какое дифференциальное уравнение описывает плоские бегущие волны
Дифференциальное волновое уравнение и его решение. Фазовая скорость. Уравнение плоской и сферической волн
Волновой процесс. Понятие волнового фронта.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
ЛЕКЦИЯ 9
Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует на прилегающие к нему частицы среды, выводя их из положений равновесия и заставляя совершать вынужденные колебания, возмущающие частицы среды..
Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими волнами.
Геометрическое место точек среды, в которых фаза колебаний частиц одинакова, называется волновым фронтом или волновой поверхностью. Например, существуют сферические волны, исходящие от точечного источника колебаний, волновая поверхность которых представляет собой сферу.
Упругая волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Если же частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной.
Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твердых телах. Таковы, например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.
В отличие от других видов механического движения среды (например, ее течения) распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества.
Частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии uT (u ‑ скорость распространения, T – период колебаний), колеблются в одинаковой фазе. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l.
l = uT или u =λν,
где n ‑ частота колебаний.
Рассмотрим распространение продольной волны в тонком упругом стержне, которая создается источником колебаний, расположенном в некоторой точке пространства (x = 0). Выделим объем стержня длиной Δx (рис.9.1).. Под действием упругих сил, возникающих в точках x и x +Δ x, рассматриваемыйобъембудет испытывать деформации растяжения и сжатия.
, (9.1)
где t –время, ρ –плотность материала стержня, E – модуль Юнга.
Уравнение (9.1) называется дифференциальным волновым уравнением, котороезаписано в одномерном виде.
Решение уравнения (9.1) для волны, распространяющейся в направлении оси x, имеет вид:
, (9.2)
где A – амплитуда колебаний частиц среды (амплитуда волны); w – циклическая частота колебаний источника, которая равна частоте колебаний частиц среды, вызванных волной.
Можно показать, что данное уравнение имеет общий характер,. В трехмерном виде волновое уравнение имеет следующий вид:
, (9.3)
где Ñ 2 ‑ оператор Лапласа:
.
Решением этого уравнения является смещение s частиц среды от положений равновесия, как функция координат и времени. s = s(x,y,z, t).
Определим смысл величины u в уравнениях (9.2) и (9.3), имеющей размерность скорости. Зафиксируем какое-либо значение фазы, в уравнении (9.2), положив
. (9.4)
Выражение (9.4) описывает распространение волнового фронта. Продифференцировав (9.4), получим
. (9.5)
Скорость распространения волны u в приведенных выше уравнениях есть скорость перемещения фазы, поэтому эту скорость называют фазовой скоростью.
Из уравнения (9.1) следует
.
Т.е.фазовая скорость продольных волн в твердых телах зависит от модуля Юнга E и плотности среды r.
Можно показать, что скорость поперечных волн определяется модулем сдвига:
.
Скорость волн в идеальном газе для адиабатического процесса распространения зависит от абсолютной температуры:
,
Функция (9.2) описывает плоскую волну, так как волновой фронт представляет собой плоскость.
Уравнение плоской волны можно представить в симметричном виде относительно t и х. Для этого вводится понятие волнового числа k:
. (9.6)
Используя (9.7), получим выражение для скорости u:
. (9.7)
Тогда уравнение волны описывается соотношением
Если волну рассматривать на расстоянии значительно большем, чем размеры источника, то источник можно считать точечным. В этом случае в изотропной среде волна будет сферической. Такую волну описывает решение дифференциального уравнения (9.3), представленное в сферических координатах. Уравнение сферической волны имеет вид:
. (9.9)
Из (9.9) видно, что амплитуда сферической волны изменяется обратно пропорционально расстоянию от волнового фронта до источника.
Зависимость амплитуды волны от расстояния обусловлено тем, что по мере удаления фронта волны от источника за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются все возрастающие объемы среды.
Бегущие электромагнитные волны
Уравнение плоской бегущей волны
Если волна движется по О х без поглощения энергии, то это характеризуется уравнением:
Что называют электромагнитной волной. Волновое число
Запись выражения ( 1 ) примет совершенно другой вид при известном волновом числе.
Если перейти к комплексным числам, применив формулу Эйлера, уравнение плоской волны зафиксируем.
Выражение ( 6 ) имеет физический смысл только в действительной части, но R e возможно опустить в записи уравнения волны.
Перейдем к рассмотрению волнового процесса, где не происходит изменение фазы.
При условии, что υ волны зависит от частоты колебаний, то такая волна подвержена дисперсии.
Уравнение сферической бегущей волны
Сферическая волна – это волна, волновая поверхность которой является концентрической сферой. Такое уравнение примет вид:
где r является расстоянием от центра волны до точки рассмотрения. Если имеем дело со сферической волной, то ее амплитуда колебаний не будет постоянной даже при условии, что энергия не поглощается средой. Ее убывание происходит обратно пропорционально расстоянию. Выполнение уравнения ( 8 ) возможно тогда, когда источник волн считается точечным.
Уравнение бегущей волны в любом виде подчинено волновому уравнению.
За основу необходимо принять выражение для амплитуд электромагнитной волны:
Для записи уравнения колебаний H → в электромагнитной волне, в случае если она считается плоской и распространяется по О х :
Необходимо учитывать, что тело, которое поглощает падающую на него энергию, оказывается под давлением, равным среднему значению объемной плотности энергии в электромагнитной волне.
Следует применять соотношение амплитуд электромагнитной волны, которое записывается:
Следует, что значение объемной плотности электрической энергии примет вид:
Формула плотности магнитного поля:
После усреднения плотности, имеем:
Какое дифференциальное уравнение описывает плоские бегущие волны
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.
Уравнение плоской волны
Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.
Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: 
. Пусть колебание точек, лежащих в плоскости 
, имеет вид (при начальной фазе 
)
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время 
.
Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
– это уравнение плоской волны.
Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания 
. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.
Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.
В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.
Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:
.
Уравнение волны можно записать и в другом виде.
Введем волновое число 
, или в векторной форме:
где 
– волновой вектор, 
– нормаль к волновой поверхности.
Так как 
, то 
. Отсюда 
. Тогда уравнение плоской волны запишется так:
Уравнение сферической волны
В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.
Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. 
). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу 
. Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 
. Следовательно, уравнение сферической волны:
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.
Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при 
, амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний 
, следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.
Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846 — 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.
Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение 
будет зависеть только от х и t, т. е. = (х, t).
На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости x = 0, описываются функцией (0, t) = А cos 
, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на 
, так как для прохождения волной расстояния х требуется время = x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид
(154.1)
откуда следует, что (х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
(154.2)
где А =const — амплитуда волны, 
— циклическая частота волны, 
— начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [ 
] — фаза плоской волны.
Для характеристики волн используется волновое число
(154.3)
Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид
(154.4)
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.
Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде
где физический смысл имеет лишь действительная часть (см. § 140).
Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.
(154.5)
Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на , получим 
,
(154.6)
Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.
Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как
(154.7)
где 
— расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/ . Уравнение (154.7) справедливо лишь для , значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость
(154.8)
Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных
(154.9)
где v — фазовая скорость, 
— оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сферическая волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
(154.10)