какое достаточное условие экстремума в точке

Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

По теореме Ферма достаточное условие экстремума f'(x₀)=0. Значит, для того чтобы найти точки «подозрительные» на экстремум, нужно взять производную от функции f(x₀), приравнять ее к нулю и решить получившееся уравнение. Однако, не все корни этого уравнения будут экстремумами. Для того чтобы выяснить наверняка, является ли точка точкой экстремума, нужно знать достаточное условие экстремума.

Корни уравнения f'(x₀)=0 называют стационарными точками.

Достаточное условие экстремума: Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то эта точка является экстремумом. Если меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума. Если меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума.

Если при переходе через стационарную точку производная не меняет знак, то эта точка не является экстремумом.

Для нахождения максимального или минимального значения функции применяют следующий алгоритм:

1. Берем производную от функции.

2. Находим стационарные точки, решая уравнение f'(x₀)=0.

3. Проверяем достаточное условие экстремума. Выбираем те точки, в которых это условие выполняется.

4. Вычисляем значения функции в найденных точках и на концах промежутка. Самое маленькое значение будет минимальным значением функции на этом промежутке. А самое большое – максимальным.

Пример: Найти максимальное и минимальное значение функции на промежутке

1. .

3. При . То есть, достаточное условие экстремума выполняется.

4. Вычислим значения функции в точке экстремума и на концах промежутка:

Ответ: функция принимает минимальное значение на промежутке [0;3], при x=2, f(2)=-16,

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Источник

Понятие экстремума функции

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

(Необходимое условие экстремума)

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

(Первое достаточное условие экстремума)

Решение. Находим производную заданной функции:

Второе достаточное условие экстремума

(Второе достаточное условие экстремума)

Понятие экстремума функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Решение. Находим первую производную заданной функции:

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

Вторая производная заданной функции:

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в момент достижения им минимального или максимального показания. Под понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается значение функции (у).

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами, максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и, наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются минимальные или максимальные значения.

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений, приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки, прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и представляет собой точку ее минимума.

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать следующим образом:

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно переписать равенство в следующем виде:

Сократим данное уравнение на 4:

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после перемены местами слагаемых:

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

Это же уравнение может выглядеть так:

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

В этом случае х = 1

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является точкой минимума функции:

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся уравнение:

Упростим уравнение и получим:

Избавимся от минусов в уравнении:

Отсюда следует, что:

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

А затем приравняем ее к 0:

Это позволяет сделать вывод о том, что:

Получается, что, если x 3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой минимума.

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не существует.

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции подразумевается та точка, при пересечении с которой производная приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых х.

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее производная равна 0 или вовсе не существует.

Источник

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Точки экстремума, экстремумы функции

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

После чего необходимо найти производную:

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

Перейдем к вычислению минимумов:

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

Второй признак экстремума функции

Для начала находим область определения. Получаем, что

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

Третье достаточное условие экстремума

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Источник

Какое достаточное условие экстремума в точке

Точки, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) равна нулю либо не существует, называются критическими точками данной функции. Следовательно, стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Необходимое условие экстремума формулируется следующим образом:

Если точка \(\) является точкой экстремума функции \(f\left( x \right),\) то в этой точке либо производная равна нулю, либо не существует. Другими словами, экстремумы функции содержатся среди ее критических точек.

Отметим, что выполнение необходимого условия еще не гарантирует существование экстремума. Классической иллюстрацией здесь является кубическая функция \(f\left( x \right) = .\) Несмотря на то, что в точке \(x = 0\) производная данной функции равна нулю: \(f’\left( \right) = 0,\) эта точка не является экстремумом.

На основании определения заключаем, что точка \(\) является точкой строгого минимума функции \(f\left( x \right).\)

Аналогично можно доказать первое достаточное условие для строгого максимума функции.

Заметим, что в первом достаточном условии не требуется, чтобы функция была дифференцируемой в точке \(.\) Если в этой точке производная равна бесконечности или не существует (т.е. точка \(\) является критической, но не стационарной), то первое достаточное условие все равно можно использовать для исследования функции на максимум или минимум.

Аналогично рассматривается случай максимума.

Второй достаточный признак экстремума удобно применять, когда вычисление первых производных в окрестности стационарной точки затруднительно. С другой стороны, второй признак можно использовать лишь для стационарных точек (где первая производная равна нулю) − в отличие от первого признака, который применим к любым критическим точкам.

Ясно, что при \(n = 2\) в качестве частного случая мы получаем рассмотренное выше второе достаточное условие экстремума. Чтобы исключить такой переход, в третьем признаке полагают, что \(n > 2.\)

Данная функция относится к семейству показательно-степенных функций. В общем случае они имеют вид \(y = g<\left( x \right)^>.\) Обычно считают, что область определения показательно-степенных функций удовлетворяет условию \(g\left( x \right) > 0.\) (В некоторых частных случаях основание \(g\left( x \right)\) может быть отрицательным − например, если \(h = \large\frac<1><3>\normalsize.\) В нашем случае полагаем \(x > 0.\) Отсюда следует, что функция принимает лишь положительные значения.

\(2x = \large\frac<\pi ><6>\normalsize + 2\pi n,\;\; \Rightarrow = \large\frac<\pi ><<12>>\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb;\)

\(2x = \large\frac<5\pi ><6>\normalsize + 2\pi k,\;\; \Rightarrow = \large\frac<5\pi ><<12>>\normalsize + \pi k,\;k \in \mathbb.\)

Согласно принципу наименьшего действия Ферма, между любыми двумя точками реализуется такая траектория света, которая соответствует наименьшему времени распространения.

Рассмотрим две среды с плоской границей между ними (см. выше рисунок \(8\)). Пусть свет распространяется из точки \(A\) в точку \(B\), причем в первой среде угол падения (угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела сред) составляет \(<\alpha _1>,\) а во второй среде угол выходит под углом \(<\alpha _2>.\) Скорости света в первой и второй среде равны, соответственно, \(\) и \(.\)

Пусть луч пересекает границу между средами в точке с координатой \(x\). Задача состоит в том, чтобы определить значение \(x,\) при котором время распространения света будет наименьшим.

Исследуем изменение знака производной при переходе через эти точки (рисунок \(11\)).

Схематический вид данной функции приведен на рисунке \(12\).

\(\ln x = 0,\;\; \Rightarrow = 1;\)

Источник

Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Рассмотрим функцию у=f(x), определённую на промежутке (). Пусть х₀Î(), δ ─ некоторое положительное число. Будем называть δ-окрестностью точки х₀ интервал (х₀ − δ;х₀ + δ) и обозначать его О(х₀;δ).

Определение.Если можно указать такую δ-окрестность точки х₀, принадлежащую (), что для всех хÎО(х₀;δ), х ≠ х₀, выполняется неравенство

то у₀ = f(x₀) называют максимумом функции у = f(x)и обозначают через max f(x) (рис.17.1).

Если же для всех хÎО(х₀;δ), х ≠ х₀, выполняется неравенство

f(x₀) 0) , поэтому . Теперь

0;

Функция у = не имеют конечной производной в точке х₀ = 0, т.к.

у’ = при х = х₀ = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рис.17.6).

Определение.Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.

Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

Определение.Говорят, что функция у = f(x) меняет знак при переходе через точку х=х₀,если f(x₁)f(x₂) 0, f(x₂) 0.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. если в точке х = х₀ производная функции f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х₀, то точка х₀ является точкой экстремума, причём: 1) х₀ ─ точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х₀ ─ точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Доказательство. Пусть в точке х₀ производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е. f ‘(x₀) = 0, f ‘(x) 0 при х₀ 0). Тогда функция f(x) по теореме о достаточном условии возрастания и убывания функции убывание (х₀ −δ;х₀) и возрастает на интервале (х₀;х₀+δ), т.е. f(x₀) 0; 2) х₀ ─ точка максимума, если f »(x₀)

Пример.Найти экстремумы функции f(x) = .

Решение. Поскольку f ‘(x) = , то критическими являются только стационарные точки , , .

Исследуем знак второй производной f »(x) = в этих точках:

f »() = 12×2 −20 > 0, f »(0) = −20 0.

Следовательно, , ─ точки минимума, ─ точка максимума,

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник