если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал — открытое множество. Несобственные полуинтервалы

замкнуты, а несобственные интервалы открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку которая принадлежит множеству.

Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть Е — произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества Е и обозначим через множество всех точек на прямой, не принадлежащих множеству Е. Ясно, что если х есть внешняя точка для Е, то она является внутренней точкой для множества и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F — замкнутое множество. Интервал обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству а точки а и принадлежат называется смежным интервалом множества . К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или если точка а или точка принадлежит множеству а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка х не принадлежит замкнутому множеству то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества расположенную правее точки х. Так как сама точка х не принадлежит множеству то можно представить в форме пересечения

Каждое из множеств F замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал принадлежит множеству Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале то оно ограничено снизу. Обозначим через его нижнюю грань. Согласно предложению а значит . Далее, так как есть нижняя грань множества , то полуинтервал лежащий левее точки не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества Итак, мы построили полуинтервал не содержащий точек множества причем либо либо точка принадлежит множеству Аналогично строится полуинтервал не содержащий точек множества причем либо либо а Теперь ясно, что интервал содержит точку х и является смежным интервалом множества Легко видеть, что если — два смежных интервала множества то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой — счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов более чем счетно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество. Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок [0, 1]. Далее, удалим из этого отрезка интервал составляющий его среднюю треть.

Из каждого из оставшихся двух отрезков удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой Р.

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество Р замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого множества непересекающихся интервалов. Множество Р не пустот во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество F называется совершенным, если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество Р совершенно. Действительно, если бы некоторая точка х была изолированной точкой множества Р, то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества Р не имеют общих концов.

Множество Р не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству Р. Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на шаге построения множества Р. Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к пулю.

Можно показать, что множество Р имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных мпожеств в классических разделах анализа. Пусть — непрерывная функция, заданная на отрезке Зафиксируем число а и рассмотрим множество тех точек х, для которых Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке Точно так же множество точек х, для которых может быть каким угодно открытым множеством Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке то множество тех точек х, где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств. Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам — Н. Н. Лузину и его ученикам П. С. Александрову, М. Я. Суслину, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьеву, П. С. Новикову, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунову и др.

Исследования Н. Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

Источник