Финансовая математика что это такое
Зачем вам нужна финансовая математика
Финансовая математика — дисциплина довольно узкая, но чрезвычайно практичная и емкая. Мы предлагаем широкое понимание финансовой математики как основы для всех дальнейших приложений, таких, как инвестиционный анализ, финансовый менеджмент, банковское дело и др.
Финансовая математика исследует параметры коммерческих и финансовых операций и оценивает их финансовые результаты.
Кому нужна финансовая математика?
В первую очередь — менеджерам, управляющим производством с длительным циклом, финансовым менеджерам, постоянно имеющим дело с отсрочкой и рассрочкой платежей, малым и средним предприятиям, у которых нет возможности найма квалифицированных финансовых менеджеров, бухгалтерам и экономистам, анализирующим прошлое и будущее своих фирм.
Финансовая математика — это система практически необходимых расчетов доходности финансовых, инвестиционных и торговых операций во времени с учетом инфляции, валютных курсов, процента и прочих юридических и фактических условий выполнения договоров.
Важность финансовой математики для предпринимателя и экономиста очевидна, но даже простым гражданам желательно знать ее основы.
В начале 1993 г. многие обратили внимание на рекламу банка «Столичный» в московском метро. Приведем дословно ядро этой рекламы: «200% годовых — это в три раза больше». Особенность этого рекламного слогана заключается в расшифровке сути банковского процента. Неужели люди этого не понимают? Оказалось, да. Отечественная функциональная экономическая безграмотность была весьма велика.
Что такое функциональная неграмотность вообще? Это когда прочесть можешь, а понять — нет. Считается, что 20% американцев функционально неграмотны. Цифра, конечно, условная, но сама проблема рассматривается как одна из основных угроз американскому обществу. И у нас в России эта проблема, по крайней мере, в экономической сфере, не менее остра.
В марте 1993 г. мы решили проверить «глубину проницательности» банка «Столичный». Для этого на семинаре для начинающих учителей экономики был задан вопрос: «1000% годовых это во сколько раз больше?» Те, кто не понял вопроса, что именно больше, — промолчали. Остальные давали самые фантастические ответы типа в 101, в 1001, в 100 раз и т.д. Самым близким оказался ответ — в 10 раз больше. Правильный ответ — в 11 раз — не дал никто. На семинарах в 1994 г. многие давали, пусть не сразу, правильный ответ. Но все равно «тех, кто понял», было меньшинство.
До этого мы даже не задавались вопросом, как объяснить суть вычислений — настолько для экономиста это очевидно. В течение последнего десятилетия нам неоднократно пришлось объяснять этот алгоритм. Один из самых наглядных вариантов объяснения таков. За 100% обозначим вклад, тогда в конце периода вместе с процентами будет 100% + 1000% = 1100%. Соотнеся это число со 100%. получим, что наш капитал увеличился в 11 раз. Затем рассказывалось о том, как измеряется инфляция и что такое индекс цен, потом предлагалось потренироваться на слух: «430% это во сколько раз больше?» В 5,3 раза и т. д. «Инфляция составила 140% в год. Во сколько раз выросли цены? — в 2,4 раза. Для некоторых учителей экономики даже это было новым знанием! После подобных упражнении учителя экономики стали задавать вопросы «из жизни»: «Куда вложить деньги?» или «Какие условия депозитов лучше?» Становилось ясным, что всему этому нужно учить.
Практически все издания для бизнесменов, а иногда и для рядовых вкладчиков оперируют понятиями эффективной ставки процента, доходности, рентабельности, финансовой устойчивости, внутренней нормы отдачи и многих других понятии без доступных комментариев. В эпоху расцвета всевозможных финансовых инструментов — законных и незаконных, простых и сложных, корректных и сулящих заведомо несбыточные выгоды — не только бизнесмены и экономисты, но и просто образованные граждане должны иметь возможность в популярной форме познакомиться с азами техники сравнения выгод и потерь от коммерческих и финансовых операций.
Ключ к сути бизнеса
Финансовая математика актуальна еще и потому, что дает ключ к пониманию сути бизнеса.
Многие сферы прикладной экономики можно описать простыми математическими моделями. У этих моделей есть общее ядро, и оно изучаемся финансовой математикой.
Математические основы финансовой математики просты и опираются на обычный школьный курс элементарной математики.
Все, что нужно знать, чтобы освоить финансовую математику — это геометрическая прогрессия, степенная функция, процентные и в редких случаях логарифмические вычисления и решения систем уравнении. Финансовые вычисления не подразумевают владения бухгалтерским учетом. Опыт преподавания и школьникам, и студентам, и взрослым слушателям показывает, что у нас в России материя финансовой математики доступна всем.
Финансовая математика вводит начинающего экономиста в мир количественного анализа финансовых операций. Она охватывает довольно узкий круг методов, когда возникает необходимость в условиях сделки оговорить 3 момента:
Финансовая математика изучает сами схемы платежей и правила начисления процентов, но не это главное. Она дает объективный ответ на естественный вопрос: «Какая из возможных финансовых сделок выгоднее?». Немногие из экономических дисциплин могут похвастаться подобной конкретностью.
Хорошо если схема кредита или иной сделки проста. Но как измерять доходность в более сложных случаях, когда потоки расходов и доходов нерегулярны? На этот вопрос ответит не каждый экономист. Финансовая математика дает инструментарий для анализа и сравнения доходности различных операций. В ее силах не только показать, как считается доходность, но и дать практические предложения и сделать анализ экономического смысла получаемых результатов.
Финансовая математика имеет несколько уровней изучения:
Описательный уровень. Он доступен даже школьнику старших классов, но наиболее часто применяется для средних специальных учебных заведений. На этом уровне формулы и алгоритмы приводятся без доказательств. Вычисления упрощены, максимально используются приближенные формулы. Объяснения строятся на распространенных примерах из финансовой практики.
Аналитический уровень предполагает аналитическое описание сложившейся практики. Формулы выводятся. Описание строится абстрактно и обобщенно. Задачи формулируются так, как они возникают в практике консультирования. Показывается и учитывается влияние условий развития данного сектора экономики, роста отраслевых цен, цен поставщиков и инфляции в целом.
Исследовательский уровень. Анализируются новые финансовые инструменты. Обсуждаются проблемы их конструирования. Анализируются не только влияние инфляции, общего состояния данного сектора экономики, но делаются соответствующие прогнозы. Обсуждаются проблемы дисконтирования и алгоритмы принятия решений в реальных условиях с учетом всех рисков. В результате могут быть получены новые схемы финансовых операций или будет обоснован выбор уже известной схемы.
Финансовая математика дает весь набор необходимого основного материала, и после некоторой тренировки вы сможете производить нужные вам в жизни финансовые вычисления. Знакомство с финансовой математикой должно вестись в контексте как экономической теории, так и в контексте бурно развивающейся практики. В ней вы найдете не только перечень технических приемов для сопоставления финансовых результатов, но и основы теории процента, дисконтирования, базовые экономические представления о цене земли и другой недвижимости, о ценах акций и облигаций.
Менеджер и экономист по-разному понимают одну и ту же математическую модель. Например, математик не видит проблем в сложном проценте, а экономист замечает «узкое место»: как бабушка будет возводить в степень 137/365, если ей вообще удастся объяснить, что это такое. Предмет финансовой математики шире, чем набор математических формул, ибо включает экономические и финансовые обыкновения, отражает реалии финансового мира и коммерческих расчетов.
Финансовая математика
Из Википедии — свободной энциклопедии
Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим инструментом некоторого (возможно случайного) денежного потока.
Задача классической финансовой математики сводится к сопоставлению денежных потоков от различных финансовых инструментов исходя из критериев временной ценности денег (с учётом фактора дисконтирования), оценка эффективности вложений в те или иные финансовые инструменты (включая оценку эффективности инвестиционных проектов), разработка критериев отбора инструментов. В классической финансовой математике по умолчанию предполагается детерминированность процентных ставок и потоков платежей.
Стохастическая финансовая математика имеет дело с вероятностными платежами и ставками. Основная задача состоит в получении адекватной оценки инструментов с учётом вероятностного характера рыночных условий и потока платежей от инструментов. Формально сюда можно отнести оптимизацию портфеля инструментов в рамках средне-дисперсионного анализа. Также на моделях стохастической финансовой математики основаны методы оценки финансовых рисков. При этом в стохастической финансовой математике возникает необходимость определить критерии оценки рисков в том числе для адекватной оценки финансовых инструментов.
Финансовая математика
Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим инструментом некоторого (возможно случайного) денежного потока.
Задача классической финансовой математики сводится к сопоставлению денежных потоков от различных финансовых инструментов исходя из критериев временной ценности денег (с учётом фактора дисконтирования), оценка эффективности вложений в те или иные финансовые инструменты (включая оценку эффективности инвестиционных проектов), разработка критериев отбора инструментов. В классической финансовой математике по умолчанию предполагается детерминированность процентных ставок и потоков платежей.
Стохастическая финансовая математика имеет дело с вероятностными платежами и ставками. Основная задача состоит в получении адекватной оценки инструментов с учётом вероятностного характера рыночных условий и потока платежей от инструментов. Формально сюда можно отнести оптимизацию портфеля инструментов в рамках средне-дисперсионного анализа. Также на моделях стохастической финансовой математики основаны методы оценки финансовых рисков. При этом в стохастической финансовой математике возникает необходимость определить критерии оценки рисков в том числе для адекватной оценки финансовых инструментов.
Содержание
Основные концепции, подходы и методы финансовой математики
Наращение процентов и дисконтирование денежных потоков
Наращение процентов
Расчётные процедуры финансовой математики основаны на принципах начисления процентов на вложенные средства. Простые проценты не предполагают реинвестирования получаемых процентов. Поэтому суммарная стоимость FV, получаемая за время t при вложении суммы PV, определяется линейно 
.
Однако, чаще всего финансовая математика имеет дело со сложными процентами, когда учитывается реинвестирование (капитализация) получаемых процентов. В таком случае формула будущей стоимости принимает экспоненциальный вид:
где r — непрерывная или логарифмическая ставка. Последняя запись сложных процентов бывает удобна в аналитических целях.
В финансовой практике принято задавать годовые процентные ставки, начисление и капитализация при этом могут происходить чаще 1 раза в год. Если капитализация процентов происходит m раз в году, то формула будущей стоимости принимает вид
где 
— эффективная годовая ставка процента.
По эффективной ставке можно сравнивать различные варианты вложения средств с различными номинальными ставками и периодами капитализации процентов. При 
имеем непрерывное начисление и формула принимает вид 
. Эта формула эквивалентна вышеприведенной формуле для сложных процентов при ставке r равной логарифмической ставке.
Будущая и текущая стоимость
Базовое предположение в финансовой математике заключается в том, что в экономике существует возможность вложения любой суммы в некий (альтернативный) инструмент (по умолчанию — банковский депозит) под некоторую сложную ставку i. На основе принципов наращения сложных процентов по этой ставке i каждой денежной сумме (стоимости) в данный момент времени ставится в соответствие будущая стоимость на момент времени t (
), а каждой сумме ставится в соответствие текущая (приведенная, дисконтированная) стоимость (PV):
Процесс приведения будущей стоимости к текущей называется дисконтированием. Ставку (доходность)альтернативного вложения i — ставкой дисконтирования.
Более обобщенно, сумме в момент времени 
можно поставить в соответствие сумму в момент времени 
:
Причем данная формула справедлива как в случае 
t_1″ border=»0″ />, так и 
. Суммы, относящиеся или приведенные к одному моменту времени сопоставимы. Исходя из этого возникает концепция временной стоимости (ценности) денег, сущность которой заключается в разной ценности одинаковых сумм в разные моменты времени. Дисконтирование этих сумм (приведение к одному моменту времени) по одинаковой ставке позволяет сопоставлять суммы для разных моментов времени (различные денежные потоки) между собой.
Если задан денежный поток 
, то будущая стоимость в момент времени 
t_n» border=»0″ /> вложений данного потока денег (в соответствующие моменты времени) будет суммой будущих стоимостей отдельных составляющих потока (предполагается, что денежный поток генерируется определенным финансовым инструментом или инвестиционным проектом или бизнесом в целом, и в то же время существует возможность вложить средства в альтернативный инструмент с фиксированной доходностью, равной ставке дисконтирования):
Данной сумме можно поставить в соответствие сумму в текущий момент времени в соответствии с общим правилом дисконтирования:
В предельном случае следует рассматривать непрерывный денежный поток с плотностью 
, тогда текущая стоимость непрерывного денежного потока будет равна следующему интегралу:
Таким образом, каждому денежному потоку ставится в соответствие его текущая (приведенная, дисконтированная) стоимость по ставке дисконтирования.
Для аннуитетов на основе формулы геометрической прогрессии получаем следующую формулу приведенной стоимости 
. Для вечного аннуитета (то есть при 
) получаем простое выражение 
. В случае бесконечного денежного потока с постоянным темпом роста получаем формулу Гордона 
Эффективная (внутренняя) доходность
Если финансовый инструмент имеет некую оценку стоимости, например, рыночную цену, цену покупки и т. д., то зная денежный поток от инструмента можно оценить его эффективную (внутреннюю) доходность как ставку дисконтирования, при которой приведенная стоимость будет равна фактической цене инструмента, то есть решение уравнения 
по ставке 
. Данный показатель по разному может называться в зависимости от рассматриваемой задачи и инструментов. Например, для облигаций — это доходность к погашению (YTM), для инвестиционных проектов — внутренняя ставка доходности (IRR).
Дюрация денежного потока
Значение приведенной стоимости является нелинейной функцией ставки дисконтирования. Соответственно полностью денежный поток характеризуется графиком приведенной стоимости по ставке дисконтирования. Чувствительность (эластичность) приведенной стоимости к изменению процентной ставки (логарифмическая производная по 1+i) оказывается равной дюрации денежного потока — средневзвешенному сроку денежного потока (весами являются доли приведенных стоимостей отдельных составляющих потока в приведенной стоимости всего потока).
В первом приближении в качестве дюрации можно использовать средневзвешенный срок денежного потока без учёта дисконтирования (то есть с нулевой ставкой дисконтирования). Дюрацию можно использовать для упрощенной оценки изменения текущей стоимости финансового инструмента при небольшом изменении ставки дисконтирования. Также дюрацию можно интерпретировать иначе — это приблизительно тот период, за который можно получить суммарную величину денежного потока, если вложить под ставку дисконтирования сумму, равную текущей стоимости этого денежного потока. В частном случае бескупонной облигации дюрация совпадает со сроком такой облигации. В случае вечного аннуитета дюрация равна (1+i)/i
Для уточнения оценки влияния изменения процентной ставки иногда наряду с дюрацией используют также поправку второго порядка — выпуклость:
Тогда с достаточной для практических целей точностью
Портфельная теория
Оптимизация портфеля обычно рассматривается в рамках средне-дисперсионного анализа. Впервые данный подход к формированию портфелей предложил Гарри Марковиц (впоследствии лауреат Нобелевской премии). В рамках данного подхода доходности инструментов предполагаются случайными величинами с некоторым средним уровнем (математическое ожидание), волатильностью (дисперсией) и ковариациями между доходностями инструментов. Дисперсия доходности является мерой риска вложений в данный инструмент или в порфтель. Хотя формально подход применим при любом распределении доходностей, результаты могут быть лучше для нормального распределения, в связи с тем, что математическое ожидание и ковариационная матрица полностью характеризуют нормальное распределение.
Формулировки и решения задачи различаются в зависимости от тех или иных допущений, в частности, возможности отрицательных долей инструментов в портфеле (т. н. «короткие продажи»), наличия безрискового актива с нулевой дисперсией и корреляцией с другими активами и т. д. Задача может быть сформулирована как минимизация дисперсии портфеля при требуемой средней доходности и других ограничениях или же максимизацию доходности при заданном уровне риска (дисперсии). Также возможны иные формулировки, предполагающие максимизацию или минимизацию комплексных целевых функций, учитывающих и доходность и риск.
На основе портфельной теории Марковица в дальнейшем была разработана современная теория ценообразования финансовых активов — CAPM (Capital Assets Pricing Model).
Стохастические модели
Стохастические модели с дискретным временем
Базовая модель динамики цен финансовых инструментов — модель геометрического броуновского движения, согласно которой доходности (непрерывные, логарифмические) инструментов подчиняются процессу случайного блуждания:
где 
— белый шум
Данная модель удовлетворяет гипотезе эффективного рынка. В рамках данной гипотезы предполагается невозможность прогнозирования доходностей на будущие периоды на основании какой-либо информации, в том числе на основании информации о прошлых значениях доходностей.
В моделях ARIMA предполагается возможность прогнозирования доходностей на основе прошлых значений доходностей.
Модели GARCH предназначены для моделирования условной волатильности доходностей. Данные модели объясняют «толстые хвосты» распределения доходностей, а также кластеризацию волатильности, которые наблюдаются на практике. В некоторых моделях также учитывается возможность асимметрии уровня волатильности при снижении и при повышении рынка.
Имеются также иные подходы к моделированию волатильности — Модели стохастической волатильности.
Стохастические модели с непрерывным временем
где 
стандартное броуновское движение (винеровский процесс)
Финансовая математика что это такое
Основная цель науки о финансах состоит в изучении того, как распределяются ограниченные ресурсы во времени. Акцент делается именно на временном распределении, а не на других видах распределения, изучаемых в экономике, что является отличительной чертой финансовой науки. Решения, принимаемые по поводу временного распределения ресурсов, представляют собой финансовые решения. С точки зрения лиц, принимающих финансовые решения, распределяемые ресурсы относятся либо к доходам (поступлениям), либо к расходам (затратам). Финансовые решения основываются на соизмерении стоимостей потоков расходов и доходов.
При решении финансовых проблем в ряде случаев можно пренебречь неопределенностью и риском. Финансовые модели в этом случае называют детерминированными моделями или моделями с полной информацией. Изучение таких моделей важно, так как:
1. В ряде случаев эти модели пригодны для прямого использования. Они применяются при расчетах, связанных с банковским депозитом, вексельными сделками и др.
2. Анализ общих финансовых операций осуществляется на основе использования детерминированных моделей.
В данном учебно-методическом пособии предлагаются задачи на разработку методов стоимостей в различные моменты времени при отсутствии фактора неопределенности, то есть рассматриваются детерминированные модели.
Финансово-экономическое образование будущих экономистов, финансистов, менеджеров немыслимо без овладения ими методами количественного финансового анализа. Методами финансово-экономических расчетов должны владеть не только руководители предприятий, фирм, экономисты, бухгалтера и банковские работники, но, желательно, и каждый грамотный человек. Овладение финансовой грамотностью, хотя бы в минимальном объеме, поможет, на наш взгляд, облегчить жизнь человека в современном, бурно меняющемся времени.
На сегодняшний день есть немалое число пособий по финансово-экономическим расчетам, но мало задачников, ориентированных на подготовку математиков-финансистов, способных решать сложные задачи финансового анализа. Наличие вычислительной техники, пакетов прикладных программ типа EXCEL, MATHEMATICA, MATHCAD позволяет освободиться от рутинных вычислений и сосредоточиться на выборе оптимального, из нескольких вариантов, решения финансовой задачи. Это важно для любого руководителя, так как при наличии нескольких вариантов реализации одного и того же финансового проекта, как правило, один из них наиболее выгодный либо по затратам, либо по прибылям, чем другие.
В данном учебно-методическом пособии рассматриваются, так называемые, динамические финансовые расчеты, которые учитывают временную ценность денег. Учет временного фактора состоит в начислении процентов на денежные величины. Основным принципом динамических финансовых расчетов является принцип временной ценности денег: сумма денег, которой мы владеем теперь, более ценна, чем та же сумма, которая гарантированно может быть получена в будущем. Это вполне понятно, ведь деньги можно заставить «работать».
Учебно-методическое пособие посвящено классической финансовой математике, более точно, детерминированным моделям финансовых операций и процессов. Под детерминированностью понимается полная определенность будущих значений временных и финансовых характеристик изучаемых процессов и операций.
Такими моделями (при определенных условиях) описывается достаточно широкий класс финансовых операций. К ним относят, прежде всего, кредитные операции.
Цель данного пособия состоит в том, чтобы сориентировать студентов, будущих специалистов, в вопросах анализа и прогнозирования, в принятии решений в финансовых операциях. При этом, авторы структурировали соответствующим образом предлагаемые материалы, выделив основной теоретический материал, возможные решения типовых задач по каждому разделу и задачи для самостоятельного решения, которые могут рассматриваться как на практических занятиях при изучении данного курса, так и в качестве домашнего задания, для самостоятельных и контрольных работ. Авторы при составлении наборов задач опирались на имеющиеся сборники задач, как по финансовой математике, так и по финансовому менеджменту [6], [10], [31].
К основным темам, изучаемым в рамках традиционных курсов финансовой математики, относят: простые и сложные проценты, методы погашения долга, аннуитеты (ренты), расчеты, связанные с различными долговыми инструментами (вексель, облигации, депозитные сертификаты и т.д.) и долевыми ценными бумагами, а также расчеты сделок с валютой.
Данное учебно-методическое пособие состоит из 8 глав, в которых рассмотрены основные разделы стандартного курса классической финансовой математики. В каждой главе представлен краткий обзор основных теоретических положений, примеры решения типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения. Предложены варианты задач для организации промежуточного и итогового контролей.
Учебно-методическое пособие содержит ряд приложений, в которых предлагаются математические методы оценки финансовых операций, примеры контрольных работ по курсу, вопросы к зачету, примерные темы курсовых проектов, глоссарий, что позволит студенту ориентироваться в содержании курса «Финансовая математика» и оперативно принимать решения в различных, вполне определенных, финансовых операциях.