какое минимальное количество точек определяет плоскость
Плоскость в пространстве – необходимые сведения
Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.
Понятие плоскости и ее обозначения
Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.
В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.
Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.
Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.
Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга
Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:
В любой плоскости есть точки.
Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.
Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:
Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.
Графически последнюю аксиому можно представить так:
Варианты взаимного расположения прямой и плоскости
Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:
Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.
Графически этот вариант расположения выглядит так:
Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.
Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.
Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:
Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.
Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.
Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга
1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.
2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:
Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.
На графике это будет выглядеть так:
В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.
3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.
Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.
Как задать плоскость в пространстве
В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.
1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.
Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:
2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:
3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:
4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.
На рисунке этот способ будет выглядеть так:
Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:
Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.
Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).
Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:
Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.
Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.
Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.
Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.
Какое минимальное количество точек определяет плоскость
На плоскости задано множество точек с целочисленными координатами.
Необходимо найти минимально возможную площадь невырожденного (то есть имеющего ненулевую площадь) треугольника, одна вершина которого расположена в начале координат, а две другие лежат на осях координат и при
этом принадлежат заданному множеству. Если такого треугольника не существует, необходимо вывести соответствующее сообщение.
Напишите эффективную, в том числе по используемой памяти, программу для решения этой задачи.
Перед текстом программы кратко опишите алгоритм решения и укажите язык программирования и его версию.
В первой строке задаётся N – количество точек в заданном множестве. Каждая из следующих строк содержит два целых числа – координаты очередной точки.
Пример входных данных:
Если искомый треугольник существует, программа должна напечатать одно число: минимально возможную площадь треугольника, удовлетворяющего условиям. Если искомый треугольник не существует, программа должна напечатать сообщение: «Треугольник не существует».
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:
Очевидно, что вершины невырожденного треугольника должны лежать на разных осях, их координаты должны иметь вид (x, 0) и (0, y). Площадь такого треугольника равна |x| · |y| / 2. Эта площадь будет минимальной при минимально возможных ненулевых значениях |x| и |y|.
Пример правильной программы на Паскале:
for i:=1 to N do begin
((ymin=0) or (abs(y) 0) and
На плоскости дан набор точек с целочисленными координатами. Необходимо найти такой треугольник наибольшей площади с вершинами в этих точках, у которого нет общих точек с осью Ох, а одна из сторон лежит на оси Оу.
Напишите эффективную, в том числе по памяти, программу, которая будет решать эту задачу. Размер памяти, которую использует Ваша программа, не должен зависеть от количества точек.
Перед текстом программы кратко опишите используемый алгоритм решения задачи и укажите используемый язык программирования и его версию.
Описание входных данных
В первой строке вводится одно целое положительное число — количество точек N.
Каждая из следующих N строк содержит два целых числа — сначала координата х, затем координата у очередной точки. Числа разделены пробелом.
Описание выходных данных
Пример входных данных
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных: 22.5
Заметим, что раз искомый треугольник не должен иметь общих точек с осью ОХ, то все его вершины будут одновременно или ниже оси, или выше. Тогда найдём треугольник с максимальной площадью для верхней полуплоскости, для нижней, а потом выберем лучший из них.
Задачи для обеих полуплоскостей решаются аналогично, рассмотрим решение для положительной полуплоскости. Так как две точки будут лежать на оси ОУ, удобнее всего будет считать площадь треугольника по формуле S = a · h / 2, где a — длина основания треугольника, лежащего на оси ОУ, а h — длина перпендикуляра из третьей точки на ось ОУ.
Заметим, что если первые две точки лежат на оси ОУ, то третья точка на ней не лежит, иначе бы треугольник получился вырожденный. Значит, множество точек, подходящих на роль первых двух в этом треугольнике, и множество точек, подходящих на роль третьей точки, не имеют общих точек. Из этого следует, что можно независимо найти для треугольника максимальное основание и максимальную высоту и площадь получившегося треугольника будет максимальна.
Утверждается, что в таком случае в качестве трёх вершин нужно брать точку с нулевой абсциссой и максимальной ординатой, точку с нулевой абсциссой и минимальной ординатой и точку, максимально удалённую от оси ОУ. Не стоит забывать, что рассматривать необходимо только точки с положительной ординатой. Удобно было бы завести массив и три раза по нему пробежаться, но оптимальнее будет искать точки сразу при считывании.
Ниже приведён код решения на языке Pascal версии 2.6.2.
var n, i, x, y, maxPosY, minPosY, maxNegY, minNegY, maxNegAbsX, maxPosAbsX, s : longint;
function max(a, b : longint) : longint;
if a > b then max := a else max := b;
function min(a, b : longint) : longint;
if a > b then min := b else min := a;
if minPosY = 0 then
maxPosY := max(maxPosY, y);
minPosY := min(minPosY, y);
maxPosAbsX := max(maxPosAbsX, abs(x));
На плоскости дан набор точек с целочисленными координатами. Необходимо найти такой треугольник наибольшей площади с вершинами в этих точках, у которого нет общих точек с осью Оу, а одна из сторон лежит на оси Ох.
Напишите эффективную, в том числе по памяти, программу, которая будет решать эту задачу. Размер памяти, которую использует Ваша программа, не должен зависеть от количества точек.
Перед текстом программы кратко опишите используемый алгоритм решения задачи и укажите используемый язык программирования и его версию.
Описание входных данных
В первой строке вводится одно целое положительное число — количество точек N.
Каждая из следующих N строк содержит два целых числа — сначала координата х, затем координата у очередной точки. Числа разделены пробелом.
Описание выходных данных
Программа должна вывести одно число — максимальную площадь треугольника, удовлетворяющего условиям задачи. Если такого треугольника не существует, программа должна вывести ноль.
Пример входных данных:
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:
Заметим, что раз искомый треугольник не должен иметь общих точек с осью ОУ, то все его вершины будут одновременно или слева от оси, или справа. Тогда найдём треугольник с максимальной площадью для левой полуплоскости, для правой, а потом выберем лучший из них.
Задачи для обеих полуплоскостей решаются аналогично, рассмотрим решение для положительной полуплоскости. Так как две точки будут лежать на оси ОХ, удобнее всего будет считать площадь треугольника по формуле S = a · h / 2, где a — длина основания треугольника, лежащего на оси ОХ, а h — длина перпендикуляра из третьей точки на ось ОХ.
Заметим, что если первые две точки лежат на оси ОХ, то третья точка на ней не лежит, иначе бы треугольник получился вырожденный. Значит, множество точек, подходящих на роль первых двух в этом треугольнике, и множество точек, подходящих на роль третьей точки, не имеют общих точек. Из этого следует, что можно независимо найти для треугольника максимальное основание и максимальную высоту и площадь получившегося треугольника будет максимальна.
Утверждается, что в таком случае в качестве трёх вершин нужно брать точку с нулевой ординатой и максимальной абсциссой, точку с нулевой ординатой и минимальной абсциссой и точку, максимально удалённую от оси ОХ. Не стоит забывать, что рассматривать необходимо только точки с положительной ординатой. Удобно было бы завести массив и три раза по нему пробежаться, но оптимальнее будет искать точки сразу при считывании.
Ниже приведён код решения на языке Pascal версии 2.6.2.
var n, i, x, y, maxPosX, minPosX, maxNegX, minNegX, maxNegAbsY, maxPosAbsY, s : longint;
Когда две плоскости пересекаются друг с другом, что лучше всего описывает пересечение?
Когда две плоскости пересекаются, они образуют линию.
Тогда, может ли пересечение двух плоскостей быть точкой?
If две плоскости пересекаются, Они пересекаться в строке. Две плоскости это не пересекаться называются параллельными. Линия и самолет пересекаться в одном точка. Линия и плоскость не пересекаются.
Учитывая это, почему две плоскости пересекаются на одной линии? Если векторы нормалей параллельны, два самолета либо идентичны, либо параллельны. Если векторы нормалей не параллельны, то два самолета встретиться и сделать линия of пересечение, который представляет собой набор точек, которые находятся на обоих самолеты.
Что происходит, когда пересекаются 3 плоскости?
Сформируйте систему с уравнениями самолеты и подсчитайте ранги. Каждая плоскость разрезает две другие по прямой, и они образуют призматическую поверхность. Второй и третий самолеты совпадают, и первый их режет, поэтому три плоскости пересекаются в строке.
Сколько точек в линии?
Что представляет собой фигура из 3-х плоскостей, которые встречаются в точке?
2. Каждый план пересекается точка. 3. Второй и третьи самолеты совпадают, и первый их режет, поэтому три самолета пересекаются по прямой.
Что есть особенный момент?
Две отдельные точки определить ровно одну строку. Если два пунктов линии лежат на плоскости, вся линия лежит на плоскости. Именно это свойство делает самолет «плоским». Два отчетливый линии пересекаются не более чем в одном точка; два отчетливый плоскости пересекаются не более чем по одной линии.
Что является пересечением двух различных непараллельных прямых?
Сколько точек в линии?
Три пунктов, линия (прямой линия) можно рассматривать как связное множество бесконечно много очков. Он распространяется бесконечно далеко в двух противоположных направлениях. А линия имеет бесконечную длину, нулевую ширину и нулевую высоту.
Как вы думаете, как выглядит пересечение двух плоскостей?
Очевидно, что пересечение двух плоскостей ЛИНИЯ. В самолет, три точки Он коллинеарен. Если два из точек Он на одной линии, разве они не линейны?
Две линии пересекаются когда они пересекаются. Они образуют вертикально противоположные углы, о которых мы узнаем позже. Точка, где линии пересекаются is под названием точка пересечение. Если полученные углы являются прямыми, линий Он под названием перпендикуляр линий.
Компланарны ли параллельные линии?
Две линии параллельные линии если они копланарный и не пересекаются. Линии которые не являются копланарный и не пересекаются, называются перекосом линий. Две плоскости, которые не пересекаются, называются параллельно самолеты.
Какое наименьшее количество различных точек может определять плоскость?
Каковы все точки между двумя заданными точками, включая две точки?
В самолете всего 3 точки?
Что такое постулат двух точек?
Компланарны ли три точки?
Копланарные точки Он три или больше пунктов которые все лежат в одной плоскости. Любой набор три очка в космосе копланарный. Набор из четырех пунктов может быть копланарный а может и нет копланарный.
Какое минимальное количество точек необходимо для определения двух различных плоскостей?
Освободи Себя минимальное количество точек, необходимых для определения двух различных плоскостей является 4 пунктов.
Могут ли три плоскости пересекаться в одной точке?
Две самолеты пересекаются, Треть пересекается наклонно и три пересекаются в точка. Каждая пара самолеты пересекаются в строке. В три линии не компланарны и не параллельны, а три линий пересекаться на точка где три самолета делать.
Когда две плоскости пересекаются, их пересечение всегда происходит ровно в одной точке?
Постулат: если две плоскости пересекаются, затем их пересечение это линия. Смысл Q лежит на прямой m и прямой l. Постулат: если два линий пересекаться, затем их пересечение is ровно один балл.
Сколько точек находится на пересечении двух различных линий?
Что такое перпендикулярная линия?
Важно знать о параллельные линии потому что вы собираетесь использовать это через все части геометрии. Технически параллельные линии два копланарный это означает, что они находятся в одной плоскости или находятся в одной плоскости, которая никогда не пересекается. И вы можете определить параллельные линии с одинаковым количеством стрелок.
Что является пересечением двух различных непараллельных прямых?
Находятся ли 4 точки в одной плоскости?
4 балов Он копланарный если объем, созданный пунктов равно 0. Если любые три пунктов определить самолет, затем дополнительные пунктов можно проверить для компланарность путем измерения расстояния до пунктов от плоскости, если расстояние равно 0, то точка is копланарный.
Как найти линию пересечения?
Как найти линию пересечения?
Почему две плоскости пересекаются на одной линии?
Если векторы нормалей параллельны, два самолета либо идентичны, либо параллельны. Если векторы нормалей не параллельны, то два самолета встретиться и сделать линия of пересечение, который представляет собой набор точек, которые находятся на обоих самолеты.
Сколько линий определяется двумя точками?
Поскольку мы дали две точки. И мы знаем определение линии, в котором говорится, что «линия образована две точки и его можно удлинить с обеих сторон ». Итак, От две точки, должна быть 1 строка. Следовательно, одна строка определяется двумя точками.
Что такое пересечение двух линий?
Теперь, где две линии крест называется их точкой пересечение. Конечно, эта точка имеет координаты (x, y). Это одна и та же точка для линии 1 и для линии 2. Итак, в точке пересечение координаты (x, y) для строки 1 равны координатам (x, y) для строки 2.
Какое минимальное количество точек определяет плоскость
1. Окружность, центр которой расположен в первой координатной четверти, касается оси Ox в точке M, пересекает две гиперболы y =
2. Функция f(x;y), определенная на парах действительных чисел, удовлетворяет условиям f(a;a) = 0, f(a;f(b;c)) = f(a;b) + c для любых a, b, c. Найдите f(11;13,6).
3. У Васи есть кубики трех цветов. Он строит из них башню, ставя каждый следующий кубик на предыдущий. Запрещено использовать более 4 кубиков каждого из цветов. Вася заканчивает строить башню, как только в ней окажется по 4 кубиков каких-то двух цветов. Сколько различных башен может построить Вася?
4. В основании треугольной пирамиды DABC лежит равнобедренный остроугольный треугольник ABC (AC=BC). Известно, что CB > AD, а ребро DA перпендикулярно плоскости ABC. Рассматриваются проекции пирамиды DABC на плоскости, содержащие прямую AC. Известно, что наибольшая площадь такой проекции равна 39, наименьшая равна 15, а площадь треугольника ABC равна 36. Найдите объём пирамиды DABC. В ответ запишите квадрат объёма.
7. Медиана AM и высота BH треугольника ABC (H – на стороне AC) пересекаются в точке P. Найдите PH, если AM = BH = 49, MN = 19, где N – точка пересечения продолжения AM с окружностью, описанной около треугольника ABC. В ответ запишите сумму возможных значений PH.
9. Десять неотрицательных чисел таковы, что их сумма равна 4, а сумма их квадратов равна 5,2. Какое наибольшее значение может иметь самое большое из этих чисел?
10. Даны неотрицательные целые числа такие, что 24^a * 6^b * 18^c делится на 6^<100>. Найдите минимальное возможное значение a + b+ c.