какое другое название имеет правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник

Это статья о геометрической фигуре. Другие значения слова см. на странице Квадрат (значения).

Свойства

См. также

Правильные многоугольники
Треугольник | Четырёхугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | Семиугольник | Восьмиугольник | Девятиугольник | Семнадцатиугольник | 257-угольник | 65537-угольник
(См. также: Многоугольник, Теорема Гаусса — Ванцеля)

Полезное

Смотреть что такое «Правильный четырехугольник» в других словарях:

ПОНЯТИЕ — общее имя с относительно ясным содержанием и сравнительно четко очерченным объемом. П. являются, напр., «химический элемент», «закон», «сила тяготения», «астрономия», «поэзия» и т.п. Отчетливой границы между теми именами, которые можно назвать П … Философская энциклопедия

Боппард — (Boppard) городок на левом берегу Рейна, в прусском округе Кобленце, в 13 км от города Ст. Гоар, имеет 5526 жителей, занимающихся горшечным промыслом, винокурением, а также виноградарством и торговлей дровами и углем. Во времена римлян на этом… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Конотоп — у. гор. Черниговской губ., в юго вост. углу губернии, на pp. Конотопе и Езусе. Городской земли в гор. черте 751/2 дес. Жит. 23083 (11632 мжч. и 11451 жнщ.). 2037 деревян. и 55 камен. зданий (кроме церквей). Средний доход за 1870 74 гг. 6202 руб … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Спалато — (хорватск. Spljet или Split, итал. Spalato, в памятниках также Spalatro) самый важный порт Далмации, расположен на полуострове Адриатического моря, омывается с северной стороны Canale Castelli, с южной Canale di Spalato, y подножия горы Monte… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Убор головной* — термин, включающий как способы собственно прически, так и способы убранства и покрытия головы. И те, и другие в высшей степени разнообразны в зависимости от расы, места, эпохи, религии, степени культуры и умственного развития. Тем не менее как… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Убор головной — термин, включающий как способы собственно прически, так и способы убранства и покрытия головы. И те, и другие в высшей степени разнообразны в зависимости от расы, места, эпохи, религии, степени культуры и умственного развития. Тем не менее как… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Введенская улица — Введенская улица находится на Петроградской стороне. Она соединяет Кронверкский и Большой проспекты. Первоначально, в 1730 е годы, она именовалась 2 й Большой Белозерской, поскольку находилась в слободе Белозерского полка. Второй… … Санкт-Петербург (энциклопедия)

Стрельна — исторический памятник, поселок на южном берегу Финского залива, расположен в 19 км к западу от Петербурга (см. Санкт Петербург). Административно Стрельна подчинена Петродворцу (см. Петродворец). Мыза Стрельна вблизи речки Стрелки, впадающей в… … Географическая энциклопедия

Медининкайский замок — Медининкайский замок … Википедия

Источник

правильный четырехугольник

Смотреть что такое «правильный четырехугольник» в других словарях:

Правильный четырехугольник — Это статья о геометрической фигуре. Другие значения слова см. на странице Квадрат (значения). Квадрат Квадрат правильный четырёхугольник. Свойства Квадрат может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны ромб, у… … Википедия

ПОНЯТИЕ — общее имя с относительно ясным содержанием и сравнительно четко очерченным объемом. П. являются, напр., «химический элемент», «закон», «сила тяготения», «астрономия», «поэзия» и т.п. Отчетливой границы между теми именами, которые можно назвать П … Философская энциклопедия

Боппард — (Boppard) городок на левом берегу Рейна, в прусском округе Кобленце, в 13 км от города Ст. Гоар, имеет 5526 жителей, занимающихся горшечным промыслом, винокурением, а также виноградарством и торговлей дровами и углем. Во времена римлян на этом… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Конотоп — у. гор. Черниговской губ., в юго вост. углу губернии, на pp. Конотопе и Езусе. Городской земли в гор. черте 751/2 дес. Жит. 23083 (11632 мжч. и 11451 жнщ.). 2037 деревян. и 55 камен. зданий (кроме церквей). Средний доход за 1870 74 гг. 6202 руб … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Спалато — (хорватск. Spljet или Split, итал. Spalato, в памятниках также Spalatro) самый важный порт Далмации, расположен на полуострове Адриатического моря, омывается с северной стороны Canale Castelli, с южной Canale di Spalato, y подножия горы Monte… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Убор головной* — термин, включающий как способы собственно прически, так и способы убранства и покрытия головы. И те, и другие в высшей степени разнообразны в зависимости от расы, места, эпохи, религии, степени культуры и умственного развития. Тем не менее как… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Убор головной — термин, включающий как способы собственно прически, так и способы убранства и покрытия головы. И те, и другие в высшей степени разнообразны в зависимости от расы, места, эпохи, религии, степени культуры и умственного развития. Тем не менее как… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Введенская улица — Введенская улица находится на Петроградской стороне. Она соединяет Кронверкский и Большой проспекты. Первоначально, в 1730 е годы, она именовалась 2 й Большой Белозерской, поскольку находилась в слободе Белозерского полка. Второй… … Санкт-Петербург (энциклопедия)

Стрельна — исторический памятник, поселок на южном берегу Финского залива, расположен в 19 км к западу от Петербурга (см. Санкт Петербург). Административно Стрельна подчинена Петродворцу (см. Петродворец). Мыза Стрельна вблизи речки Стрелки, впадающей в… … Географическая энциклопедия

Медининкайский замок — Медининкайский замок … Википедия

Источник

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это такой четырехугольник у которого все четыре стороны равны и его четыре угла равны. Правильный четырехугольник это квадрат.

Центр правильного четырехугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Обозначения на рисунке для правильного четырехугольника

n=4	число сторон и вершин правильного четырехугольника,	шт
α	центральный угол правильного четырехугольника,	радианы, °
β	половина внутреннего угла правильного четырехугольника,	радианы, °
γ	внутренний угол правильного четырехугольника,	радианы, °
a	сторона правильного четырехугольника,	м
R	радиусы правильного четырехугольника,	м
p	полупериметр правильного четырехугольника,	м
L	периметр правильного четырехугольника,	м
h	апофемы правильного четырехугольника,	м

Основные формулы для правильного четырехугольника

Периметр правильного четырехугольника

Полупериметр правильного четырехугольника

Центральный угол правильного четырехугольника в радианах

Центральный угол правильного четырехугольника в градусах

Половина внутреннего угла правильного четырехугольника в радианах

Половина внутреннего угла правильного четырехугольника в градусах

Внутренний угол правильного четырехугольника в радианах

Внутренний угол правильного четырехугольника в градусах

Площадь правильного четырехугольника

Или учитывая формулу Площади квадрата получим

Источник

Четырехугольник

Четырехугольник

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
┌─────────────┼─────────────┐
вогнутый		выпуклый		скрещенный
┌─────────────┼─────────────┐
описанная окружность		трапеция		касательный
| ┌───────────┤				|

равнобокая

симметричные стороны

диагонали перпендикулярны└─────┬─────┘└─────┬─────┘

прямые углы

равнобедренный└──────────┬─────────┘
квадрат

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).

Свойства

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Сумма углов четырёхугольника равна .

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ().

Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ()

Виды четырёхугольников

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Четырехугольник» в других словарях:

четырехугольник — четырехсторонник; каре, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, четыреугольник, многоугольник, трапецея, тетрагон Словарь русских синонимов. четырехугольник сущ., кол во синонимов: 11 • антипараллелограм … Словарь синонимов

четырехугольник — (4 угольник) … Орфографический словарь-справочник

четырехугольник — ▲ многоугольник ↑ имеющий, четыре, угол четырехугольник многоугольник с четырьмя сторонами. четырехугольный. трапецоид четырехугольник, не имеющий параллельных сторон. выпуклый четырехугольник. дельтоид, ромбоид выпуклый четырехугольник,… … Идеографический словарь русского языка

Четырехугольник — частный случай многоугольника (см.). Он называется плоским, если его вершины лежат в одной плоскости; в противном же случае Ч. называется косым. В данный плоский Ч. можно вписать круг, если суммы противоположных сторон его равны. Около данного… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Четырехугольник — четырёхугольник м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, образующей четыре угла. 2. Пространство или предмет такой формы. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

четырехугольник — ‘фигура’ Syn: четырехсторонник … Тезаурус русской деловой лексики

четырехугольник — ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой линией, звенья которой образуют четыре угла. Построиться четырёхугольником, в ч. 2. (чего). О чём л., имеющем такую форму. Ч. двора. Ч. раскрытой двери. Ровные… … Энциклопедический словарь

четырехугольник — ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК, а, м Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой образуют четыре угла. Войска построились четырехугольником … Толковый словарь русских существительных

четырехугольник противоположных полюсов — opposite pole quadrilateral Четырехугольник, образованный соединением двух пар противоположных полюсов так, что противоположные полюсы непосредственно не соединяются. Шифр IFToMM: 2.3.29 Раздел: СТРУКТУРА МЕХАНИЗМОВ … Теория механизмов и машин

Четырехугольник Ламберта — Четырёхугольник Ламберта или трипрямоугольник четырёхугольник, в котором при трёх вершинах прямые углы. Рассматривался Иоганном Ламбертом в 1766 при попытках доказать постулат Евклида о параллельных. Из трёх возможных предположений о величине… … Википедия

Источник

math4school.ru

Четырёхугольники

Основные определения и свойства

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Описанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Вписанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Площадь ромба можно определить:

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

Дельтоид

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Ортодиагональные четырёхугольники

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Источник