Физика что значит треугольник

Физика. Люди, кто хоть что нибудь понимает в физике, скажите, что значит треугольник в физике?

А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах;

а, b, с — стороны, противолежащие углам
А, В, С соответственно;

ha, hb, hc — высоты, опущенные на стороны

а, b, с соответственно;

la, lb, lc — биссектрисы;

R — радиус описанной окружности;

r — радиус вписанной окружности.

Подобие треугольников
Признак 1

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника.

Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами в этих треугольниках, равны.

Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Прямоугольные треугольники подобны,
если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Если треугольники подобны, то

Пропорциональные отрезки в треугольнике

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:

Высотой треугольника
называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке О, называемой ортоцентром.

В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.
В прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла.

Медианой треугольника
называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника.

Биссектрисой треугольника
называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности.

Равенство треугольников
Признак 1

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Два треугольника называются равными, если при наложении друг на друга они совместятся.
Если
то соответственные стороны
равны

и соответственные углы равны

Неавенства треугольника
Всякая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух сторон

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Источник

Что означает ΔT?

Принимая это во внимание, какой символ у подсудимого?

Греческая буква дельта, треугольник, является сокращенным обозначением Ответчика. Это символ раздела, также известный как «двойная S».

Также знайте, что означает Y в физике? Что должность значить? В физика, мы любим точно описывать движение объекта. Переменная y часто используется для обозначения вертикального положения. [А как насчет z?] Переменная zz zz используется для описания третьей перпендикулярной оси, которая обычно указывает «за пределы экрана / страницы».

Как вставить дельту?

Что это за символ ψ?

Пси (/ (p) sa? /; Прописные буквы Ψстрочные ψ; Греческий: ψι psi [ˈpsi]) является 23-й буквой греческого алфавита и имеет числовое значение 700. И в классическом, и в современном греческом языке буква обозначает комбинацию / ps / (как в английском слове «lapse»).

Какой альтернативный код у треугольника?

Как использовать альтернативные коды?

Что означает различие?

Какой код символа у Дельты?

Что означает символ треугольника?

треугольник будет представлять воду, потому что в этом положении она течет вниз. Он может символизировать небесную благодать и утробу. В треугольник что указывает вниз is один из старейших Символы божественной силы женщины. Это is древний символ который представляет гениталии богини.

Где в Word находится символ треугольника?

Как набрать треугольник?

Нажмите «30», чтобы вставить вертикаль треугольник лицом вверх. Нажмите «31», чтобы вставить вертикальную треугольник лицевой стороной вниз, ”16 ″ для вставки треугольник лицом влево или «17», чтобы вставитьтреугольник лицом вправо. Вы должны удерживать кнопку «Alt», пока нажимаете цифры.

Почему Delta используется для сдачи?

Как сделать этот символ?

Что означает этот символ в химии?

Как вы набираете Ø?

Введите Æ, Ø, Å и ß, используя клавиатуру 10 и клавишу Alt.

Что такое дельта продаж?

Объяснение клавиш компьютерной клавиатуры.

Что такое дельта продаж?

Нажмите и удерживайте клавишу ALT и введите 0 1 7 6 на цифровой клавиатуре вашей клавиатуры. Убедитесь, что NumLock включен, и введите 0176 с нулем в начале. Если нет цифровой клавиатуры, нажмите и удерживайте Fn, прежде чем вводить цифры 0176степень символ.

Что означает перемены?

Где находится Дельта в Word?

Существуют различные методы ввода дельта в Microsoft Word, например, вы можете использовать код alt + numpad, чтобы ввести его прямо с клавиатуры, или вы можете использовать Microsoftслово функции на вкладке вставки, где расположены символы.

Что такое символ Юникода?

Что такое символ Сигмы?

Альтернативный код. В качестве обходного пути вы можете добавить твердый треугольник имитировать дельту символ. Все, что вам нужно сделать, это зажать кнопку Alt, а затем ввести ее код. Удерживая нажатой клавишу Alt, нажмите 30, чтобы добавить треугольник.

Что такое дельта-анализ?

Дельта-анализ инструмент для определения дисперсии анализ по габаритным данным. Дельта-анализ доступен в Ad Hoc Анализ и приложения Template Studio.

Что означает стоимость Delta?

дельта. Отношение изменения цены опциона к изменению цены базового актива. Для опциона колл на акции дельта из 0.50 означает что на каждые 1.00 доллар, когда акции растут, цена опциона повышается на 0.50 доллара.

Что означает стоимость Delta?

Означает ли Дельта изменение?

Верхний регистр дельта (Δ) часто означает «изменение» или изменение в »по математике.

В чем разница между D и дельтой?

d используется для точного дифференцирования функции от функции. дельта используется для демонстрации большого и конечного изменения. символ частной производной используется, когда функция с несколькими переменными должна дифференцироваться только по определенной переменной, а другие переменные рассматриваются как константы.

Какой символ у Кельвина?

Что подразумевается под символами Юникода?

Unicode. Unicode универсальныйперсонаж стандарт кодирования. Он определяет способ индивидуальногосимволы представлены в текстовых файлах, веб-страницах и других типах документов. В то время как ASCII использует только один байт для представления каждого персонаж, Unicode поддерживает до 4 байтов для каждого персонаж.

Где в Excel находится символ треугольника?

d используется для точного дифференцирования функции от функции. дельта используется для демонстрации большого и конечного изменения. символ частной производной используется, когда функция с несколькими переменными должна дифференцироваться только по определенной переменной, а другие переменные рассматриваются как константы.

Как написать температуру?

Что это за символ ψ?

Альтернативный код. В качестве обходного пути вы можете добавить твердый треугольник имитировать дельту символ. Все, что вам нужно сделать, это зажать кнопку Alt, а затем ввести ее код. Удерживая нажатой клавишу Alt, нажмите 30, чтобы добавить треугольник.

Источник

Общие сведения

Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.

Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.

Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Основные формулы

Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.

Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √‎3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √‎3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √‎3) / 2.

Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √(‎(2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √‎(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √‎(1 / 3) = a / (2 * √‎3) = (a √‎3) / 6.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Решение задач

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Источник

Треугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными.

Содержание

Элементы треугольника

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Признаки равенства треугольников

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Файл:Triangle-acute.svg Остроугольный	Файл:Triangle-obtuse.svg Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Файл:Triangle-isosceles.svg Равнобедренный	Равносторонний

По величине углов

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.

Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Прямые

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис. На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.

Треугольники

Окружности

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха. Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея. В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти. Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна, а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей — в точке Нагеля.

Эллипсы, параболы и гиперболы

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке. [1]

В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). [2] Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера. Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера. [3]

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана. [4]

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. [5] Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. [6] Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). [7] Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек. [7]

Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек: центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).

Кубики

Кубика — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек , что прямая проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь — точка, изогонально сопряжённая ). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей. [10]

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе , , — это длины трёх сторон треугольника, и , , — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a Теорема косинусов

Источник