Фигуру ограниченную частью плоскости являющуюся такими что
Геометрические фигуры на плоскости
Геометрическая фигура называется плоской, если все тонки фигуры принадлежат одной плоскости.
Примером плоских геометрических фигур являются: прямая, отрезок, круг, различные многоугольники и др. Не являются плоскими такие фигуры, как шар, куб, цилиндр, пирамида и др.
На плоскости различают выпуклые и невыпуклые фигуры.
Геометрическая фигура называется выпуклой, если она целиком содержит отрезок, концами которого служат любые две точки, принадлежащие фигуре (рис. 54).
Примерами выпуклых фигур являются: круг, различные треугольники, квадрат. Точку, прямую, луч, отрезок, плоскость также считают выпуклыми фигурами.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Эти термины часто применяются даже в работе с дошкольниками. Необходимо своевременно научить детей узнавать эти фигуры, изображать их, понимать и правильно выполнять задания.
Основные свойства точек и прямых раскрываются в аксиомах:
1. Существуют точки, принадлежащие и не принадлежащие прямой.
2. Через две различные точки можно провести единственную прямую.
3. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Дети, например, в процессе игр или рисования знакомятся с точкой, отрезком, различными линиями, выделяя из них прямую, кривую, ломаную, учатся распознавать некоторые их свойства.
1. «Какая дорога от леса до дома короче?» (рис. 55).
2. «Поросята живут в домиках, расположенных на берегах реки. Они не умеют плавать. Кто из поросят может пойти в гости друг к другу?» (рис. 56).
Замкнутая линия делит плоскость на внешнюю и внутреннюю области. Дети рано усваивают, что значит «внутри» и «вне». Например, это происходит при выполнении задания на закрашивание фигуры, то есть ее внутренней области.
Геометрические фигуры, с которыми рано знакомятся дети (круг, квадрат, треугольник и др.), представляют собой замкнутые линии (границы фигур) с их внутренней областью. Границей круга
является окружность. Границей многоугольников является ломаная линия, которая состоит из отрезков. В геометрии все эти понятия имеют определения.
Отрезок — часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками, называемых концами отрезка.
Луч (полупрямая) — это часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по одну сторону от заданной на ней точки (начала луча).
Круг можно определить как фигуру, состоящую из окружности и ее внутренней области.
Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки. Данная точка О называется центром окружности, а заданное расстояние R — ее радиусом (рис. 64).
В детском саду дети также знакомятся с овалом («фигурой, похожей на круг тем, что у нее нет углов и сторон, но отличающейся от круга своей вытянутостью»). В геометрии такой термин не рассматривается, но изучается эллипс. Его нецелесообразно предлагать детям из-за сложности построения. Так как в быту часто используют слова «овал», «предмет овальной формы», знания об овале необходимы детям как элемент сенсорного воспитания и речевого развития.
Многоугольники
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника. Границу многоугольника (простую замкнутую ломаную) также называют многоугольником.
В работе с дошкольниками обычно рассматриваются модели фигур из картона, пластмассы или дерева, предлагаются задания по рисованию многоугольников при помощи трафаретов и обводок, закрашиванию фигур. В процессе этой деятельности дети знакомятся с названиями фигур, их структурой и некоторыми свойствами, используют такие термины, как: граница фигуры, внутренняя область фигуры и др.
Выпуклый многоугольник лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 65).
Основные геометрические фигуры
Основные понятия
Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.
Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.
Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.
Обучение на курсах по математике поможет быстрее разобраться в видах и свойствах геометрических фигур.
Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.
Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.
Периметром принято называть сумму длин всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.
Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.
Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.
Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.
Примеры объемных геометрических фигур:
Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:
Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.
Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Квадрат
Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.
Найти площадь квадрата легко:
Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Трапеция
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.
Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Как найти площадь трапеции:
S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.
Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.
Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.
P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.
Параллелограмм и ромб
Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны
Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.
Общие формулы расчета площади фигур:
Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Треугольник
Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.
Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.
S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.
Основание может быть расположено иначе, например так:
При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:
При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:
S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.
P = 3 × a, где a — длина стороны.
Круг — это это часть плоскости, которая лежит внутри окружности.
Окружность — это граница круга.
Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.
Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.
Формулы площади круга:
Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.
L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
История развития геометрии
Тема: Основы геометрии
Цель: Систематизация знаний по теме «Основы геометрии»
1. Теоретический блок
Добрый день, уважаемые студенты!
Ознакомьтесь с материалами лекции.
На основе материалов темы «Основные геометрические формы.
Понятие геометрической фигуры» (пункт №2 лекции) создайте презентацию (дополнив текстовый лекционный материал соответствующими изображениями, схемами, рисунками). Данную работу можно выполнять, объединившись в подгруппы 2-4 человека.
Презентация обязательно должна иметь титульный лист с указанием названия темы, ФИО авторов
Ссылка для размещения выполненных работ
История развития геометрии
Чтобы организовать успешную деятельность детей по овладению геометрическим материалом, воспитателю нужны соответствующие знания и умения: он должен знать историю возникновения и развития геометрии, основные свойства геометрических фигур, изучаемых в начальном курсе математики, уметь их построить.
Геометрия зародилась в Древнем Египте как набор правил решения практических задач, возникавших в строительстве, при распределении земельных участков, измерении площадей, объемов и т. д. Свидетельством этому служат египетские пирамиды, построенные около 4800 лет назад с выполнением сложных и точных геометрических расчетов. Но особенно важной была задача распределения земельных наделов. Этим занимались специальные люди — землемеры, которых греки называли гарпедонаптами, т. е. натягивателями веревок, так как при распределении земли использовались веревки. Но чтобы знать, где и как их натягивать, надо было иметь план полей. Так практическая задача распределения земельных участков привела к возникновению науки геометрии.
Обширные сведения о свойствах фигур, накопленные египтянами, были заимствованы греками. Произошло это в VII–V вв. до н. э. А так как особенно важной задачей было землемерие, то греки назвали науку о фигурах геометрией (от греч. геос — земля и метрио — измеряю).
Многие геометрические понятия возникли в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы, т. е. в процессе познания окружающего мира люди знакомились и с простейшими геометрическими формами. Овладению этим знанием способствовали следующие факторы: производство орудий труда, имеющих сравнительно правильную геометрическую форму, строительство жилья, шитье одежды, изготовление посуды, украшений.
Огромное влияние на развитие геометрических представлений оказали систематические астрономические наблюдения, что привело к возникновению понятий шара, окружности, угла, угловой меры.
Развитие землемерия, обобщение накопленного опыта наблюдений привело к созданию практических правил измерения земельных участков, нахождения площадей и объемов простейших фигур, строительных норм и др. Так, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму треугольника, трапеции, встречаются у древних египтян, вавилонян. К XVII–XVI вв. до н. э. были установлены такие факты, как теорема Пифагора, выражение для подсчета объема шара и многие другие. Но выступали они не как логически доказанные утверждения, а как выводы из опыта.
Таким образом, геометрия возникла как прикладная наука, как собрание правил, необходимых для решения практических задач, таких как сравнение фигур, нахождение геометрических величин, а также для простейших геометрических построений.
Практические правила постепенно приводились в систему. Кроме того, одни правила стали выводиться из других и обосновываться посредством рассуждений. Возникло доказательство, правила стали превращаться в теоремы, которые доказывались без прямых ссылок на опыт. Вообще, совершенствование геометрических знаний шло по пути их отделения от опыта — в результате предметом геометрии стали не реальные, а идеальные фигуры, т. е. фигуры, являющиеся образами предметов, в которых абстрагируются от всего, кроме формы. Более того, эти фигуры стали дополняться свойствами, которыми реальные предметы не обладают. Например, понятие прямой, возникшее как отражение такого свойства реальных предметов, как протяженность, было дополнено представлением о ее бесконечности.
Получение новых геометрических утверждений с помощью рассуждений относится к VI в. до н. э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса Милетского. Считают, что им доказаны свойства равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и ряд других фактов.
К III в. до н. э. геометрия становится дедуктивной наукой, одновременно решая многие практические задачи: дает точно обоснованные правила для построения фигур с заданными свойствами, позволяет различными способами сравнивать фигуры, по одним свойствам фигуры делать выводы о других ее свойствах и т. д.
Основные достижения в области математики были систематизированы около 300 лет до н. э. греческим ученым Евклидом и изложены в его знаменитом труде «Начала», состоящем из 13 книг. Это сочинение является первым дошедшим до нас строгим логическим построением геометрии. «Начала» Евклида оставили глубокий след в истории и в течение многих веков служили образцом научного изложения математики.
После III в. до н.э. геометрия развивалась медленно — требовались новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия числа и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Древней Греции, а затем в Индии, где была открыта десятичная система счисления. В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Принадлежали они французскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении «Геометрия» он впервые описал метод координат на прямой и на плоскости, установив тем самым взаимосвязь геометрии с алгеброй.
Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически безупречного построения геометрии. Эти поиски привели не только к открытию новых свойств геометрических фигур, но и открытию геометрии, отличной от геометрии, описанной Евклидом. Первым, кто построил новую геометрию, был Н. И. Лобачевский, профессор Казанского университета.
В конце XIX в. немецкий математик Д. Гильберт подвел итог исследованиям в области логически строгого построения евклидовой геометрии.
В евклидовой геометрии изучают свойства фигур, связанные с понятиями длины, величины угла, площади и объема. Такие свойства фигур называются метрическими. В современной геометрии изучают и другие свойства фигур. Так, в ХХ в. началось систематическое изучение топологических свойств геометрических фигур, т. е. таких свойств, которые сохраняются при любых деформациях (сжатии, расширении, искажении размеров и формы фигуры), производимых без разрывов и склеиваний.
Краткий экскурс в историю возникновения и развития геометрии показал, что геометрия — это раздел математики, изучающий пространственные формы и их отношения.
2. Основные геометрические формы.
Понятие геометрической фигуры
Важнейшей пространственной формой является геометрическое тело, а одним из видов пространственных отношений — взаимное расположение геометрических тел.
В окружающем нас мире встречаются различные тела: дома, деревья, мосты и т. д. Когда говорят о геометрическом теле, то тем самым подчеркивают, что нас не интересуют физические свойства окружающих тел (масса, цвет, материал и др.), в геометрии рассматривают лишь их форму и размеры. Другими словами, в геометрии рассматривают ту часть пространства, которую соответствующее тело занимает.
Геометрическое тело имеет три измерения.Условно их называют длина, ширина и высота (или толщина). Кстати, пространство, в котором мы живем, также имеет три измерения, и его называют трехмерным.
Всякое геометрическое тело имеет поверхность. Она представляет собой границу (оболочку) этого тела, и тогда о геометрическом теле можно сказать, что это часть пространства, ограниченная поверхностью.
Поверхность геометрического тела делит все пространство на две части: внутреннюю и внешнюю по отношению к этому телу. Чтобы попасть из любой точки, находящейся внутри тела, во внешнюю область, необходимо пересечь поверхность тела.
Поверхность, ограничивающая шар, называется сферой. У всех других известных из школьного курса геометрических тел поверхности специальных названий не имеют: говорят о поверхности куба, боковой и полной поверхности пирамиды, цилиндра и т. д.
Поверхность имеет только два измерения: длину и ширину. И поэтому понятие поверхности является математической абстракцией, поскольку в реальности нет предметов, не имеющих толщины. И говоря, что лист бумаги или мыльная пленка являются поверхностями, имеют в виду, что их толщина ничтожно мала по сравнению с другими размерами предмета.
Поверхности, которые изучают в геометрии, многообразны: цилиндрические, конические, сферические и др. Но особое внимание уделяют поверхности, которую называют плоскостью и свойства которой изучают. В геометрии плоскость представляют бесконечной во всех направлениях. Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, пола, оконного стекла.
При пересечении двух поверхностей получается линия. Она не имеет толщины и ширины, у нее лишь одно измерение — длина. Таким образом, линия — понятие абстрактное.
Различают кривые и прямые линии. Прямые линии образуются при пересечении двух плоскостей. Кривая линия может получиться при пересечении плоскости и цилиндрической поверхности.
Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны.
При пересечении двух линий образуется точка. Она может быть и не одна.
Точка является идеализацией таких объектов, размерами которых в определенной ситуации можно пренебречь. Геометрическая точка размеров не имеет.
Точка может лежать на данной прямой, в этом случае говорят также, что точка принадлежит прямой или что прямая проходит через точку; а может и не лежать на ней, в этом случае говорят, что точка не принадлежит прямой или что прямая не проходит через точку.
Если точка А лежит на прямой а, то это можно записать так: А ∈ а. Если точка В не лежит на прямой а, то это можно записать так: В ∉ а.
Если две прямые имеют одну общую точку, то говорят, что прямые пересекаются в этой точке.
Итак, дано описание основных форм, которые изучаются в геометрии — это геометрическое тело, поверхность, линия и точка. Смысл этих понятий можно раскрыть иначе, если изменить порядок их рассмотрения и начать с точки.
Можно считать, что точка — это некое место в пространстве, нечто, не имеющее размеров. При движении точка будет описывать линию — траекторию движения точки. Например, окружность получается в результате движения точки — острия карандаша, если при ее построении используется циркуль.
Если линию целиком перемещать в пространстве, то область, образуемая при этом, будет поверхностью.
Все точки геометрического тела можно получить, перемещая в пространстве поверхность.
Таким образом, при данном порядке рассмотрения основных геометрических форм получаем, что:
· Точка — это то, что не имеет частей и размеров;
· Линия получается при движении точки и имеет одно измерение — длину;
· Поверхность образуется при движении линии и имеет два измерения — длину и ширину;
· Геометрическое тело заполняется поверхностями и имеет три измерения — длину, ширину и высоту.
Наряду с основными геометрическими формами в геометрии используется понятие геометрической фигуры.
Геометрическая фигура — это часть поверхности, ограниченная линией.
Как часть поверхности геометрическая фигура имеет два измерения. Она может быть плоской, а может и не быть плоской. Примером геометрической фигуры, которая не является плоской, может служить часть поверхности на сфере. Плоскими фигурами являются прямая, отрезок, луч, треугольник, прямоугольник и др.
В геометрии считают, что любое геометрическое тело, поверхность, линия, любая геометрическая фигура состоит из точек, или представляет собой множество точек.
Так как любая геометрическая фигура есть множество точек, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
Выпуклыми фигурами являются, например, плоскость, прямая, луч, отрезок.