какое геометрическое тело называется многогранником

Многогранник

Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда также называют тело ограниченное этой поверхностью.

Содержание

Определение

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, то есть граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Варианты значения

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела.

Связанные определения

Выпуклый многогранник

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.

Вариации и обобщения

Примечания

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Многогранник» в других словарях:

многогранник — многогранник … Орфографический словарь-справочник

МНОГОГРАННИК — геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т.… … Большой Энциклопедический словарь

многогранник — полиэдр, политоп; симплекс Словарь русских синонимов. многогранник сущ. • полиэдр Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 … Словарь синонимов

МНОГОГРАННИК — МНОГОГРАННИК, многогранника, муж. (мат.). Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими прямолинейными гранями (треугольниками, четырехугольниками и т.д.). Правильный многогранник. || Такое же тело, ограниченное более, чем четырьмя… … Толковый словарь Ушакова

МНОГОГРАННИК — МНОГОГРАННИК, а, муж. Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Многогранник — [polihedron] выпуклое ограниченное множество точек, удовлетворяющих одновременно конечному числу неравенств типа: a11x1 + … + a1nxn ≤ b1 ……………….. am1x1 + … + amnxn ≤ bm или в матричной записи M =… … Экономико-математический словарь

МНОГОГРАННИК — (полиэдр) геометрическое тело, ограниченное плоскими (см.). Правильный М. геометрическая выпуклая поверхность, у которой все грани правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одинаковое… … Большая политехническая энциклопедия

МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

многогранник — а; м. Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Правильный м. * * * многогранник геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются рёбрами… … Энциклопедический словарь

Источник

Основные понятия

Определение многогранника включает в себя такое понятие, как геометрическое тело, созданное из плоских многоугольников. Их число конечное. От формы каждого из них напрямую зависят свойства итоговой фигуры. Их делят на 2 типа:

Поскольку многогранники рассматриваются в трехмерном евклидовом пространстве, они относятся к стереометрии. А их многоугольники лежат в двумерной плоскости, что относится к планиметрии. Поэтому основные свойства и понятия формируются, включая в себя обе эти науки.

Параметры фигуры

Правильные многогранники

Правильные многогранники — фигуры, грани которых представляют собой многоугольники с равными углами и сторонами. Также они называются Платоновыми телами. Всего существует 5 соответствующих тел, подробные характеристики которых представлены в таблице.

Правильные многогранники изучались древними греками. Однако первые модели в орнаменте и по отдельности появились намного раньше. Например, археологами были найдены вырезанные каменные шары в Шотландии, которые датируются поздним неолитом (соответственно, за 1000 лет до жизни и деятельности Платона).

Призма и ее особенности

Геометрическое тело называют прямым, если каждое ребро лежит перпендикулярно основанию. Также они становятся высотами. Когда грани идентичны, многоугольник считается правильным, и его диагональное сечение образует параллелограмм.

Характеристики параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник, основанием и гранями которого является параллелограмм. Фигура характеризуется как неправильная. Основные характеристики:

Когда все грани параллелограмма являются прямоугольными, фигура характеризуется, как прямоугольная. Длина каждого ребра считается линейным размером. У такой фигуры есть три измерения. При этом справедлива формула d² = a² + b² + c². При расчетах руководствуются и другими. Для объема : V = abc, для площади многогранника: S=2·(ab+ bc +ac).

Пирамида и ее величины

Пирамида представляет собой многогранник и многоугольник. Особенности фигуры:

Если пирамиду разделяет плоскость, параллельная нижней, она делит ее на две части. Причем верхняя пропорционально равна главной фигуре. Когда основанием является квадрат, геометрическое тело называется правильным. Гранями ее считаются равнобедренные треугольники.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 13. Многогранники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.

Ребра многогранника – стороны граней многогранника.

Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).

Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.

Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.

Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)

Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО, 2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)

Открытые электронные ресурсы:

Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал Квант.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.

Б)

Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника

Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.

Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)

Рисунок 2 – изображение октаэдра

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).

Рисунок 3 – Виды многогранников

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.

Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.

Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид

Б) пространственная фигура

Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б

Источник

Какое геометрическое тело называется многогранником

Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников:

а) модель		б) эпюр
Рисунок 67. Пирамида

2. Призма — многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис. 68).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 68. Призма

3. Призматоид — многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований (рис.69).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 69. Призматоид

4. Тела Платона. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными . Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 70. Тетраэдр

Гексаэдр — правильный шестигранник (рис. 71). Это куб состоящий из шести равных квадратов.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 71. Гексаэдр

Октаэдр — правильный восьмигранник ( рис.72). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 72. Октаэдр

Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 73).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 73. Додекаэдр

Икосаэдр — состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.74).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 74. Икосаэдр

5. Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Источник

Лекция по математике на тему «Многогранники»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Понятие многогранника. Виды многогранников.

Выпуклые и невыпуклые, правильные и неправильные

Преподаватель: Горячева А.О.

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Выпуклые и невыпуклые многогранники.

Правильные (Платоновы тела) и неправильные многогранники.

Если данное утверждение не выполняется, многогранник будет являться невыпуклым (рис. 2б).

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» (Л.Кэрролл).

Всего существует пять правильных многогранников (рис. 3).

Если посчитать количество граней, ребер и вершин указанных многогранников, получим (таб. 1):

Тип правильного многогранника

Число сторон у грани

Число рёбер, примыкающих к вершине

Общее число вершин

Общее число граней

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создавались философские школы. Большое значение в этих школах приобрели рассуждения, с помощью которых удалось получить новые геометрические свойства.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел: Вселенная – додекаэдр, Земля – куб, Огонь – тетраэдр, Вода – икосаэдр,

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны.

Существует тринадцать полуправильных многогранников, которые носят название Архимедовых тел: усеченный тетраэдр (рис. 4а), усеченный октаэдр (рис. 4б), усеченный икосаэдр (рис. 4в), усеченный куб (рис. 4г), усеченный додекаэдр (рис. 4д), кубооктаэдр (рис. 4е), икосододекаэдр (рис. 4ж), усеченный кубооктаэдр (рис. 4з), усеченный икосододекаэдр (рис. 4и), ромбокубооктаэдр (рис. 4к), ромбоикосододекаэдр (рис. 4л), плосконосый куб (рис. 4м), плосконосый додекаэдр (рис. 4н), призма (рис. 4о) и антипризма (рис. 4п). Антипризма – это многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники.

Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более не пересекаются.

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр (рис. 5а), большой додекаэдр (рис. 5б), большой звёздчатый додекаэдр (рис. 5в). Первые две из них были открыты И. Кеплером в 1619 году, а третью почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1809г). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм. Одна из этих звёздчатых форм, называемая большим икосаэдром (рис. 6), является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Кроме правильных звездчатых многогранников существуют и другие звездчатые формы, получающиеся продолжением граней правильных и полуправильных многогранников.

На рисунке 7 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром.

Продолжения граней кубооктаэдра приводят к четырем звездчатым многогранникам. Первый из них (рис. 8а) получается достраиванием на гранях кубооктаэдра пирамид и представляет собой соединение куба и октаэдра.

Следующая звездчатая форма кубооктаэдра представлена на рисунке 8б. Она образована из соединения куба и октаэдра добавлением 24 бипирамид.

Третья звездчатая форма кубооктаэдра (рис. 8в) представляет собой соединение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых служат квадраты.

Последняя звездчатая форма кубооктаэдра (рис. 8г) является соединением звезды Кеплера и трех правильных четырехугольных призм, общей частью которых служит исходный куб.

Икосододекаэдр имеет 19 звездчатых форм, некоторые из которых представлены на рисунке 9.

Источник