какое логическое действие называется инверсией

Какое логическое действие называется инверсией

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

«A → B» истинно, если из А может следовать B.

Обозначение: F = A → B.

Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Источник

Логические операции. ➞ Что такое конъюнкция, дизъюнкция, импликация

Тот, кто хочет подробно разбираться в цифровых технологиях должен понимать основы такой темы, как алгебра логики. В этой статье будут разобраны основные определения, а также показаны самые важные логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.

Основные положения

Для начала следует разобраться, для чего нужна алгебра логики – главным образом, этот раздел математики и информатики, нужен для работы с логическими выражениями и высказываниями.

Логическим высказыванием называется утверждение (или запись), которое мы можем однозначно классифицировать, как истинное или ложное (1 или 0 в информатике).

Примером таким высказываний будут являться:

Логические высказывания делятся на два типа — простые и сложные.

В алгебре логики, как простые, так и сложные высказываниями описываются булевыми выражениями.

Булево выражение – это символическое (знаковое) описание высказывания.

Операции

Ниже рассмотрим основные операции, которые применяются в булевой алгебре. Их хватит, чтобы упростить львиную долю всех выражений, которые Вам встретятся.

Конъюнкция

Конъюнкция (булево умножение) — функция, по своему смыслу приближенная к союзу «И». При выполнении конъюнкции результат истинен (равен 1) тогда и только тогда, когда истинны ВСЕ переменные. Если хотя бы одно из высказываний ложно, то ложно и всё выражение (равно 0).

Функция может работать как с двумя операндами (высказываниями), так и с тремя, четырьмя и т.д. В математике обозначается с помощью знаков ​\( \wedge \) и &. Обозначение в языках программирования AND, &&. Таблица истинности для двух операндов:

Дизъюнкция

Дизъюнкцией называется функция булева сложения. По смыслу дизъюнкция приближена к союзу «ИЛИ». В результате выполнения данной функции результирующие выражение является истинным, когда хотя бы одно из высказываний в этом выражении тоже истинно.

Булево сложение, также как и умножение, может работать с произвольным количеством операндов. В математике обозначается как V, а в программировании с помощью OR или I.

Инверсия

Логическое отрицание – функция, работающая с одним высказыванием, и заменяющая истину на ложь, а ложь на истину. В математике обозначается с помощью черты над значением, а в программирование и информатике с помощью слова NOT.

Импликация

Также называется булевым следованием. В русском языке данной функции соответствует оборот «Если …, то …». Например, если на улице гремит, то стоит пасмурная погода.

Эквивалентность

Булева тождественность или равенство. На простом языке будет обозначено как «… эквивалентно (равно) …». Результат будет истинным тогда, когда все значения в выражении будут иметь одинаковую истинность.

Обозначается с помощью трех черточек или ⟺.

Порядок выполнения операций

Логические операции выполняются в следующем порядке:

Если в формуле указаны скобки, то порядок выполнения действий в скобках точно такой же, как написано выше.

Пример

Дано два отрезка B = [2,10], C = [6,14]. Из предложенных вариантов ответа выберите такой отрезок A, что формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) истинна при любом значении z. Варианты ответа:

Решение: Подставим в уравнение \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) =1 значения B и C и составим таблицу истинности:

Получившаяся формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in [2,10])) \vee (z \in [6,14])=1 \). По условию ​​​\( z \in A \)=1.

Таблица истинности для всех отрезков:

Ответ: A = [3,11].

Заключение

Вот Вы и познакомились с основными логическими операциями и понятиями и знаете, что такое булево сложение и умножение. Если вас заинтересовала данная тема, то можете изучить булевы законы. Эти законы не проходятся в рамках школьной программы и служат для упрощения сложных выражений.

Источник

Какое логическое действие называется инверсией

§ 2. Логические операции. Формализация высказываний

Сейчас мы познакомимся с шестью основными логическими операциями. Каждая из них имеет несколько названий и обозначений.

Названия операции

Возможные обозначения

Конъюнкция, логическое умножение, операция И, операция AND.

`&, ^^, *,` по аналогии с алгебраическим умножением может никак не обозначаться

Дизъюнкция, нестрогая дизъюнкция, логическое сложение, операция ИЛИ, операция OR.

Строгая дизъюнкция, разделительная дизъюнкция, исключающее ИЛИ, сложение по модулю `2`.

Эквивалентность, эквиваленция, равенство, равнозначность.

Импликация, следование, следствие

Теперь для того чтобы строго определить эти логические операции, нам нужно для каждой из них выписать таблицу истинности. Все перечисленные операции кроме отрицания имеют два операнда. Знак операции в выражениях пишется между операндами (как в алгебре чисел). Операция отрицания имеет один операнд и в выражениях записывается либо в виде черты над операндом, либо в виде символа «приставка» слева от операнда.

1) `p` и `q` ложны. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом и его стороны не равны. Это возможная ситуация.

2) `p` – ложно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник не является квадратом, но стороны у него равны. Это возможно (ромб).

3) `p` – истинно, `q` – истинно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом и стороны у него равны. Это возможная ситуация.

4) `p` – истинно, `q` – ложно. Это значит, что четырёхугольник является квадратом, но стороны у него не равны. Это невозможная ситуация.

Очень часто вместо «присвоим логическим переменным эти высказывания» говорят «обозначим высказывания следующим образом». В дальнейшем мы тоже будем использовать этот речевой оборот.

Источник

Учитель информатики

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

§ 1.3. Элементы алгебры логики

Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление

Ключевые слова:

1.3.1. Высказывание

Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами. Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.

Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.

Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.

Относительно предложения «Компьютерная графика — самая интересная тема в курсе школьной информатики» также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно. Подумайте сами почему.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Например, не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл?».

Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков — математики, физики, химии и т. п.

Примерами высказываний могут служить:

Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:

Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные. Например, предложение «X

1.3.2. Логические операции

Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.

Рассмотрим основные логические операции, определённые над высказываниями. Все они соответствуют связкам, употребляемым в естественном языке.

Конъюнкция

Рассмотрим два высказывания: А = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль», В = «Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике». Очевидно, новое высказывание «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.

Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотренных выше высказываний.

Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: И, ∧, •, &.
Например: А И В, А ∧ В, А • В, А&В.

Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы А и В), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: 00, 01, 10, 11. В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

Конъюнкцию также называют логическим умножением.

Дизъюнкция. Инверсия

Рассмотрим два высказывания: А = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу», В = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики». Очевидно, новое высказывание «Идея использова ния в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.

Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотренных выше высказываний.

Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ИЛИ, ∨, |, +. Например: А ИЛИ В, A∨B, А|В, А+В.

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Дизъюнкцию также называют логическим сложением. Подумайте почему.

Инверсия

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Инверсию также называют логическим отрицанием.

Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, «У меня дома нет компьютера». Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке одно и то же, «Я знаю китайский язык». Отрицанием высказывания «Все юноши 8-х классов — отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши 8-х классов — отличники», другими словами, «Не все юноши 8-х классов — отличники».

Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что …», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».

Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения — выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очерёдности: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Изменить порядок выполнения операций можно с помощью расстановки скобок.

Логические операции при выполнении имеют следующий приоритет: ин версия, конъюнкция, дизъюнкция.

1.3.2. Логические операции

Пример 1. Пусть А — «На web-странице встречается слово «крейсер»», В = «На web-странице встречается слово «линкор»». Рассматривается некоторый сегмент сети Интернет, содержащий 5 000 000 web-страниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В — для 4500 страниц, а высказывание A ∨ В — для 7000 страниц. Для какого количества web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание?

Решение. Изобразим множество всех web-страниц рассматриваемого сектора сети Интернет кругом, внутри которого разместим два круга: одному из них соответствует множество web-страниц, где истинно высказывание А, второму — где истинно высказывание В (рис. 1.3).

Изобразим графически множества web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) — в) (рис. 1.4).

Построенные схемы помогут нам ответить на вопросы, содержащиеся в задании.

Выражение А ИЛИ В истинно для 7000 web-страниц, а всего страниц 5 000 000. Следовательно, выражение А ИЛИ В ложно для 4 993 000 web-страниц. Иначе говоря, для 4 993 000 web-страниц истинно выражение НЕ (А ИЛИ В).

Выражение A ∨ В истинно для тех web-страниц, где истинно А (4800), а также тех web-страниц, где истинно В (4500). Если бы все web-страницы были различны, то выражение A ∨ В было бы истинно для 9300 (4800 + 4500) web-страниц. Но, согласно условию, таких web-страниц всего 7000. Это значит, что на 2300 (9300 — 7000) web-страницах встречаются оба слова одновременно. Следовательно, выражение А & В истинно для 2300 web-страниц.

Чтобы выяснить, для скольких web-страниц истинно высказывание А и одновременно ложно высказывание В, следует из 4800 вычесть 2300. Таким образом, высказывание «На web-странице встречается слово «крейсер” И не встречается слово «линкор»» истинно на 2500 web-страницах.

Самостоятельно запишите логическое выражение, соответствующее рассмотренному выше высказыванию.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcoir.edu.ru/) размещён информационный модуль «Высказывание. Простые и сложные высказывания. Основные логические операции». Знакомство с этим ресурсом позволит вам расширить представления по изучаемой теме.

1.3.3. Построение таблиц истинности для логических выражений

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности следует:

Построим таблицу истинности для логического выражения A ∨ А & Б. В нём две переменные, две операции, причём сначала выполняется конъюнкция, а затем — дизъюнкция. Всего в таблице будет четыре столбца:

Наборы входных переменных — это целые числа от 0 до 3, представленные в двухразрядном двоичном коде: 00, 01, 10, 11.

Заполненная таблица истинности имеет вид:

Обратите внимание, что последний столбец (результат) совпал со столбцом А. В таком случае говорят, что логическое выражение A ∨ А & В равносильно логической переменной А.

1.3.4. Свойства логических операций

Рассмотрим основные свойства логических операций, называемых также законами алгебры логики.

1. Переместительный (коммутативный) закон:

2. Сочетательный (ассоциативный) закон:

При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

3. Распределительный (дистрибутивный) закон:

A ∨ (В & С) = (A ∨ В) & (A v С).

4. Закон двойного отрицания:

Двойное отрицание исключает отрицание.

5. Закон исключённого третьего:

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

6. Закон повторения:

7. Законы операций с 0 и 1:

8. Законы общей инверсии:

Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности.

Докажем распределительный закон для логического сложения:

Совпадение значений в столбцах, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона для логического сложения.

Пример 2. Найдём значение логического выражения

Решение. При X = 0 получаем следующее логическое выражение:

Так как логические выражения 0

Элементы алгебры логики. Решение логических задач

Рассмотрим несколько способов решения логических задач.

Задача 1. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:

Бабушка знала, что один из её внуков, назовём его правдивым, оба раза сказал правду; второй, назовём его шутником, оба раза сказал неправду; третий, назовём его хитрецом, один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто из внуков разбил вазу?

Решение. Пусть К = «Коля разбил вазу», В = «Вася разбил вазу», С — «Серёжа разбил вазу». Для решения задачи можно составить таблицу истинности, в которой представить высказывания каждого мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, то чтобы выяснить, кто именно это сделал, достаточно фрагмента таблицы истинности, содержащего наборы значений входных переменных: 001, 010, 100.

Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строку, содержащую в каком-либо порядке три комбинации значений: 00 (слова шутника), 11 (слова правдивого внука), 01 или 10 (слова хитреца). Такая строка отмечена галочкой. Согласно этой строке, вазу разбил Серёжа, он же оказался хитрецом. Шутником оказался Вася. Имя правдивого внука — Коля.

Задача 2. В соревнованиях по гимнастике участвуют Алла, Валя, Сима и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:

По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все они оказались на разных местах? Решение. Рассмотрим простые высказывания:

Так как в каждом из трёх предположений одно из высказываний истинно, а другое ложно, то можно заключить следующее:

Логическое произведение истинных высказываний будет истинным:

На основании распределительного закона преобразуем левую часть этого выражения:

Высказывание C₁ • С₂ означает, что Сима заняла и первое, и второе места. Согласно условию задачи, это высказывание ложно. Ложным является и высказывание В₂ • С₂. Учитывая закон операций с константой 0, запишем:

Дальнейшее преобразование левой части этого равенства и исключение заведомо ложных высказываний дают:

Из последнего равенства следует, что С₁ = 1, Д₃ = 1, А₂ = 1. Это означает, что Сима заняла первое место, Алла — второе, Даша — третье. Следовательно, Валя заняла четвёртое место.

Познакомиться с другими способами решения логических задач, принять участие в интернет-олимпиадах и конкурсах по их решению вы сможете на российской странице международного математического конкурса «Кенгуру» (http://mathkang.ru/).

На сайте http://www.kaser.com/ вы сможете скачать демонстрационную версию очень полезной, развивающей логику и умение рассуждать логической головоломки Шерлок.

Логические элементы

Алгебра логики — раздел математики, играющий важную роль в конструировании автоматических устройств, разработке аппаратных и программных средств информационных и коммуникационных технологий.

Вы уже знаете, что любая информация может быть представлена в дискретной форме — в виде фиксированного набора отдельных значений. Устройства, которые обрабатывают такие значения (сигналы), называются дискретными. Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом.

На рис. 1.5 приведены условные обозначения (схемы) логических элементов, реализующих логическое умножение, логическое сложение и инверсию.

Логический элемент И (конъюнктор) реализует операцию логического умножения (рис. 1.5, а). Единица на выходе этого элемента появится только тогда, когда на всех входах будут единицы.

Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) реализует операцию логического сложения (рис. 1.5, б). Если хотя бы на одном входе будет единица, то на выходе элемента также будет единица.

Логический элемент НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания (рис. 1.5, в). Если на входе элемента 0, то на выходе 1 и наоборот.

Компьютерные устройства, производящие операции над двоичными числами, и ячейки, хранящие данные, представляют собой электронные схемы, состоящие из отдельных логических элементов. Более подробно эти вопросы будут раскрыты в курсе информатики 10-11 классов.

Пример 3. Проанализируем электронную схему, т. е. выясним, какой сигнал должен быть на выходе F при каждом возможном наборе сигналов A и B на входах.

Решение. Все возможные комбинации сигналов А и Б на входах внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную 4 схему.

Таблицу истинности можно построить и по логическому выражению, соответствующему электронной схеме. Последний логический элемент в рассматриваемой схеме — конъюнктор. В него поступают сигналы от входа А и от инвертора. В свою очередь, в инвертор поступает сигнал от входа В. Таким образом,

Составить более полное представление о логических элементах и электронных схемах вам поможет работа с тренажёром «Логика» (http://kpolyakov.narod.ru/prog/logic.htm).

Элементы алгебры логики. Самое главное

Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Основные логические операции, определённые над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Таблицы истинности для основных логических операций:

При вычислении логических выражений сначала выполняются действия в скобках. Приоритет выполнения логических операций:

§ 1.3. Элементы алгебры логики

§ 2.1. Алгоритмы и исполнители

Источник